明　李之藻　撰

　　叠借互征第七【附盈朒】

　　借虚征实其术精矣又有子母杂互隠奥难知者则两借虚数以征之征之于实尚逺也或两浮而盈或两缩而不足或一盈一不足俱以借数列上以较原数以多寡之差列下而左右互乘焉其法有二凡俱盈俱不足者以差数相减余为法以乗数相减余为实若一盈一不足者以差数相并为实而以法除实则二法相同旧有盈朒一章大都类此而此则于未有盈朒之先借数推出盈朒以求隠数故曰借征其显有盈不足实数者但依旧法求之诸盈不足者两盈者两不足者盈适足者不足适足者及叠互母子者各具数条见例

　　问设一虚数以其半为用内除三之一又除四之一尚余三百其原总数几何其法先另借一通数以分其半而通各分先借二十四为数列左上【其半为十二其三之一为四其四之一为三尚余五】以比三百则不足二百九十五列左下另借九十六为数列右上【其半为四十八其三之一为十六其四之一为十二尚余二十】以比三百不足二百八十列右下次以左上乘右下又以右上乘左下各得数附注其下以少减多其余为实而以左下右下相减其余为法除之

 

　　除得一千四百四十合原总以减半为七百二十其三之一乃二百四十其四之一乃一百八十加三百合一半七百二十之数

　　假如借四千八百为通数列左上【其半为二千四百其三之一为八百其四之一为六百余一千】以比三百则盈七百列左下又借二千四百为通数列右上【其半为一千二百其三之一为四百其四之一为三百余五百】以比三百盈二百列右下亦以二数相减余为法而以左上乘右下以右上乘左下相减余为实而以法除之

 

　　以法除实亦得一千四百四十合原总数

　　又假如借二千四百为通数列左上【即前第二式右上者尚余五百】盈二百列左下再借九十六列右上【即前第一右上者余二十】不足二百八十列右下此系一盈一不足者相并为法次以左上乘右下以右上乘左下亦相并为实以法除实仍得一千四百四十

 

　　问三人共银四十四两乙多甲一倍外又多四两丙兼甲乙之数外又多六两每人实数防何【此大约当以四分分之而算】先借一十为通数列左上【甲一十乙倍得二十又加四共二十四丙兼二数又加六得四十】共七十四以比四十四盈三十列左下又借六列右上【甲六乙倍之加四得十六丙兼二数加六得二十八】共五十以比四十四盈六列右下以相减余为法乃以左上乘右下以右上乘左下亦以相减余为实以法除之得五为所求之甲数倍之又加四得一十四为乙数兼之又加六得二十五

 

　　右图以甲之左数一十乘六及以右数六乘三十者固除得甲五若以乙之二十四乘六及一十六乘三十亦得乙数以丙之四十乘六及二十八乘

　　三十者亦得丙数以

　　共数七十四乘六及

　　五十乘三十者亦得

　　共数

　　问甲乙各不知数取乙九与甲则甲倍于乙取甲九与乙则甲乙正等原数各若干借一百为等数乙既得甲九则甲原一百九列左上而乙九十一列其次甲若取乙九则甲一百十八而乙八十二以视甲之半盈二十三【因甲取乙九当倍乙数故】列左下另借五十为等数乙既得甲九则甲原五十九列右上而乙四十一列其次甲又取乙九则甲得六十八而乙三十三以视甲之半不足二列右下盈不足相并二十五为法左上乘右下右上乘左下相并为实以法除实系甲乘者除得六十三为甲数系乙乘者除得四十五为乙数

 

　　问携酒游山到处沽増一倍俱饮六升至第四处饮讫无余原携若干借五升四合列左上倍之【一斗八合】减六【四升八合】又倍之【九升六合】减六【三升六合】三次倍之【七升二合】减六【一升二合】四次倍之【二升四合】以减六不足三升六合列左次另借六升二合列右上倍之【一斗二升四合】减六【六升四合】又倍减至四次【倍得一斗二升八合减存六升八合复倍得一斗三升六合减存七升六合又倍得一斗五升二合减存九升二合】盈九升二合列右次盈不足相并为法以左上乘右下右上乘左下并为实以法除实得五升六合二勺五抄

 

　　问贷谷不知数每年加息一倍一年还谷五斗至五年本利俱完其原贷若干先借四十三石列左上倍之【八十六】减所还【余三十六】又倍之【七十二】又减【余二十二】仍倍之【四十四】不足六石列左下又借四十四石列右上倍之【八十八】减所还【余三十八】又倍之【七十六】又减【余二十六】仍倍之【五十二】盈二石列右下并盈不足为法左上乘石下右上乘左下得数并为实以法除实得原谷四十三石七斗五升

　　或依三率置五十为实置

　　三年之倍【一二四】并得七乘

　　之加母【一】为法除之亦同

　　问逐兔百只每三人得四只该防人先借七十二人列左上以四乘三除【九十六】盈四只列下另借九十人列右上以四乘三除【一百二十】不足二十列下盈不足并为法左上乘右下右上乘左下得数并为实以法除实得七十五人

　　此问依三率三

　　乘四除即得

　　借此见例云

　　问甲乙丙共数六十乙多甲一倍外加四丙兼甲乙数外加六各该防何先借六为甲通乙丙数列左上【甲六乙十六丙二十八】共得五十比正数不足一十列左下又借八为甲通乙丙数列右上【甲八乙二十丙三十四】共六十二比正数盈二列右下相并为法次以左上乘右下以右上乘左下亦相并为实依法除得七零三之二为甲数倍之加四得十九零三之一为乙数兼甲乙加六得三十三为丙数总合六十数

 

　　问试以三十数随手剖为二以其一加六十以其一加二十而加六十者为加二十者之三之二其剖分之数各防何此取三十而随意剖之且借二十为甲数列左上列乙一十于次而各如问加焉察其数【甲二十加六十得八十乙一十加二十得三十】甲视乙固不足三之二【乙三十则甲之三分二者该九十今却八十】以不足一十列左下又借二十四为甲数列右上亦列乙六于其次各加如问而察其数【甲二十四加六十得八十四乙六外加二十得二十六】甲又盈乙三之二【乙二十六则甲之三分二者该七十八今却八十四】以盈六列右下盈不足积并为法次以左上乘右下以右上乘左下并为实以法除实得二十二又二之一为甲数然后求三之一则七零二之一为乙数也

 

　　问甲乙丙三数甲加七十三得为乙丙数者二乙加七十三得为甲丙数者三丙加七十三得为甲乙数者四其实数各防何此因有三之二及四之三当借竒数为通数以求甲数而又因乙丙之加牵连难析则叠用前法以征之且如借一乃奇数也以当甲列左上【左图】加七十三【共七十四】当兼乙丙而倍之【既以七十四为兼乙丙且倍之则乙丙当仅得其半共得三十七】因以折半三十七为乙丙数而乙与丙又衰分焉【乙加七十三又得甲丙三之二因寻乙所衰于丙者】依前法随意衰之为两如借二为乙衰另列于左上【右图】则丙系三十五矣列左次乃以二加七十三【得七十五】以较甲丙合数未足三之二【甲一丙三十五共三十六则其三之二乃该一百零八今乙衰二加七十三只有七十五】尚缩三十三列左下又借五当乙【三十七中之五】列右上则丙系三十二矣列右次乃以五加七十三【得七十八】以较甲丙有三之二否不足二十一【甲一丙三十二共三十三则其三之二该九十九今乙衰五加七十三只七十八】列右下两不足相减余为法而以左上乘右下以右上乘左下相减余为实法除实得一十零四之一为乙实乃列乙实于左图初借立一之次既已得乙实即得丙实【乙丙共三十七也乙得一十零四之一则丙得二十六零四之三】列于又次

 

　　又另借三为甲衰列右上加七十三【共七十六】以其半为乙丙衰【得三十八】而随意分之为两另作一法如前焉如以二为乙衰列左上其余三十六乃丙衰列左次即以乙衰之二加其七十三【得七十五】与甲丙相较是三之二否不足四

　　十二【甲三丙三十六共三】

　　【十九其三分之二乃一百十七】

　　【也今乙衰加之只七十五】即

　　以不足列左下

　　另借二十三为乙衰列右上其半十五为丙衰列右次以乙衰二十三加七十三【得九十六】与甲丙相较是三之二否又盈四十二【甲三丙十五共十八其三分之二当是五十四今乙衰之数与加数却有九十六】以盈列右下盈与不足相并为法仍以左上乘右下以右上乘左下而相并为实以法除实得一十二零二分之一为乙实乃列乙实于前所借甲三之次因得丙实【乙丙共三十八乙既得一十二又二分之一则丙得二十五零二分之一】亦列于又次俱照前式

 

　　乃依所问察之甲加七十三要兼乙丙数又多一倍乙加七十三要得甲丙数者三丙加七十三要得甲乙数者四

 

　　如右图左上甲衰及所加【共七十四】已兼乙丙之数与其倍数【乙丙共三十七兼而倍之则七十四也】左次乙衰所加【共八十三又四之一】亦兼甲丙数之三【甲丙共二十七又四之三以加二倍合乙衰】俱合原问惟左又次丙衰及所加【共九十九零四之三】以合甲乙【共十一零四之一】如原问但欲得甲乙数者四只须四十五今却九十九零四之三乃盈五十四零四之三到此不合矣仍依互乘之法求之右上甲衰及所加【共七十六】亦合乙丙兼数与倍数【乙丙共三十八兼倍之则七十六也】右次乙衰及所加【共八十五半】合甲丙亦具三因【甲丙共二十八半三因之得八十五半】惟右又次之丙衰及所加【共九十八零半】以合甲乙【共十五又二之一】以四因之当得六十二今却九十八零二之一乃盈三十二零二之一也不合原问仍依互乘之法求之　于是以左上甲衰乘右下以右上甲衰乘左下相减余为实以左下右下相减余为法除之得七为甲衰如欲得乙衰则以乙之左右上下互乘相减以法除之得一十七为乙衰如欲得丙衰亦以丙之左右上下互乘减除得二十三为丙衰

　　问设有一数以与三相乘外加一十又以此乘四外加二十又乘五外加三十又乘六外加四十即共得六千七百此其原设数防何其法先借二为主列左上以乘三【得六】外加十【共十六】又与四相乘【六十四】加二十【共八十四】又与五相乘【四百二十】加三十【共四百五十】又与六相乘【二千七百】加四十【共二千七百四十】以此所问数【六千七百】不足三千九百六十列左下次借三列右上以乘三【九】外加十【共十九】又乘四【七十六】外加二十【共九十六】又乘五【四百八十】外加三十【五百一十】又乘六【三千六十】外加四十【共三千一百】以比所问数【六千七百】不足三千六百列右下两不足相减余为法除之得一十三系原设

 

　　右法已除得十三者与三相乘【三十九】加一十【四十九】又与四相乘【一百九十六】加二十【共二百一十六】以乘五【一千八十】加三十【共一千一百一十】以乘六【六千六百六十】加四十实得六千七百合问问二人共分银一百两不得其均若均分则每人当五十两然须甲还所得银三之一乙又还所得银五之一方得每人五十两其不均之分各得若干先借三十两为甲衰列左上亦列乙衰七十于次乃减甲三之一【减一十存二十】亦减乙五之一【一十四】而以乙减归甲【甲二十加乙十四共三十四】以比五十不足一十六列左下另借六十为甲衰列右上亦列乙衰四十于其次乃减甲三之一【减二十存四十】亦减乙五之一【八】而以乙减归甲【甲四十加乙八共四十八】不足二列右下两不足相减余为法以左上乘右下以右上乘左下相减余为实以法除实得六十四两零七分两之二为甲衰就一百两内减甲衰余三十五两又七分两之五为乙衰合原分不均

　　之数

 

　　问二人共分银一百两未得其均须甲损所得三之一乙亦捐所得四之一和合平分乃各得五十两其未均之数各若干先借六十为甲衰列左上亦列乙四十于左次乃减甲三之一【减二十存四十】减乙四之一【减一十存三十】和所减【甲二十乙一十共三十】而均分之【各得十五】以甲所得十五合减存四十之数【甲原存四十加十五得五十五】以比五十盈五数列左下另借二十四为甲衰列右上亦列乙衰七十六于右次乃减甲三之一【减八存一十六】减乙四之一【减一十九】和所减【甲八乙一十九共二十七】而均分之【各得十三零二之一】以甲所得一十三半之数合减存一十六数【共二十九半】以比五十不足二十半列右下盈不足相并为法右上乘左下左上乘右下相并为实以法除实得五十二两零十七分两之一十六为甲衰其余四十七

　　两又十七分

　　两之一为乙衰

　　问以一千剖为二甲多于乙四十九作何剖之其法借六百为甲衰列左上亦列乙四百于次相较差二百以比四十九则盈一百五十一列左下另借五百五十为甲衰列右上亦列乙四百五十于次相较差一百以比四十九则盈五十一列右下两盈相减余为法以左上乘右下右上乘左下相减余为实以法除实得五百二十四零二分两之一为

　　甲衰余

　　为乙衰

 

　　问香罏二座其葢重一百五十斤以葢加甲罏则多于乙二倍以葢加乙罏则与甲罏正等此二罏各重若干其法借三十为甲衰列左上葢一百五十列左次共一百八十又列其次以三之一为乙衰得六十以乙加葢【得二百一十】比甲衰三十盈一百八十列左下另借九十为甲衰列右上葢一百五十列左次共二百四十又列其次取其三之一为乙衰得八十以乙加葢【二百三十】比甲衰九十盈一百四十列右下两盈相减余为法左右上下互乘仍相减余为实以法除实得三百斤为甲罏以加葢得四百五十斤其三之一得一百五十斤为乙罏

 

　　问香罏二座有一葢其葢重百两加甲罏则其重比乙多二倍加乙罏则其重比甲多一倍此二罏各重若干其法借五十为甲衰列左上葢数一百列左次共一百五十又列其次而以其三之一五十为一衰【因甲加葢多乙二倍故】加葢【得一百五十】比甲衰【五十】盈五十列左下【既倍甲五十只该一百今却一百五十故盈五十】另借一百一十为甲衰列右上葢数一百列右次共二百一十又列其次而以其三之一为乙衰【七十】加葢【一百七十】比甲衰【一百一十】不足五十列右下【倍甲一百一十即该二百二十今却一百七十故不足五十】盈不足相积为法左右互乘积为实以法除实得八十两为甲罏其加葢三分之一得六

 

　　问有人买鹌鹑不知其数但云以其二之一加三之一又加四之一再加二十二共得一百此是防何其法借一通数可以二三四分之者为主先借十二列左上而以二之一【六】三之一【四】四之一【三】并之得十三再加二十二共得三十五以比一百不足六十五列所不足于左下另借六十列右上而以二一【三十】三一【二十】四一【十五】并之得六十五加二十二共得八十七以比一百不足一十三列所不足于右下两不足相减为法左右互乘相减为实以法除实得七十二为所问之数以其二之一【三十六】三之一【二十四】

　　四之一【一十八】再加

　　二十二共一百只

　　问二商各擕毋银未知其数但云取乙十二两与甲则乙有甲六之一取甲十五两与乙则甲有乙十之一其实数若干法从乙起算先借二十两为乙衰列左上内减十二【余八】以当甲六之一用六因求甲【六八四十八】内还乙所加【十二】存数三十六又捐十五与乙【甲剩二十一其乙原余八又取甲十二共二十今又加得三十五】以甲剩数较乙加数甲是乙十之一否【甲二十一则乙当二百一十今乙只三十五】不足一百七十五列左下另借一百为乙衰列右上内减十二【得八十八】以六因求甲衰【五百二十八】亦还所加【十二】存数五百一十六内除十五与乙【甲剩五百一乙原余八十八又取甲十二　共一百今加十五该一百一十五】以乙较甲甲是乙十之一否【甲五百一则乙当五千一十今乙只一百一十五】不足四千八百九十五列右下两不足相减为法左右上下互乘相减余为实以法除实得十七两零五十九之二为乙毋内捐十二两与甲则实得五两又五十九之二以六因求甲得三十两零五十九之十二内亦减十二实得十八两零五十九之十二再捐十五两与乙加乙原数十七两又五十九之二共得三十二两零五十九之二以十之一约

 

　　问二人所各携银不知其数但云减乙六两与甲则甲多乙一倍减甲三两与乙则与乙正等各实数几何从乙多数起算先借一十五两为乙衰列左上内减六存九以当甲之半则甲该一十八内又除所加六得十二为甲衰正数内减三与乙则甲剩者九以甲所剩九较乙衰十五及所加之三乃盈九【甲九乙十八也】列所盈于左下另借二十为乙衰列右上内减六存十四倍之为甲衰当是二十八亦减所加六实得二十二为甲衰正数若取三与乙则甲剩十九以甲之十九较乙之二十及所加之三又盈四【甲十九乙二十三】列盈数于右下两盈相减为法左右上下互乘相减余为实以法除实得二十四为乙衰内减六与甲余倍之得三十六甲先借六与乙则甲之本数只三十矣就三十之内减其三两并入乙二十四两为二十七甲三十减三亦二十七故其数正等

 

　　问漏壶一座注水其中下有三孔其甲孔流水二时而尽乙孔流水三时而尽丙孔流水六时方尽若三孔俱开则防时水尽且借四时为用列左上而各据其孔之大小流水之迟速测之【甲二时一壶则四时当尽二壶乙三时尽乙壶则四时当尽一壶零三之一丙六时尽一壶则四时当尽三分壶之二】得数并计之共以四时尽四壶而所问者一壶也为盈三列左下另借十时为用列右上亦以时推其多寡【甲二时一壶则十时该五壶乙三时一壶则十时该三壶零三之一丙六时一壶则十时该一壶零三之二】得数并计共以十时尽十壶比原问一壶又盈九列右下两盈相减剩六为法上下左右互乘相减亦得六为实以法除实得一是二孔俱开则壶

　　水一时

　　泄尽也

　　问漏壶一具上有渇乌注水凡十二时而满下有窍通天池泄水凡十八时而水尽若上注水下泄水当几时水可满且借二十为满候列上以推注泄之时已知下泄十八时尽一壶则二十时当尽一壶零九分壶之一而其上注二十时必能满至二壶九之一方与此合乃且注且泄只有一壶三之二不足九分壶之四列左下另借三十时为满候列右上而各推其时已知下泄十八时尽一壶则三十时当尽一壶零三之二而其上注三十时必须满至二壶三之二方与此合而又不然只满二壶半亦不足六分壶之一列右下两不足相减余为法乃以右上乗左下以左上乗右下减余为实以法除之

 

　　问甲匠做工三十日完加乙匠则十八日完若独用乙匠须几日完先要知甲匠十八日所做之工乃三十日内五分之三则知乙匠十八日之工乃其五分之二也试借四十日为乙衰列左上以十八日完五之二推之则四十日完九分工之八不足九之一列左下别借六十日为乙衰列右上亦以十八日五之二推之则六十日完全工外又溢九之三列右下两盈不足相并得九之四为法次以左上乗右下右上乘左下相并得九之一百八十为实以法除实得四十五日完工

 

　　右乙匠十八日完五分工之二所少五之三者算该二十七日完以二十七加一十八是四十五也

　　问甲乙丙三人共博甲赢乙金二之一乙赢丙金三之一丙又赢甲金四之一事毕各剰金七百两三人原携母金若干法已知三人原共金二千一百两【三个七百】三分之当于甲衰七百内与丙四之一又得乙二之一于乙衰当加入丙三之一又与甲二之一于丙衰当得甲四之一又与乙三之一乃先借一百两为甲衰列左上内除四之一【二十五】该存七十五而总有七百两是所赢于乙者为六百二十五两而乙衰当为一千二百五十两矣列左次内输去二之一则所剰当亦为六百二十五两又赢丙三之一而为七百两则亦得丙七十五两而丙所携母为二百二十五两矣又列其次内输与乙三之一尚存一百五十加入得甲四之一【二十五】共得一百七十五两以较原问不足五百二十五列左下别借二百为甲衰列右上内除四之一【五十】剰一百五十而总有七百以乙二之一足之则知乙衰二之一该五百五十两而乙总数为一千一百两矣列右次内输与甲二之一当剰五百五十两又以丙三之一足之而为七百两则亦得丙一百五十两而丙所携母为四百五十两矣又列其次内输与乙三之一尚存三百两加所得甲四之一【五十】仅得三百五十两比原问不足三百五十列右下两不足相减剰为法左右上下互乘相减剩为实以法除实得四百为甲母推知乙母八百【以甲四百减四之一存三百加入乙二之一该増四百是知乙母八百】丙母九百【以乙八百减二之一存四百加入丙三之一该増三百是知丙母九百也甲母四百赢四百输一百乙母八百输四百赢三百丙母九百输三百赢一百俱剰七百而三人所携与所赢所输皆得矣】

 

　　问甲乙丙三商共贩得子银四百两依母银分之乙比甲多分十二两丙比乙多分十六两要知各分若干先借一两为甲衰列左上推得乙该十三两丙该二十九两共四十三两以视四百不足三百五十七两以次列左下别借二两为甲衰列右上推得乙该十四两丙该三十两共四十六两以视四百不足三百五十四两以次列右下两不足相减剰为法左右上下互乘得数减剰为实以法除实得

　　一百二十为甲衰以

　　推乙衰一百三十二丙

　　衰一百四十八合问

　　问调兵征倭内有南北西三处兵马南兵四万北兵为南兵及西兵二分之一西兵为南兵北兵三分之一要知北兵与西兵各若干并南兵共若干先借三万为北衰列左上推得南西二兵共该六万而西兵仅该二万列左次若为南北三之一则南北共只六万而实七万是盈一万也列左下又借二万四千为北衰列右上推得南西二兵共该四万八千而西兵仅该八千列右次若为南北三之一则南北共只二万四千而实六万四千又盈四万也列右下以盈相减剰数为法上下左右互乘得数亦相减剰为实以法除实得三万二千为北衰推知西兵二万四千总共九万六

　　千而北得

　　南西二之

　　一西得南

　　北三之一

 

　　问黄金百斤制罏一座既成虑匠人盗金和银销毁验之恐伤工本欲知和银若干法以器贮水令满已知水防斤乃以金罏百斤入器内溢水六十五斤加水令满别以纯金百斤入之溢水六十斤另贮满水以银百斤入之溢水九十斤今借银四十斤为匠所换数列左上存金六十斤列左次其罏溢水六十五斤若以纯金只溢六十斤推之实在罏内之金六十斤只该出水三十六斤又以纯银溢水九十斤推之所和之银四十斤亦该出水三十六斤共该溢七十二斤今视原数【六十五斤】盈七斤列左下又借银三十斤为匠所换数列右上存金七十斤列右次以纯金溢水六十斤推之则罏金七十斤该出水四十二斤又以纯银溢水九十斤推之则和银三十斤该出水二十七斤共该溢六十九斤今视原数【六十五斤】又盈四斤列右下两盈相减剰为法左右上下互乘得数减剰为实以法除实得一十六斤零三分斤之二为匠人盗和银数其实在纯金乃八十三斤三分斤之一也葢比例推之金百斤溢水六十斤则八十三斤及三分斤之一该出水五十斤银百斤溢水九十斤则一十六斤及三分斤之二该出水一十五斤合之得六十五斤合问

 

　　问绫七尺罗九尺两价适等其每尺之价罗少于绫者其较三十六文此绫罗各价若干是为匿价衰分法先借七十二文为绫价列左上则罗价当三十六文列左次各以尺数乘之【绫七尺得五百○四文罗九尺得三百二十四文】罗视绫不足一百八十文不相等也又列其下别借一百文为绫价列右上则罗价当六十四文列右次各以尺数乘之【绫七尺得七百文罗九尺得五百七十六文】罗视绫不足一百二十四文亦不相等也又列其下以两不足相减余为法乃以左上乘右下右上乘左下得数亦相减余为绫实以法除之得绫每尺价一百六十二文再以左次乘右下右次乘左下各得数相减余为罗实以法除得罗每尺价一百二十六文又各以尺数乘之绫七尺共一千一百三十四文罗九尺亦一千一百

　　三十四

　　文正等

 

　　问金九锭银十一锭其重适等互换一锭则金轻十三两金银每锭重若干此因互换一锭而金轻十三两因知金银之轻为六两五钱也乃先借一十三两为金衰列右上则银该六两五钱列右次各以锭乘【金九锭得一百一十七两银一十一锭得七十一两五钱】金视银盈四十五两五钱列下另借二十四两为金衰列左上则银该一十七两五钱列左次各以锭乘【金九锭得二百一十六两银十一锭得一百九十二两五钱】金视银盈二十三两五钱又列其下两盈相减余为法

 

　　而以左上乘右下右上乘左下得数相减余为金实左次乘右下右次乘左下得数相减余为银实俱以法除得金一锭重三十五两七钱五分银一锭重二十九两二钱五分而各以锭乘金九锭共三百二十一两七钱五分银十一锭亦三百二十一两七钱五分正等问牛羊共一百牵总价一百六十八两每牛三头银十二两羊四羫一两五钱欲知牛羊各数各价若干此于大总内又立小总法先以三归十二得牛一头价四两以四归一两五钱得羊一羫价三钱七分五厘而化两及钱分皆为厘算之先借六十为牛衰列左上则羊该四十列左次而以各价乘之【牛六十头乘四千厘得二十四万羊四羫乗三百七十五厘得一万五千并共得二百五十五两】以视共价盈八十七两列左下又借三十为牛衰列右上则羊该七十列右次而以各价乘之【牛得一十二万厘羊得二万六千二百五十厘并共得一百四十六两二钱五分】以视共价不足二十一两七钱五分列右下并盈不足为

　　法依

　　式互

　　乘

 

　　乃以左右上数互乘下并为牛实左右次数互乘下并为羊实以法除得牛三十六羊六十四以各价乘得总

　　问鸡兎同笼不言其数但云九十六头三百零八足其鸡兎各防何法以九十六头为主先借到鸡四十八只列右上兎亦四十八只列右次而以各足乘之【鸡二足乘四十八得九十六足兎四足乘四十八得一百九十二足】并二百八十八足以较三百○八足不足二十列右下又借作鸡六十只列左上则兎该三十六只列左次而以各足乘之【鸡二足乘六十得一百二十兎四足乘三十六得一百四十四】并二百六十四足以较三百○八足不足四十四列左下两不足相

　　减余二十四为法又以左上乘右下右上乘左下各得数相减余为鸡实以法除之得鸡三十八只

　　其左次右次亦如法乘减余为兎实以法除得兎五十八只各以两足四足乘之合三百○八足之数

 

　　又法置九十六头倍之得一百九十二以减总足余一百一十六足以二归之得五十八为兎数却以四足乘之得二百三十二又以减总足余七十六以二归之得三十八为鸡数葢以两物皆借作两足起算者以上原二十二条补七条与旧法盈朒畧似然本无盈朒而借立一数以求盈朒乃以盈朒推之者与前借衰互征之法俱极超妙虽至隠至奥之数用此推求未有不涣然氷释者学人熟此二法于算义思过半矣其旧法盈朒章人所恒习亦附数条于后相比拟

　　旧法未知借推之妙只立盈与不足或两盈两不足为母两母相减为法以母子互乘之数求其物实以两子或并或减之数求其人实大抵一盈一不足者相并为实两盈两不足者减余为实俱如前法耳又有叠数盈朒【如防人分防许盈几数防人分防许不足几数之类】列作上中下三位所求人实亦取下层盈不足并减同前而取两上相乘以为通法更乘人实然后乃以上中互乘减余为法除之又以上中乘出之数互乘下层仍前并减以为物实以法除之与人实同

　　问醵金买物每人出五两盈六两每人出三两不足四两人数物价各若干左列五之六右列三之四互乘并之为物实另并两子【六四】为人实两母相减余二为法除人实得人数五除物实得物价一十九两或先得人数以乘出率五内减盈六及以乘三外加不足四皆同

 

　　右法若依借衰者且借立一数与五相乘内减六得若干又与三相乘外加四得若干如相同即所求之数若不同者则依盈朒推之假如借四人列左上以乘五减盈六得一十四亦以乘三加不足之四得一十六两数相较不足二列左下又借七人列右上以乘五减盈六得二十九亦以乘三加不足之四得二十相较盈四列右下以并左下共六为法左右上下互乘并得三十为实以法除实得五人以乘出率五内减盈六得一十九两若以乘三加不足亦同

　　【此并子数为法并乘数为实以求人数与

　　前两母减余为法而除人实物实及以乘

　　出为物实而以母较除之者法稍异耳】

　　问众人分谷每人五石盈三十石每人六石不足四十石其人谷各若干以五之三十列左六之四十列右互乘并之为谷实并两子【三十四十】为人实两母【五六】相减余一为法除人实得人数七十除谷实得三百八十石或先得人数即以乘分率五外加盈三十及以人数乘分率六内减不足四十亦同【前条系出率故减盈增不足此条系入率故增盈减不足】

 

　　右法若用借衰者试借三十人列左上以乘五【一百五十】加三十【共一百八十石】亦以三十乘六【一百八十】减四十【一百四十】以前数较盈四十列左下另借一百人列右上以乘五【五百】加三十【五百三十】即以一百乘六【六百】减四十【五百六十】亦以前数较不足三十列右下盈不足相并为法左右上下互乘并之为实以法除实得七十为人数乃以人数乘五【得三百五十】外加盈三十为三百八十石又以人数乘六【四百二十】内减不足四十

　　亦三百八

　　十石

　　问以绢一匹作帐先折成六幅比旧帐长六寸后折成七幅比旧帐短四寸新绢旧帐幅各长若干此先以幅数乘盈不足数求之置六幅列左上以乘盈六寸得三尺六寸列左下置七幅列右上以乘不足四寸得二尺八寸列右下左右上下互乘并之为绢实另并盈不足【三尺六寸二尺八寸】为旧帐幅实而以七幅六幅相减余一为法除之得绢长四

　　丈二尺旧帐幅

　　长六尺四寸

　　问直田一段欲截一半另佃第云截长六步不足七步截长八步盈九步所截步及原濶步各若干列六之七及八之九互乘并之为截积之实并子数为原濶之实而以两母相较余二为法除之得原濶之步八得截积之步五十五

 

　　问每人出银三两五钱盈六两每人出银三两三钱盈二两八钱人数物价各若干此以两出率左右列及以两盈各置出率之下互乘得数相减余为物实以两盈相减余为人实又以出率相减余二为法除物实得价五十两除

　　人实得一

　　十六人

　　问每人出银五两不足四两每人出五两四钱不足二两人数物价各若干列两出率及两不足互乘得数亦相减余为物实以两不足相减余为人实又以两出率相减余四为法除人实得五人除物实得价二十九两

 

　　问井不知深将绳折作三股入井汲水余绳四尺次将绳折作四股入井绳余一尺井深绳长各若干置三股四股为母各以所盈数乘之【以三乗四尺得一十二尺以四乘一尺得四尺】左右列位互乘得数相减余为绳实以前所乗出两盈数相减余为井深之实乃以二母相减余一为法除绳实得绳长三丈六尺除井实得井深八尺

 

　　问每人出银二两五钱盈六两每人出二两三钱适足人数物价各若干置出率各以盈适足系之除适足无乘只以左盈乘右出率为物实以盈数为人实仍以两出率相减余二为法除物实得物价六十九两除人实得三十人或不乘盈数径求人数而以所得之人数乘适足之出率者亦得物价同前

 

　　问每人出银七两不足一十四两每人出九两适足人数物价各若干仍前列位以右九乘左不足为物实以不足为人实两出率减余二为法除人实得七人除物实得价六十三两或不以乘法求物实径求人数而以人数乘适足之出率亦得物价同前

 

　　问以米换布换九匹适足换七匹多米四斗其米数布价各若干置出率及盈适足以盈数为实以两出率减余为法除之得每匹值米二斗乃以适足之九匹乘之得总米一十八石

 

　　问每八人共出银七两盈四两五钱每九人共出六两不足三两人数物价各若干此叠数盈朒也布位三层先立通数以乘人率法取左上右上相乘为之【七十二】乃以上中二位左右互乘得数【左六十三右四十八】相减以其余数【一十五】为后除人实物实之法而各以乘得之数与下位左右互乘【左二百一十六右一百八十九】并之【四百零五】为物实以法除得价二十七两仍并盈不足数为人实之率【七十五】而以前求通法【七十二】乘之得数【五百四十】为人实亦以法除得三十六人此法与前数条大畧相同但物实则以上中乘出之数乘其下位盈朒之数而人实则増二上相乘通数以与再乘其所除人实物实之法则前条直以出率减余为之此以上中互乘得数相减余数为之此其小异耳

　　上　　中　　　　下

 

　　问每六人共出银九两盈三两每四人共出银七两盈六两人数物价各若干法以左上右上乘得数为通法【二十四】次以上中互乗【左得三十六右得四十二】相减余【六】为除人实物实之法【六】又以互乘所得之数与下两盈数互乘【左得二百一十六右得一百二十六】相减余为物实【九十两】以法除得价一十五两以两盈相减余【三】为人实之率而以通法【二十四】乘之得人实【七十二】以法除得一十二人　　　其叠数两不足仿此

　　上　　中　　　　下

 

　　问每三人共出银五两多一十两每五人共出银九两适足人数物价各若干法以左上右上相乘得数为通法【一十五】次以左上乘右中【二十七】右上乘左中【二十五】相减余【二】为除人实物实之法次以右中得数乘左下盈【得二百七十两】为物实以法除得价一百三十五两就以左下盈【一十】为人实率而以通法【一十五】乘之为人实【一百五十】以法除得七十五人

　　上　　中　　　　下　　其叠数不足适足仿此

 

　　问银未知数以买物用三分之二盈三两用五分之三不足一两银数物价各若干法取子母互乘以通盈朒之数如子数二互乘母五得一十以通朒一两得一十两列左子数三互乘母三得九以通盈三两得二十七两列右乃以左中乘右下【二百七十】右下乘左下【九十】并之【三百六十】而以两子相乘【六】为法除之【得六十】为银实而以左上右上减余【一】为法除之仍得总银六十两次并盈朒二数【三十七】为物实而以法除得价三十七两

　　上　　　　　中　　下

 

　　问银未知数取六分之四买物盈二两取四分之三买物盈三两五钱银数物价各若干以子数四互乘母四得一十六以通盈三两五钱得五十六两列左以子数三互乘母六得一十八以通盈二得三十六列右乃以左中乘右下【五百七十六】以右中乘左下【一千零八】减余【四百三十二】亦以两子相乘【一十二】为法除之【得三十六】为银实以左中右中减余【二】为法除之得总银一十八两别以两盈相减余【二十】为物价之实仍以法除得物价一十两

　　上　　　中　下

 

　　问纳官银不言其数但知有甲乙二等户乙户所办当甲户十之八先令甲等八户乙等五户纳之不足五两后令甲等六户乙等八户纳之不足三两其银数及各户则例若干法以甲乙二衰乘户数各并之列位【甲衰一十以乗八得八十乙衰八以乘五得四十并得一百二十户列左又以甲衰十乗六得六十以乙衰八乗八得六十四并得一百二十四户列右】以两不足数系之互乘相减余为银实【二百六十两】乃以上相减余为法【四】得官银六十五两别以两不足数相减余【二两】为则例之实以法除之得五钱而以各衰乘之甲衰一十乘得五两为甲等一户办数乙衰八乘得四两为乙等一户办数

 

　　问钱未知数以买物取二分之一盈四文取七分之三适足钱数物价各若干先取母子互乘一乘七得七列右三乘二得六列左而以六互乘盈四得二十四列右下即以为物价之实两母减余为法【一】除得物价二十四文又以适足之母【七】乘盈数【二十四】得数为钱实【一百六十八】而以原子一三相乘得数为法【三】除之得钱五十六文

 

　　问粜麦不知数但云取三分之一粜银八两适足若取八分之三粜银十两不足二石总麦石数若干每银一两粜麦若干法取两子母互乘得数各通粜银【以母三互子三得九通八两得七十二以母八互子一得八通十一两得八十】另以所通得数七十二列左八十列右乃以适足银【八】乘不足之麦【二】得数【一十六石】列右下如不足适足例而取适足所通出之银率【七十二】以乘不足所乘出之麦率【一十六】得数【一千一百五十二】又以两子相乘【三】为法除之以为麦实左中右中相减余八为法除得总麦四十八石另以不足乘出【一十六】为银实亦以法除【八】得麦二石价银实一两

 

　　同文算指通编卷四

<子部,天文算法类,算书之属,同文算指__通编>

　　钦定四库全书