西洋利玛窦译

　　界説十九则

　　前四卷所论皆独几何也此下二卷所论皆自两以上多几何同例相比者也而本卷则总説完几何之同例相比者也诸卷中独此卷以虚例相比絶不及线靣体诸类也第六卷则论线论角论圜界诸类及诸形之同例相比者也今先解向后所用名目为界説十九

　　第一界

　　分者几何之几何也小能度大以小为大之分

　　以小几何度大几何谓之分曰几何之几何者谓非此小几何不能为此大几何之分也如一防无分亦非几何即不能为线之分也一线无广狭之分非广狭之几何

　　即不能为靣之分也一靣无厚薄之分非厚薄之几何即不能为体之分也曰能度大者谓小几何度大几何能尽大之分者也如甲为乙为丙之分则甲为乙三分之一为丙六分之一无赢不足也若戊为丁之一即赢为二即不足己为丁之三即赢为四即不足是小不尽大则丁不能为戊己之分也以数明之若四于八于十二于十六于二十诸数皆能尽分无赢不足也若四于六于七于九于十于十八于三十八诸数或赢或不足皆不能尽分者也本书所论皆指能尽分者故称为分若不尽分者当称几分几何之几如四于六为三分六之二不得正名为分不称小度大也不为大几何内之小几何也

　　第二界

　　若小几何能度大者则大为小之几倍

　　如第一界图甲与乙能度丙则丙为甲与乙之几倍若丁戊不能尽己之分则己不为丁戊之几倍第三界

　　比例者两几何以几何相比之理

　　两几何者或两数或两线或两靣或两体各以同类大小相比谓之比例若线与靣或数与线相比此异类不为比例又若白线与黒线热线与冷线相比虽同类不以几何相比亦不为比例也

　　比例之説在几何为正用亦有借用者如时如音如声如所如动如称之属皆以比例论之

　　凡两几何相比以此几何比他几何则此几何为前率所比之他几何为后率如以六尺之线比三尺之线则六尺为前率三尺为后率也反用之以三尺之线比六尺之线则三尺为前率六尺为后率也比例为用甚广故详论之如左

　　凡比例有二种有大合有小合以数可明者为大合如二十尺之线比十尺之线是也其非数可明者为小合如直角方形之两邉与其对角线可以相比而非数可明者是也

　　如上二种又有二名其大合线为有两度之线如二十尺比八尺两线为大合则二尺四尺皆可两度之者是也如此之类凡数之比例皆大合也何者有数之属或无他数可两度者无有一数不可两度者若七比九无他数可两度之以一则可两度之也其小合线为无两度之线如直角方形之两邉与其对角线为小合即分至万分以及无数终无小线可以尽分能度两率者是也【此论详见十卷末题】

　　小合之比例至十卷详之本篇所论皆大合也凡大合有两种有等者如二十比二十十尺之线比十尺之线是也有不等者如二十比十八比四十六尺之线比二尺之线是也

　　如上等者为相同之比例其不等者又有两种有以大不等如二十比十是也有以小不等如十比二十是也大合比例之以大不等者又有五种一为几倍大二为等带一分三为等带几分四为几倍大带一分五为几倍大带几分

　　一为几倍大者谓大几何内有小几何或二或三或十或八也如二十与四是二十内为四者五如三十尺之线与五尺之线是三十尺内为五尺者六则二十与四名为五倍大之比例也三十尺与五尺名为六倍大之比例也仿此为名可至无穷也

　　二为等带一分者谓大几何内既有小之一别带一分此一分或元一之半或三分之一四分之一以至无穷者是也如三与二是三内既有二别带一一为二之半如十二尺与九尺之线是十二内既有九别带三三为九三分之一则三与二名为等带半也十二尺与九尺名为等带三分之一也

　　三为等带几分者谓大几何内既有小之一别带几分而此几分不能合为一尽分者是也如八与五是八内既有五别带三一每一各为五之分而三一不能合而为五之分也他如十与八其十内既有八别带二一虽每一各为八之分与前例相似而二一却能为八四分之一是为带一分属在第二不属三也则八与五名为等带三分也又如二十二与十六即名为等带六分也四为几倍大带一分者谓大几何内既有小几何之二之三之四等别带一分此一分或元一之半或三分四分之一以至无穷者是也如九与四是九内既有二四别带一一为四之分之一则九与四名为二倍大带四分之一也

　　五为几倍大带几分者谓大几何内既有小几何之二之三之四等别带几分而此几分不能合为一尽分者是也如十一与三是十一内既有三三别带二一每一各为三之分而二一不能合而为三之分也则十一与三名为三倍大带二分也

　　大合比例之以小不等者亦有五种俱与上以大不等五种相反为名一为反几倍大二为反等带一分三为反等带几分四为反几倍大带一分五为反几倍大带几分

　　凡比例诸种如前所设诸数俱有书法书法中有全数有分数全数者如一二三十百等是也分数者如分一以二以三以四等是也书全数依本数书之不必立法书分数必有两数一为命分数一为得分数如分一以三而取其二则为三分之二即三为命分数二为得分数也分一为十九而取其七则为十九分之七即十九为命分数七为得分数也

　　书以大小不等各五种之比例其一几倍大以全数书之如二十与四为五倍大之比例即书五是也若四倍即书四六倍即书六也其反几倍大即用分数书之而以大比例之数为命分之数以一为得分之数如大为五倍大之比例则此书五之一是也若四倍即书四之一六倍即书六之一也

　　其二等带一分之比例有两数一全数一分数其全数恒为一其分数则以分率之数为命分数恒以一为得分数如三与二名为等带半即书一别书二之一也其反等带一分则全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数加一为此之命分数如大为等带二之一即此书三之二也又如等带八分之一反书之即书九之八也又如等带一千分之一反书之即书一千○○一之一千也其三等带几分之比例亦有两数一全数一分数其全数亦恒为一其分数亦以分率之数为命分数以所分之数为得分数如十与七名为等带三分即书一别书七之三也其反等带几分亦全用分数而以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数加大之得分数为此之命分数如大为等带七之三命数七得数三七加三为十即书十之七也又如等带二十之三反书之二十加三即书二十三之二十也

　　其四几倍大带一分之比例则以几倍大之数为全数以分率之数为命分数恒以一为得分数如二十二与七二十二内既有三七别带一一为七分之一名为三倍大带七分之一即以三为全数七为命分数一为得分数书三别书七之一也其反几倍大带一分则以大比例之命分数为此之得分数以大之命分数乘大之倍数加一为此之命分数如大为三带七之一即以七乘三得二十一又加一为命分数书二十二之七也又加五带九之一反书之九乘五得四十五加一为四十六即书四十六之九也其五几倍大带几分之比例亦以几倍大之数为全数以分率之数为命分数以所分之数为得分数如二十九与八二十九内既有三八别带五一名为三倍大带五分即以三为全数八为命分数五为得分数书三别书八之五也其反几倍大带几分则以大比例之命分数为此之得分数以大比例之命分数乘大之倍数加大之得分数为此之命分数如大为三带八之五即以八乘三得二十四加五为二十九书二十九之八也又如四带五之二即书二十二之五也

　　以上大小十种足尽比例之凡不得加一减一第四界

　　两比例之理相似为同理之比例

　　两几何相比谓之比例两比例相比谓之同理之比例如甲与乙两几何之比例偕丙与丁两几何之比例其理相似为同理之比例又若戊与己两几何之比例偕己与庚两几何之比例其理相似亦同理之

　　比例

　　凡同理之比例有三种有数之比例有量法之比例有乐律之比例本篇所论皆量法之比例也量法比例又有二种一为连比例连比例者相续不断其中率与前后两率逓相为比例而中率既为前率之后又为后率之前如后图戊与己比己又与庚比是也二为断比例断比例者居中两率一取不再用如前图甲自与乙比丙自与丁比是也

　　第五界

　　两几何倍其身而能相胜者为有比例之几何

　　上文言为比例之几何必同类然同类中亦有无比例者故此界显有比例之几何也曰倍其身而能相胜者如三尺之线与八尺之线三尺之线三倍其身即大于八尺之线是为有比例之线也又如直角方形之一邉与其对角线虽非大合之比例可以数明而直角方形之一邉一倍之即大于对角线【两邉等三角形其两邉并必大于一邉见一卷二十】是亦有小合比例之线也又圜之径四倍之即大于圜之界则圜之径与界亦有小合比例之线也【圜之界当三径七分径之一弱别见圜形书】又曲线与直线亦有比例如以大小两曲线相合为初月形别作一直角方形与之等【六卷三十三一増题今附】即曲直两线相视有大有小亦有比例也又方形与圜虽自古至今学士无数不能为相等之形然两形相视有大有小亦不可谓无比例也又直线角与曲线角亦有比例如上图直角钝角鋭角皆有与曲线角等者若第一图甲乙丙直角在甲乙乙丙两直线内而其间设有甲乙丁与丙乙戊两圜分角等即于甲乙丁角加甲乙戊角则丁乙戊曲线角与甲乙丙直角等矣依显壬庚癸曲线角与己庚辛钝角等也又依显卯丑辰曲线角与子丑寅鋭角各减同用之子丑丑辰内圜小分即两角亦等也此五者皆疑无比例而实有比例者也他若有穷之线与无穷之线虽则同类

　　实无比例何者有穷之线毕世倍之不能胜无穷之线故也又线与靣靣与体各自为类亦无比例何者毕世倍线不能及靣毕世倍靣不能及体故也又切圜角与直线鋭角亦无比例何者依三卷十六题所説毕世倍切邉角不能胜至小之鋭角故也此后诸篇中每有倍此几何令至胜彼几何者故备着其理以需后论也

　　第六界

　　四几何若第一与二偕第三与四为同理之比例则第一第三之几倍偕第二第四之几倍其相视或等或俱为大俱为小恒如是

　　两几何曷显其能为比例乎上第五界所説是也两比例曷显其能为同理之比例乎此所説是也其术

　　通大合小合皆以加倍法求之如

　　一甲二乙三丙四丁四几何于一

　　甲三丙任加几倍为戊为己戊倍

　　甲己倍丙其数自相等次于二乙四丁任加几倍为庚为辛庚倍乙辛倍丁其数自相等而戊与己偕庚与辛相视或等或俱大或俱小如是等大小累试之恒如是即知一甲与二乙偕三丙与四丁为同理之比例也

　　如初试之甲几倍之戊小于乙几倍之庚而丙几倍之己亦小于丁几倍之辛又试之倍甲之戊与倍乙之庚等而倍丙之己亦与倍丁之辛等三试之倍甲

　　之戊大于倍乙之庚而倍丙之己

　　亦大于倍丁之辛此之谓或相等

　　或虽不等而俱为大俱为小若累

　　合一差即元设四几何不得为同理之比例如下第八界所指是也

　　下文所论若言四几何为同理之比例即当推显第一第三之几倍与第二第四之几倍或等或俱大俱小若许其四几何为同理之比例亦如之

　　以数明之如有四几何第一为三第二为二第三为六第四为四今以第一之三第三之六同加四倍为十二为二十四次以第二之二第四之四同加七倍为十四为二十八其倍第一之十二既小于倍第二之十四而倍第三之二十四亦小于倍第四之二十八也又以第一之三第三之六同加六倍为十八为三十六次以第二之二第四之四同加

　　九倍为十八为三十六其倍第一之十八既等于倍第二之十八而倍第三之三十六亦等于倍第四之三十六也又以第一之三第三之六同加三倍为九为十八次以第二之二第四之四同加二倍为四为八其倍第一之九既大于倍第二之四而倍第三之十八亦大于倍第四之八也若尔或俱大俱小或等累试之皆合则三与二偕六与四得为同理之比例也

　　以上论四几何者断比例之法也其连比例法仿此但连比例之中率两用之既为第二又为第三视此异耳

　　第七界

　　同理比例之几何为相称之几何

　　甲与乙若丙与丁是四几何为同理之

　　比例即四几何为相称之几何又戊与

　　己若己与庚即三几何亦相称之几何

　　第八界

　　四几何若第一之几倍大于第二之几倍而第三之几倍不大于第四之几倍则第一与二之比例大于第三与四之比例

　　此反上第六界而释不同理之两比例其相视曷显

　　为大曷显为小也谓第一第三之几

　　倍与第二第四之几倍依上累试之

　　其间有第一之几倍大于第二之几

　　倍而第三之几倍乃或等或小于第四之几倍即第一与二之比例大于第三与四之比例也如上图甲一乙二丙三丁四甲与丙各三倍为戊己乙与丁各四倍为庚辛其甲三倍之戊大于乙四倍之庚而丙三倍之己乃小于丁四倍之辛即甲与乙之比例大于丙与丁也若第一之几倍小于第二之几倍而第三之几倍乃或等或大于第四之几倍即第一与二之比例小于第三与四之比例如是等大小相戾者但有其一不必再试

　　以数明之中设三二四三四几何先有第一之倍大于第二之倍而第三之倍亦大于第四之倍后复有第一之倍大于第二之倍而第三之倍乃或等或小于第四之倍即第一与二之比例大于第三与四也若以上图之数反用之以第一为二第二为一第三为四第四为三则第一与二之比例小

　　于第三与四

　　第九界

　　同理之比例至少必三率

　　同理之比例必两比例相比如甲与乙若丙与丁是四率断比例也若连比例之戊与己若己与庚则中率己既为戊之后又为庚之前是以三率当四率也

　　第十界

　　三几何为同理之连比例则第一与三为再加之比例四几何为同例之连比例则第一与四为三加之比例仿此以至无穷

　　甲乙丙丁戊五几何为同理之连比例其甲与乙若乙与丙乙与丙若丙与丁丙与丁若丁与戊即一甲与三丙视一甲与二乙为再加之比例又一甲与四丁视一甲与二乙为三加之比例何者甲丁之中有乙丙两几何

　　为同理之比例如甲与乙故也又一甲与五戊视一甲与二乙为四加之比例也若反用之以戊为首则一戊与三丙为再加与四乙为三加与五甲为四加也

　　下第六卷二十题言此直角方形与彼直角方形为此形之一邉与彼形之一邉再加之比例何者若作三几何为同理之连比例则此直角方形与彼直角方形若第一几何与第三几何故也以数明之如此直角方形之邉三尺而彼直角方形之邉一尺即此形邉与彼形邉若九与一也夫九与一之间有三为同理之比例则九三一三几何之连比例既有三与一为比例又以九比三三比一为再加之比例也则彼直角方形当为此形九分之一不止为此形三分之一也大畧第一与二之比例若线相比第一与三若平靣相比第一与四若体相比也【第一与五若筭家三乘方与六若四乘方与七若五乘方仿此以至无穷】

　　第十一界

　　同理之几何前与前相当后与后相当

　　上文己解同理之比例此又解同理之几何者盖一

　　比例之两几何有前后而同理之两

　　比例四几何有两前两后故特解言

　　比例之论常以前与前相当后与后

　　相当也如上甲与乙丙与丁两比例

　　同理则甲与丙相当乙与丁相当也戊己己庚两比例同理则己既为前又为后两相当也如下文有两三角形之邉相比亦常以同理之两邉相当不可混也

　　上文第六第八界説几何之几倍常以一与三同倍二与四同倍则以第一第三为两前第二第四为两后各同理故

　　第十二界

　　有属理更前与前更后与后

　　此下説比例六理皆后论所需也

　　四几何甲与乙之比例若丙与丁今

　　更推甲与丙若乙与丁为属理　下言属理皆省曰更

　　此论未证证见本卷十六

　　此界之理可施于四率同类之比例若两线两靣或两靣两数等不为同类即不得相更也

　　第十三界

　　有反理取后为前取前为后

　　甲与乙之比例若丙与丁今反推乙与甲若丁与丙为反理

　　证见本篇四之系

　　此界之理亦可施于异类之比例

　　第十四界

　　有合理合前与后为一而比其后

　　甲乙与乙丙之比例若丁戊与戊己今合甲丙为一而比乙丙合丁己为一而比戊己即推甲丙与乙内若丁己与戊己是合两前后率为两一率而比两后率也

　　证见本卷十八

　　第十五界

　　有分理取前之较而比其后

　　甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今分推甲乙之较甲丙与丙乙若丁戊之较丁己与己戊

　　证见本卷十七

 

　　第十六界

　　有转理以前为前以前之较为后

　　甲乙与丙乙之比例若丁戊与己戊今转推甲乙与甲丙若丁戊与丁己

　　证见本卷十九

 

　　第十七界

　　有平理彼此几何各自三以上相为同理之连比例则此之第一与三若彼之第一与三又曰去其中取其

　　首尾甲乙丙三几何丁戊己三几何

　　等数相为同理之连比例者甲与乙

　　若丁与戊乙与丙若戊与己也今平

　　推首甲与尾丙若首丁与尾己

　　平理之分又有二种如后二界

　　第十八界

　　有平理之序者此之前与后若彼之前与后而此之后与他率若彼之后与他率

　　甲与乙若丁与戊而后乙与他率丙

　　若后戊与他率己是序也今平推甲

　　与丙若丁与己也【此与十七界同重宣序义以别后界】

　　【也】

　　证见本卷二十二

　　第十九界

　　有平理之错者此数几何彼数几何此之前与后若彼之前与后而此之后与他率若彼之他率与其前

　　甲乙丙数几何丁戊己数几何其甲

　　与乙若戊与己又此之后乙与他率

　　丙若彼之他率丁与前戊是错也今

　　平推甲与丙若丁与己也【十八十九界推法于十七界中通论之故两题中不再着也】

　　证见本卷二十三

　　増一几何有一几何相与为比例即此几何必有彼几何相与为比例而两比例等一几何有一几何相与为比例即必有彼几何与此几何为比例而两比例等【比例同理省曰比例等】

　　甲几何与乙几何为比例即此几何丙亦必有彼几何如丁相与为比例若甲与乙也丙几何与丁几何为比例即必

　　有彼几何如戊与此几何丙为比例若丙与丁也此理推广无碍于理有之不必举其率也举率之理备见后卷

 

　　几何原本卷五之首

　　钦定四库全书