- 几何原本卷一之首
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西洋利玛窦译界说三十六则凡造论先当分别解说论中所用名目故曰界说凡厯法地理乐律算章技艺工巧诸事有度有数者皆依頼十府中几何府属凡论几何先从一防始自防引之为线线展为靣靣积为体是名三度第一界防者无分无长短广狭厚薄 如下图【凡图十干为识干尽用十二支支尽用八卦八音】【甲】第二界线有长无广试如一平靣光照之有光无光之间不容一物是线也真平真圆相遇其相遇处止有一防行则止有一线线有直有曲第三界线之界是防【凡线有界者两界必是防】第四界直线止有两端两端之间上下更无一防两防之间至径者直线也稍曲则绕而长矣直线之中防能遮两界凡量逺近皆用直线甲乙丙是直线甲丁丙甲戊丙甲己丙皆是曲线第五界靣者止有长有广体所见为靣凡体之影极似于靣【无厚之极】想一线横行所留之迹即成靣也第六界靣之界是线第七界平靣一靣平在界之内平靣中间线能遮两界平靣者诸方皆作直线试如一方靣用一直绳施于 角绕靣运转不碍于空是平靣也若曲靣者则中间线不遮两界第八界平角者两直线于平靣纵横相遇交接处凡言甲乙丙角皆指平角如上甲乙乙丙二线平行相遇不能作角如上甲乙乙丙二线虽相遇不作平角为是曲线所谓角止是两线相遇不以线之大小较论第九界直线相遇作角为直线角平地两直线相遇为直线角本书中所论止是直线角但作角有三等今附着于此一直线角二曲线角三杂线角 如下六图第十界直线垂于横直线之上若两角等必两成直角而直线下垂者谓之横线之垂线量法常用两直角及垂线垂线加于横线之上必不作锐角及钝角若甲乙线至丙丁上则乙之左右作两角相等为直角而甲乙为垂线若甲乙为横线则丙丁又为甲乙之垂线何者丙乙与甲乙相遇虽止一直角然甲线若垂下过乙则丙线上下定成两直角所以丙乙亦为甲乙之垂线【如今用短尺一纵一横互相为直线互相为垂线】凡直线上有两角相连是相等者定俱直角中间线为垂线反用之若是直角则两线定俱是垂线第十一界凡角大于直角为钝角如甲乙丙角与甲乙丁角不等而甲乙丙大于甲乙丁则甲乙丙为钝角第十二界凡角小于直角为锐角如前图甲乙丁是通上三界论之直角一而己钝角锐角其大小不等乃至无数是后凡指言角者俱用三字为识其第二字即所指角也 如前图甲乙丙三字第二乙字即所指钝角若言甲乙丁即第二乙字是所指锐角第十三界界者一物之终始今所论有三界防为线之界线为靣之界靣为体之界体不可为界第十四界或在一界或在多界之间为形一界之形如平圆立圆等物多界之形如平方立方及平立三角六八角等物 图见后卷第十五界圜者一形于平地居一界之间自界至中心作直线俱等若甲乙丙为圜丁为中心则自甲至丁与乙至丁丙至丁其线俱等外圆线为圜之界内形为圜一说圜是一形乃一线屈转一周复于元处所作如上图甲丁线转至乙丁乙丁转至丙丁丙丁又至甲丁复元处其中形即成圜第十六界圜之中处为圜心第十七界自圜之一界作一直线过中心至他界为圜径径分圜两平分甲丁乙戊圜自甲至乙过丙心作一直线为圜径第十八界径线与半圜之界所作形为半圜第十九界在直线界中之形为直线形第二十界在三直线界中之形为三邉形第二十一界在四直线界中之形为四邉形第二十二界在多直线界中之形为多边形【五邉以上俱是】第二十三界三边形三边线等为平边三角形第二十四界三边形有两边线等为两边等三角形【或锐或钝】第二十五界三边形三边线俱不等为三不等三角形第二十六界三边形有一直角为三边直角形第二十七界三边形有一钝角为三边钝角形第二十八界三邉形有三锐角为三邉各锐角形凡三边形恒以在下者为底在上二边为腰第二十九界四边形四边线等而角直为直角方形第三十界直角形其角俱是直角其边两两相等如上甲乙丙丁形甲乙边与丙丁边自相等甲丙与乙丁自相等第三十一界斜方形四边等俱非直角第三十二界长斜方形其边两两相等俱非直角第三十三界以上方形四种谓之有法四边形四种之外他方形皆谓之无法四边形第三十四界两直线于同靣行至无穷不相离亦不相逺而不得相遇为平行线第三十五界一形每两边有平行线为平行线方形第三十六界凡平行线方形若于两对角作一直线其直线为对角线又于两边纵横各作一平行线其两平行线与对角线交罗相遇即此形分为四平行线方形其两形有对角线者为角线方形其两形无对角线者为余方形甲乙丁丙方形于丙乙两角作一线为对角线又依乙丁平行作戊己线依甲乙平行作庚辛线其对角线与戊己庚辛两线交罗相遇于壬即作大小四平行线方形矣则庚壬己丙及戊壬辛乙两方形谓之角线方形而甲庚壬戊及壬己丁辛谓之余方形求作四则求作者不得言不可作第一求自此防至彼防求作一直线此求亦出上篇葢自此防直行至彼防即是直线自甲至乙或至丙至丁俱可作直线第二求一有界直线求从彼界直行引长之如甲乙线从乙引至丙或引至丁俱一直行第三求不论大小以防爲心求作一圜第四求设一度于此求作彼度较此度或大或小【凡言度者或线或面或体皆是】或言较小作大可作较大作小不可作何者小之至极数穷尽故也此说非是凡度与数不同数者可以长不可以短长数无穷短数有限如百数减半成五十减之又减至一而止一以下不可损矣自百以上增之可至无穷故曰可长不可短也度者可以长亦可以短长者增之可至无穷短者减之亦复无尽尝见庄子称一尺之棰日取其半万世不竭亦此理也何者自有而分不免爲有若减之可尽是有化爲无也有化爲无犹可言也令巳分者更复合之合之又合仍爲尺棰是始合之初两无能并爲一有也两无能并爲一有不可言也公论十九则公论者不可疑第一论设有多度彼此俱与他等则彼与此自相等第二论有多度等若所加之度等则合并之度亦等第三论有多度等若所减之度等则所存之度亦等第四论有多度不等若所加之度等则合并之度不等第五论有多度不等若所减之度等则所存之度不等第六论有多度俱倍于此度则彼多度俱等第七论有多度俱半于此度则彼多度亦等第八论有二度自相合则二度必等【以一度加一度之上】第九论全大于其分【如一尺大于一寸寸者全尺中十分中之一分也】第十论直角俱相等【见界说十】第十一论有二横直线或正或偏任加一纵线若三线之间同方两角小于两直角则此二横直线愈长愈相近必至相遇甲乙丙丁二横直线任意作一戊己纵线或正或偏若戊己线同方两角俱小于直角或并之小于两直角则甲乙丙丁线愈长愈相近必有相遇之处欲明此理宜察平行线不得相遇者【界说卅四】加一垂线即三线之间定为直角便知此论两角小于直角者其行不得不相遇矣第十二论两直线不能为有界之形第十三论两直线止能于一防相遇如云线长界近相交不止一防试于丙乙二界各出直线交于丁假令其交不止一防当引至甲则甲丁乙宜为甲丙乙圜之径而甲丁丙亦如之【界说十七】夫甲丁乙圜之右半也而甲丁丙亦右半也【界说十七】甲丁乙为全甲丁丙为其分而俱称右半是全与其分等也【本篇九】第十四论有几何度等若所加之度各不等则合并之差与所加之差等甲乙丙丁线等于甲乙加乙戊于丙丁加丁己则甲戊大于丙己者庚戊线也而乙戊大于丁己亦如之第十五论有几何度不等若所加之度等则合并所赢之度与元所赢之度等如上图反说之戊乙己丁线不等于戊乙加乙甲于己丁加丁丙则戊甲大于己丙者戊庚线也而戊乙大于己丁亦如之第十六论有几何度等若所减之度不等则余度所赢之度与减去所赢之度等甲乙丙丁线等于甲乙减戊乙于丙丁减己丁则乙戊大于丁己者庚戊也而丙己大于甲戊亦如之第十七论有几何度不等若所减之度等则余度所赢之度与元所赢之度等如十四论反说之甲戊丙己线不等于甲戊减甲乙于丙己减丙丁则乙戊长于丁己者亦庚戊也与甲戊长于丙己者等矣第十八论全与诸分之并等第十九论有二全度此全倍于彼全若此全所减之度倍于彼全所减之度则此较亦倍于彼较【相减之余曰较】如此度二十彼度十于二十减六于十减三则此较十四彼较七几何原本卷一之首钦定四库全书
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