- 御制厯象考成后编卷一
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日躔数理日躔总论嵗实黄赤距纬清气差地半径差用撱圆面积为平行求两心差及撱圆与平圆之比例求撱圆大小径之中率撱圆角度与面积相求求均数日躔总论钦若授时以日躔为首务盖日出而为昼入而为夜与月防而为朔行天一周而为嵗嵗月日皆于是乎纪故尧典以宾饯永短定治厯之大经万世莫能易也其推之法三代以上不可考汉晋诸家皆以日行一度三百六十五日四分日之一而一周天自北齐张子信始觉有入气之差而立损益之率隋刘焯立盈缩躔度与四序为升降厥法加详至元郭守敬乃分盈缩初末四限较前代为密西法自多禄亩以至第谷则立为本天髙卑本轮均轮诸説用三角形推算其术尤精上编言之备矣近世西人刻白尔噶西尼等更相推考又以本天为撱圆均分其面积为平行度与旧法逈殊然以求盈缩之数则界乎本轮均轮所得数之间盖其法之巧合虽若与第谷不同而其理则犹是本天髙卑之説也至若嵗实之转増距纬与两心差之渐近地半径差气差之互为大小则亦由于积损益旧数以成一家之言今用其法并释其义云嵗实日行天一周为嵗周嵗之日分为嵗实古法日行一度故周天为三百六十五度四分度之一嵗实为三百六十五日四分日之一【周日为一万分四分之一为二千五百分】尧典曰朞三百有六旬有六日杜预谓举全数而言则有六日其实五日四分日之一是也汉末刘洪始觉冬至后天以为嵗实太强减嵗余分二千五百为二千四百六十二晋虞喜宋何承天祖冲之谓嵗当有差乃损嵗余以益天周嵗差之法由斯而立元郭守敬取刘宋大明戊寅以来相距之积日时刻求得嵗实为三百六十五日二千四百二十五分比四分日之一减七十五分而天周即为三百六十五度二千五百七十五分矣西法周天三百六十度第谷定嵗实为三百六十五日五时三刻三分四十五秒以周日一万分通之得三百六十五日二四二一八七五较之郭守敬又减万分之三有竒以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十九纤五十一忽三十九芒【即十分度之九分八五六四七三六五八】嵗差则谓恒星每年东行五十一秒不特天自为天嵗自为嵗而星又自为星其理甚明其用尤便上编仍之厥后西人奈端等屡测嵗实又谓第谷所减太过酌定嵗实为三百六十五日五时三刻三分五十七秒四十一微三十八纤二忽二十六芒五十六尘以周日一万分通之得三百六十五日二四二三三四四二○一四一五比第谷所定多万分之一有竒以除周天三百六十度得每日平行五十九分零八秒一十九微四十四纤四十三忽二十二芒零三尘【即十分度之九分八五六四六九六九三五一二八二二五】比第谷所定少五纤有竒每年少三十微有竒盖嵗实之分数増则日行之分数减据今表推雍正元年癸卯天正冬至比第谷旧表迟二刻日躔平行根比旧表少一分一十四秒【见推日躔用数】而第谷去今一百四十余年以数计之其差恰合是亦取前后两冬至相距之积日时刻而均分之非意为増损也至于嵗实消长统天授时用之新法算书虽为之説而实未用其数兹不具论黄赤距纬黄赤距纬古今所测不同自汉以来皆谓黄道出入赤道南北二十四度元郭守敬所测为二十三度九十分三十秒以周天三百六十度每度六十分约之得三十三度三十三分三十二秒新法算书用西人第谷所测为二十三度三十一分三十秒康熙五十二年皇祖圣祖仁皇帝命和硕荘亲王等率同儒臣于畅春园养斋开局测太阳髙度得黄赤大距为二十三度二十九分三十秒今监臣戴进贤等厯考西史第谷所测盖在明隆万时而汉时多禄亩所测为二十三度五十一分三十秒较第谷为多我朝顺治年间刻白尔改为二十三度三十分后利酌理噶西尼又改为二十三度二十九分俱较第谷为少其前后多少之故或谓诸家所用气差地半径差之数各有不同故所定距纬亦异然合中西考之第谷以前未知有气差而多禄亩与古为近至郭守敬则与第谷相若而去多禄亩则有十数分之多康熙年间所用气差地半径差俱仍第谷之旧与刻白尔噶西尼等所用之数不同而所测大距又相去不逺由此观之则黄赤距度古今实有不同而非由于所用差数之异所当随时考测以合天也近日西法并宗噶西尼故黄赤大距为二十三度二十九分至于测量之术推算之理上编阐奥发微千古不易故不复载清气差清气差西人第谷始发其义谓地中游气上腾能升卑为髙映小为大而气之厚薄升像之髙下又随地不同其所作气差表谓其国北极出地五十五度测得地平上最大气差三十四分自地平以上其差渐少至距地髙四十五度犹差五秒更髙则无气矣厥后西人又言北极髙四十八度太阳髙四十五度时气差尚有一分余自地平至天顶皆有气差上编具载其説而表则仍新法算书第谷之旧也今监臣戴进贤等厯考西史第谷所定地平上气差其门人刻白尔即谓失之稍大而犹未定有确数至噶西尼始从而改正焉其説谓气绕乎地球之周日月星照乎气之外人在地面为气所映必能视之使髙而日月星之光线入乎气之中必反折之使下故光线与视线在气之内则合而为一气之外则岐而为二此二线所交之角即为气差角第谷己悟其理然犹未有算术噶西尼反覆精求谓视线与光线所岐虽有不同而相合则有定处自地心过所合处作线抵圜周则此线即为气之割线视线与割线成一角光线与割线亦成一角二角相减即得气差角爰在北极出地髙四十四度处屡加精测得地平上最大差为三十二分一十九秒气之厚为地半径千万分之六千零九十五视线角与光线角正之比例常如一千万与一千万零二千八百四十一用是以推逐度之气差至八十九度尚有一秒验诸实测较第谷为密近日西法并宗之具详图法于左如图甲为地心乙为地面乙甲为地半径一千万丙乙为气之厚六千零九十五丁为太阳【月星仿此】照于气之戊人自地面乙视之则见日于戊者当本天之巳巳戊乙为视线丁戊乙为光线是视线常髙光线常卑视线常直光线常折在戊气之内则光线与视线合同为戊乙出乎戊之外则视线己戊光线丁戊岐而为二故己戊丁角为气差角试自地心甲出线过戊至庚则庚甲即为地平上气之割线己戊庚角为视线与割线所成之角丁戊庚角为光线与割线所成之角而己戊丁气差角即为两角之较今既测得地平上气差为三十二分一十九秒又测定气之厚为六千零九十五则己戊庚视线角与丁戊庚光线角可以得其比例其术用甲乙戊直角三角形以甲戊一○○○六○九五与甲乙一千万之比同于乙直角正一千万与戊角正九九九三九○八【小余七一】之比而得戊角为八十八度【小余百分秒之四二】即己戊庚角又以己戊丁气差角三十二分一十九秒与之相加得八十八度三十二分一十九秒【小余四二】即丁戊庚角其正为九九九六七四八【小余二五】夫视线角之正己辛为九九九三九○八【小余七一】则光线角之正丁壬为九九九六七四八【小余二五】若设己辛为一千万则丁壬必为一○○○二八四一此两角正之比例也既得两之比例而气差之戊角与视线交气割线之戊角同以在地平为最大渐近天顶则渐小则是二者常相因而逐度之气差皆可以两比例而推如求地平上髙二十度癸己弧之气差则癸戊乙为视线子戊乙为光线丑戊甲为地平上二十度气之割线戊乙丙角为七十度癸戊丑角为视线与割线所成之角其正为癸寅子戊丑角为光线与割线所成之角其正为子卯先用甲戊乙三角形求得戊角六十九度五十四分一十五秒【小余五五】即癸戊丑角又以一千万与一○○○二八四一之比同于癸寅与子卯之比而得子戊丑角为六十九度五十六分五十五秒【小余九二】两角相减余癸戊子角二分四十秒【小余三七】即地平上二十度之气差也余仿此地半径差地半径差者视髙与实髙之差也太阳距地平近则差角大渐髙则渐小又太阳在最卑距地心近则差角大在最髙距地心逺则差角小在中距为适中新法算书用歌白尼所定地半径与中距日天半径之比例为一与一千一百四十二地平上最大差为三分上编仍之其测量推算之法言之详矣自后噶西尼等谓日天半径甚逺无地半径差而测量所系只在秒微又有气杂乎其内最为难定因思日月星之在天惟恒星无地半径差若以日与恒星相较可得其准而日星不能两见是测日不如测五星也土木二星在日上去地尤逺地半径差愈微金水二星虽有时在日下而其行绕日逼近日光均为难测惟火星绕日而亦绕地能与太阳冲故夜半时火星正当子午线于南北两处测之同与一恒星相较其距恒星若相等则是无地半径差若相距不等即为有地半径差其不等之数即两处地半径差之较且火星冲太阳时其距地较太阳为近则太阳地半径差必更小于火星地半径差也噶西尼用此法推得火星在地平上最大地半径差为二十五秒比例得太阳在中距时地平上最大地半径差为一十秒验之交食果为脗合近日西法并宗其説今用所定地半径差求地半径与日天半径之比例中距为一与二万零六百二十六最髙为一与二万零九百七十五最卑为一与二万零二百七十七以求地平上最大之地半径差最髙为九秒五十微最卑为一十秒一十微测算之法并述于左康熙十一年壬子秋分前十四日火星与太阳冲西人噶西尼于富郎济亚国测得火星距天顶五十九度四十分一十五秒利实尔于噶耶那岛测得火星距天顶一十五度四十七分五秒同时用有千里镜能测秒微之仪器与子午线上最近一恒星测其相距噶西尼所测火星较低一十五秒【如噶西尼测得火星距恒星下四十分一十五秒利实尔测得火星距恒星下四十分又逐日细测恒星距天顶噶西尼测得为五十九度利实尔测得为一十五度七分五秒各与所测火星距恒星之数相加即各得火星距天顶之度】以之立法甲为地心乙为富郎济亚国地面丙为天顶丁为噶耶那岛地面戊为天顶己为火星丙戊己庚为子午线【如两地面不同在一子午线则须按东西里差求其同一子午线之髙度见上编日躔厯理】己乙丙角为乙处火星视距天顶五十九度四十分一十五秒己丁戊角为丁处火星视距天顶一十五度四十七分五秒【地面为视距地心为实距】辛为恒星辛甲丙角为乙处恒星距天顶之度辛甲戊角为丁处恒星距天顶之度因恒星距地甚逺地面所视与地心无异故无地半径差假若火星亦无地半径差则乙处火星实距天顶当为己甲丙角丁处火星实距天顶当为己甲戊角而火星与恒星之相距即同为己甲辛角无髙低之异乃乙处所测火星距天顶为己乙丙角较之实距天顶之己甲丙角低一乙己甲角是即乙处之地半径差也丁处所测火星距天顶为己丁戊角较之实距天顶之己甲戊角低一丁己甲角是即丁处之地半径差也夫火星之距恒星一也因乙处所测火星距天顶逺故乙己甲差角大丁处所测火星距天顶近故丁己甲差角小则乙处所测火星距恒星较丁处一十五秒即两差角相减所余之丁己乙角乃两处地半径差之较也既得地半径差较丁己乙角而欲求地平上最大差甲壬乙角则以两处所测火星距天顶之正相减与地半径差较秒数之比即同于半径一千万与地平上最大差秒数之比盖将己乙线引长至癸自甲作甲癸垂线成甲癸乙直角形癸为直角乙角与己乙丙为对角即乙处火星距天顶之度甲癸为地半径差乙己甲角之正【甲己为半径故】甲乙为地半径即最大差甲壬乙角之正【甲壬为半径故】其法为乙角正与甲癸之比同于癸直角正一千万与甲乙之比检表而得壬角也又将己丁线引长至子自甲作甲子垂线成甲子丁直角形子为直角丁角与己丁戊为对角即丁处火星距天顶之度甲子为地半径差丁己甲角之正甲丁与甲乙等亦为最大差甲壬乙角之正其法为丁角正与甲子之比同于子直角正一千万与甲丁之比亦检表而得壬角也夫两视距天顶之正与两地半径差正之比既皆同于一千万与最大差正之比则两视距天顶正相减之较与两地半径差正相减之较之比亦必同于一千万与最大差正之比又地半径差角甚小其两正之较与两角度之较可以相为比例则两视距天顶正相减之较与两地半径差相减所余秒数之比亦必同于一千万与最大差秒数之比矣故以己乙丙角五十九度四十分一十五秒之正八六三一三八六与己丁戊角一十五度四十七分五秒之正二七二○二三六相减余五九一一一五○为一率乙己丁角一十五秒为二率一千万为三率求得四率二十五秒【小余三七】即甲壬乙角为火星在地平上最大之地半径差也既得火星地半径差甲壬乙角而欲求太阳地半径差甲丑乙角据歌白尼第谷测得火星距地甲壬与太阳距地甲丑之比如一百与二百六十六其法当先用甲乙壬形以乙角正为一率甲壬为二率壬角正为三率甲乙为四率此第一比例也次用甲乙丑形以甲丑为一率乙角正为二率甲乙为三率丑角正为四率此第二比例也然第二比例之二率三率即第一比例之一率四率而一率四率相乗原与二率三率相乗之数等故即以甲丑二六六为一率甲壬一○○为二率壬角二十五秒【小余三七】为三率求得四率九秒【小余五三】进为一十秒为丑角度【因壬丑二角甚小正与角度可以相为比例故壬角用秒丑角亦得秒】即太阳在地平上最大之地半径差也又按上编日躔求地半径差法以两处恒星距天顶相减余四十三度五十二分五十五秒为戊丙弧即戊甲丙角先用乙甲丁三角形甲乙甲丁二边俱命为一千万以甲角折半之正倍之得七四七三○二三为乙丁边又以甲角与半周相减余数半之得六十八度三分三十二秒三十微为乙角亦即丁角次用乙己丁三角形此形有乙丁边有己乙丁角五十二度一十六分一十二秒三十微【半周内减去甲乙丁角又减去己乙丙角余即己乙丁角】有己丁乙角一百二十七度四十三分三十二秒三十微【半周内减去甲丁乙角加己丁戊角即己丁乙角】有乙己丁角一十五秒【乙丁二角相并与半周相减余即己角与前地半径差较合】求得己丁边八一二七五一二五一五四【小余二九】次用己丁甲三角形此形有甲丁边有丁己边有丁外角一十五度四十七分五秒【即丁处火星距天顶】将己丁线引长至子成甲子丁直角形丁角正二七二○二三六【小余五】即甲子边丁角余九六二二九○六即丁子边以丁子与己丁相加得己子八一二八四七四八○六○【小余二九】为股甲子为勾求得八一二八四七四八一一二为甲己边与甲壬等即火星距地心数以地半径较之其比例为一与八千一百二十八又以甲壬为一率甲乙为二率一千万为三率求得四率一二三○【小余二四】为壬角之正检表得二十五秒【小余三七】为火星在地平上最大差与前法所得数同【上编求日纒地半径差亦可用前法算但两处所测太阳一在天顶南一在天顶北其差角为地半径差总当以两距天顶之正相加与地半径差总秒数之比同于一千万与地平上最大差秒数之比耳】用撱圆面积为平行太阳之行有盈缩由于本天有髙卑春分至秋分行最髙半周故行缩而厯日多秋分至春分行最卑半周故行盈而厯日少其説一为不同心天一为本轮而不同心天之两心差即本轮之半径故二者名虽异而理则同也第谷用本轮以推盈缩差惟中距与实测合最髙前后则失之小最卑前后则失之大又最髙之髙于本天半径最卑之卑于本天半径者非两心差之全数而止及其半故又用均轮以消息乎其间而后髙卑之数盈缩之行与当时实测相合上编言之详矣然天行不能无差元郭守敬定盈缩之最大差为二度四○一四以周天三百六十度每度六十分约之得二度二十二分新法算书第谷所定之最大差为二度零三分一十一秒刻白尔以来屡加精测盈缩之最大差止有一度五十六分一十二秒又以推逐度之盈缩差最髙前后本轮固失之小矣均轮又失之大最卑前后本轮固失之大矣均轮又失之小乃设本天为撱圆均分撱圆面积为逐日平行之度则髙卑之理既与旧説无异而髙卑前后盈缩之行乃俱与今测相符具详图説如左如图甲为地心乙丙丁戊为黄道己为不同心天之心庚辛壬癸为不同心天乙庚为本轮半径与甲己两心差等以本轮之法论之最卑时本轮心在乙太阳在庚中距时本轮心在丙太阳在辛乙丙为平行九十度辛甲丙角为平行实行之最大差以不同心天之法论之太阳自最卑庚行至辛亦九十度己辛甲角为平行实行之最大差与辛甲丙角等故本轮之法与不同心天之法相同以均轮之法论之最卑时本轮心在乙均轮心在子太阳在丑中距时本轮心在丙均轮心在卯太阳在辛最髙时本轮心在丁均轮心在辰太阳在巳辛甲丙角最大差仍当甲己之全而丑乙之卑于本天半径巳丁之髙于本天半径者止及甲己之半与甲寅等故以推盈缩差惟中距与本轮同最髙半周比之本轮则大【距地近故角大】最卑半周比之本轮则小【距地逺故角小】此其所以消息乎本轮之行度者当时必有所据而自刻白尔以来则谓髙卑之数均轮所定诚是但其数渐减耳至以推盈缩差则均轮之所消息者又属太过惟以寅为不同心天之心作撱圆形自地心甲分之计太阳在撱圆周右旋其所行之分撱圆面积日日皆相等而用以推黄道实行之盈缩则在本轮均轮所得数之间而与实测脗合试以寅为心与己丑作十字线又取寅丑之度从甲截横线于午使午甲午己皆与寅丑半径等乃以甲己两各为心午为界各用一针钉之围以丝线末以铅笔代午针引而旋转即成丑午己未撱圆形寅丑寅己为撱圆大半径寅午寅未为撱圆小半径则撱圆不以甲己为心而以寅为心丑乙之卑于黄道巳丁之髙于黄道者止及甲己之半与寅甲等是髙卑之理与均轮合矣又将撱圆面积以甲为心均分为三百六十分每分之积皆为一度每一度积为六十分太阳每日右旋当每一度积之五十九分有竒是为平行在最卑半周甲心至撱圆界之线短则角度必寛是为行盈在最髙半周甲心至撱圆界之线长则角度必狭是为行缩故太阳循撱圆周行惟所当之面积相等而角不等其角度与积度之较即平行实行之差中距平行至申甲申丑积为撱圆四分之一为平行九十度与寅午丑积等【申午酉积微大于酉寅甲积然所差无多故为相等】亦与申己甲角等而自地心甲计之己当黄道之戌戌甲丑角为实行己申甲角为平行实行之差是中距之盈缩差与本轮均轮皆合矣用是以推逐度之盈缩差在最髙半周比之本轮固大比之均轮又微小最卑半周比之本轮固小比之均轮又微大验诸实测庶为近之推算之法具详后篇求两心差及撱圆与平圆之比例新法算书日躔中距之盈缩差为二度零三分零九秒四十微检其正切得两心差为三五八四一六上编仍之今测中距之盈缩差得一度五十六分一十二秒折半得五十八分零六秒检其正得一六九○○○为两心差倍之得三三八○○○比旧数少千分之二有竒乃以两心差一六九○○○为勾平圆半径一千万为求得股九九九八五七一【小余八四八○一九一】即撱圆之小半径而凡撱圆之正角度面积与平圆之比例皆同于撱圆之小半径与平圆半径之比例焉如图甲为地心乙为本天心甲乙为两心差甲丙为倍差丁戊己庚撱圆为本天乙丁为大半径一午万乙戊为小半径丙戊甲戊皆与乙丁等太阳行至戊甲戊丁分撱圆面积八十九度一分五十四秒为平行其小于九十度之五十八分六秒即甲乙戊勾股积【乙戊丁积为撱圆四分之一必九十度故甲戊丁积小于九十度之积即甲乙戊勾股积】亦即乙戊甲角【甲乙戊勾股积甲戊边即大径乙戊边即小径其积介乎大小径之间与分平圆面相似故积度即角度若近甲丁则边短而角大近甲己则边长而角小详后篇】戊甲丁角九十度五十八分零六秒为实行其大于九十度者亦五十八分六秒即戊甲辛角与乙戊甲角等亦与丙戊乙角等平行实行之差一度五十六分一十二秒即甲戊丙角折半得五十八分零六秒即乙戊甲角甲戊既为一千万则甲乙即乙戊甲角之正故检表得一六九○○○即甲乙两心差以甲乙为勾甲戊为求得乙戊股九九九八五七一【小余八四八○一九一】即撱圆小半径也既得撱圆小径则凡撱圆之面线及角度皆可以得其比例以正之比例言之试以乙为心乙丁为半径作丁壬己癸平圆则撱圆乙丁大半径与平圆乙壬半径相等戊乙小半径之小于平圆半径者即壬戊撱圆差若逐度割之则撱圆之余必与平圆之余相等而撱圆之正必小于平圆之正然平圆正与撱圆正之比例必同于平圆半径与撱圆小半径之比例也如丁为初度无正丁乙为初度之余平圆与撱圆等丁壬弧为九十度无余壬乙为平圆九十度之正即大半径戊乙为撱圆九十度之正即小半径壬戊即九十度之撱圆差丁子弧为三十度丑乙为三十度之余平圆与撱圆等子丑为平圆三十度之正寅丑为撱圆三十度之正子寅为三十度之撱圆差丁卯弧为六十度辰乙为六十度之余平圆与撱圆等卯辰为平圆六十度之正巳辰为撱圆六十度之正卯巳为六十度之撱圆差则子丑与寅丑之比卯辰与巳辰之比皆同于壬乙与戊乙之比而子丑与子寅之比卯辰与卯巳之比皆同于壬乙与壬戊之比也奚以明其然也盖撱圆之与平圆处处皆有一小半径藏乎其内试取壬戊之分于乙心作圜则午乙未乙申乙酉乙皆与壬戊等壬午卯未子申丁酉皆与戊乙等是推而抵于平圆之界各有一小半径在也又自甲丙二出线合于戊则小径之端在戊而末在乙自甲丙二出线合于丁则小径之端在丁而末在酉若自甲丙出二线合于寅则小径必端在寅而末在戌合于巳则小径必端在巳而末在亥是引而归于平圆之径又各有一小半径在也夫寅戌巳亥既皆为小径而申戌未亥又与子丑卯辰为平行则寅戌与子申巳亥与卯未亦必为平行而申戌与子寅未亥与卯巳必各相等故乙子丑与戌寅丑及乙申戌为同式形乙卯辰与亥巳辰及乙未亥亦为同式形而子丑与寅丑之比同于子乙【即壬乙】与寅戌【即戊乙】之比卯辰与巳辰之比同于卯乙【即壬乙】与巳亥【即戊乙】之比又子丑与申戌【即子寅】之比同于子乙【即壬乙】与申乙【即壬戊】之比卯辰与未亥【即卯巳】之比同于卯乙【即壬乙】与未乙【即壬戊】之比是平圆与撱圆正之比例同于大径与小径之比例也以角度之比例言之设卯乙辰角为平圆六十度【即丁卯弧】求撱圆之巳乙辰角试以乙辰为半径作弧则卯辰为卯乙辰角之正切巳辰为巳乙辰角之正切夫卯辰与巳辰之比既同于壬乙与戊乙之比则卯乙辰角之正切与巳乙辰角正切之比亦必同于壬乙与戊乙之比故以壬乙一千万为一率戊乙九九九八五七一【小余八五】为二率卯乙辰角六十度之正切一七三二○五○八为三率求得四率一七三一八○三四为巳乙辰角之正切检表得五十九度五十九分四十七秒即巳乙辰角而卯乙巳角一十三秒为撱圆差角【卯乙辰角内减巳乙辰角余即卯乙巳角】又设巳甲辰角六十度五十分三十二秒求卯甲辰角试以甲辰为半径作弧则巳辰为巳甲辰角之正切卯辰为卯甲辰角之正切夫卯辰与巳辰之比既同于壬乙与戊乙之比则巳辰与卯辰之比必同于戊乙与壬乙之比而巳甲辰角之正切与卯甲辰角正切之比亦必同于戊乙与壬乙之比故以戊乙九九九八五七一【小余八五】为一率壬乙一千万为二率巳甲辰角之正切一七九二三八九七为三率求得四率一七九二六四五七为卯甲辰角之正切检表得六十度五十分四十五秒即卯甲辰角而卯甲巳角一十三秒为撱圆差角是平圆与撱圆角度之比例亦同于大径与小径之比例也再以面积之比例言之凡平圆面积与撱圆面积之比例同于平圆外切正方面积与撱圆外切长方面积之比例亦即同于撱圆大径与小径之比例【撱圆大径即平圆径见几何原本八卷第十二节】如求撱圆六十度之面积则先设丁卯弧六十度求乙卯丁六十度之平圆面积以比之法以半周率三一四一五九二六五【定率圆径一千万则圆周为三一四一五九二六五今一千万为半径故周率为半周】用三分之得一○四七一九七五五为卯丁弧线【因卯丁弧六十度为半周三分之一故三分半周率而得卯丁弧线若有竒零则须用比例法】与乙卯半径一千万相乗折半得五二三五九八七七五○○○○○即乙卯丁分平圆六十度之面积而为丁壬己癸平圆全积六分之一又以壬乙大半径一千万为一率戊乙小半径九九九八五七一【小余八五】为二率乙卯丁积为三率求得四率五二三五二三九九七二四○九五即乙己丁分撱圆六十度之面积而为丁戊己庚撱圆全积六分之一也【此所得六十度积较之全积六分之一尾数稍大因小径之小余为八四八进为八五之故然于圆度只差纎忽可不计也】盖将平圆撱圆二面积依壬癸横径缕析之则皆成线矣其线与线之比既同于大径与小径之比则面与面之比亦同于大径与小径之比故分之丁卯辰弧矢积与丁巳辰弧矢积之比卯辰乙勾股积与巳辰乙勾股积之比皆同于大径与小径之比而合之乙卯丁分平圆面积与乙巳丁分撱圆面积之比亦必同于大径与小径之比也既得撱圆与平圆之各比例则面线角度皆可得而求至于撱圆正以平圆命度而角度不同分撱圆面积与全积相当而角不相应则撱圆差之所生而与平圆之所以别也求撱圆大小径之中率凡平圆面积自中心分之其所分面积之度即其心角之度以圜界为心角之规而半径俱相等也若撱圆有大小径角与积巳不相应矣【见前篇】况实行之角平行之积皆不以本天心为心而以地心为心太阳距地心线自最卑以渐而长逐度俱不等又何以知积之为度而与角相较乎然以大小径之中率作平圆其面积与撱圆等将平圆面积逐度递析之则度分秒皆可按积而稽撱圆之全积既与平圆全积等则其递析之面积亦必相等故分撱圆面积虽非度亦可以度命之而度分秒亦可按积而稽也如图甲为地心乙为本天心乙甲为两心差丙甲为倍差丁戊己庚撱圆为本天乙丁为大半径一千万乙戊为小半径九九九八五七一【小余八四八○一九一】试以乙丁大半径作丁辛己壬平圆则平圆与撱圆二面积之比例同于平圆外切癸子丑寅正方积与撱圆外切卯辰巳午长方积之比例又试以乙丁大半径为首率乙戊小半径为末率求得乙申中率九九九九二八五【小余八九】作平圆则大半径所作丁辛己壬平圆与中率所作申酉戌亥平圆二面积之比例亦同于大径平圆外切癸子丑寅正方积与中率平圆外切干坎艮震正方积之比例此二比例既同而干坎艮震正方积原与卯辰巳午长方积等【首率末率相乘与中率自乗等】则申酉戌亥平圆积亦必与丁戊己庚撱圆积相等矣乃以己丁大径二千万与戊庚小径一九九九七一四三【小余六九六○三八二】相乗得卯辰巳午长方积与干坎艮震正方积等以方与圆之比例定率七八五三九八一六二五通之得三一四一一四三九八二八二三三七为申酉戌亥平圆面积与丁戊己庚撱圆面积等将申酉戌亥平圆面积以三百六十度除之得八七二五三九九九五二二九为一度之面积其形为分平圆面其两腰皆为中率半径与乙申等其弧其角皆为一度若将丁戊己庚撱圆面积自甲心亦平分为三百六十分则其形为分撱圆面其两腰自甲丁极短以渐而长逐度俱不等其弧其角亦不等然其每分之面积则皆与一度之面积等故凡分一段撱圆面积以一度之面积为法而一则面积即可以度分命之然后以面积之度与角度相较而平行实行之差出焉如以甲为心以中率为半径作平圆则甲巽丁分撱圆面积为太阳距最卑后之平行度与甲离申分平圆面积等亦即与离甲申角等巽甲离角为平行实行之差其实行在平行前甲坤己分撱圆面积为太阳距最髙后之平行度与甲兑戌分平圆面积等亦即与兑甲戌角等兑甲坤角为平行实行之差其实行在平行后也撱圆角度与面积相求前篇言以面积之度与角度相较而平行实行之差以出盖太阳距最卑后平行之度必与太阳距地心线所分之撱圆面积等故可以平行度为面积而求实行也然实行固角度也以实测言之则先得实行后求平行以角而求积也易以推歩言之则先设平行后求实行以积而求角也难故先设以角求积之法可以知数理之实次设以积求角之法可以知比例之术次设借积求积借角求角之法可以知巧合补凑之方反覆参稽而数之离合乃纤悉毕呈焉图説详着于左先设以角求积法如图甲为地心乙为本天心甲乙为两心差丙甲为倍差丁戊己庚为本天丁为最卑己为最髙设太阳在辛辛甲丁角为实行距最卑后六十度求甲辛丁分撱圆面积平行若干度分先将甲辛线引长至壬作丙壬垂线成甲丙壬辛丙壬两勾股形乃以半径一千万为一率甲角六十度之正八六六○二五四为二率【丙甲壬角与辛甲丁角为对角其度相等】丙甲倍两心差三三八○○○为三率求得四率二九二七一六【小余五九】为丙壬边又以半径一千万为一率甲角六十度之余五○○○○○○为二率丙甲边为三率求得四率一六九○○○为甲壬边次以丙壬为勾自乗以甲壬与甲辛丙辛两边和二千万相加得二○一六九○○○为股和除之得四二四八【小余二五】为股较与股和相加折半得一○○八六六二四【小余一三】为丙辛边与二千万相减余九九一三三七五【小余八七】为甲辛边即太阳距地心线次以半径一千万为一率甲角六十度之正八六六○二五四为二率甲辛边为三率求得四率八五八五二三五【小余三○】即辛癸边次以撱圆小径九九九八五七一【小余八五】为一率大径一千万为二率辛癸边为三率求得四率八五八六四六一【小余五八】即子癸边检正得五十九度九分五十三秒【小余六九】即乙角度亦即子丁弧度次以半周天一百八十度化作六十四万八千秒为一率半圆周定率三一四一五九二六【小余五】为二率乙角度分化作二十一万二千九百九十三秒【小余六九】为三率求得四率一○三二六二二五【小余四七八四○○九】为子丁弧线与乙丁半径一千万相乗折半得五一六三一一二七三九二○○五为乙子丁分平圆面积次以撱圆大径一千万为一率小径九九九八五七一【小余八五】为二率乙子丁积为三率求得四率五一六二三七五三六九二五四六为乙辛丁分撱圆面积次以乙甲一六九○○○与辛癸八五八五二三五【小余三○】相乗折半得七二五四五二八八二八五○为辛乙甲三角积【辛乙甲三角积以乙甲为底辛癸为髙故与同底同髙折半之积等】与乙辛丁积相减余五○八九八三○○八○九六九六即甲辛丁分撱圆面积以一度之面积定率八七二五三九九九五二二九除之得五十八度三三三四【小余八七】收作五十八度二十分○秒三十三微即实行距最卑后六十度时之平行度也又法求甲辛太阳距地心线将甲辛线引长至壬使辛壬与丙辛等又自丙至壬作丙壬线成甲丙壬三角形此形知丙甲倍两心差三三八○○○知甲壬二千万知甲外角六【甲辛丙辛共二千万辛壬既与丙辛等故甲壬亦二千万】十度用切线分外角法求得壬角四十九分五十三秒又求得丙壬边二【小余三六】○一七一○八○次将丙壬边折半【小余二九】于癸作辛癸垂线成壬癸辛直角形以半径一千万为一率壬角正割线一○○○一○五三为二率癸壬边一○○八五【小余三五】五四○为三率求得四率一○○甲辛【小余一四五】丙辛共二千万辛壬既与丙八六六○二【小余六一】为辛壬边与甲壬二千万相减余九九一三三九七【小余三九】即甲辛太阳距地心线也此法所得甲辛线较前法多二十二盖因壬角甚小比例易差耳然其角度自不爽故后借角求角之法则用之且以甲为心以二千万为半径作圜【如甲壬】又取两心差之倍度截直径于丙自丙出线至圜周【如丙壬】折半作垂线【如癸辛】所抵圜径之即撱圆界【如辛】依法逐度作连之即成撱圆周以此发明撱圆之理最为精巧故附于此又设太阳在壬壬甲己角为实行距最髙后六十度求甲壬己分撱圆面积平行若干度分则以半径一千万为一率甲角六十度之正八六六○二五四为二率丙甲三三八○○○为三率求得四率二九二七一六【小余五九】为丙癸垂线又以半径一千万为一率甲角六十度之余五○○○○○○为二率丙甲边为三率求得四率一六九○○○为甲癸分边次以丙癸为勾自乘以甲癸与甲壬丙壬两边和二千万相减余一九八三一○○○为股和除之得四三二○【小余六六】为股较与股和相加折半得九九一七六六○【小余三三】为丙壬边与二千万相减余一○○八二三三九【小余六七】为甲壬边即太阳距地心线次以半径一千万为一率甲角六十度之正八六六○二五四为二率甲壬边为三率求得四率八七三一五六二【小余二五】即壬子边次以撱圆小径九九九八五七一【小余八五】为一率大径一千万为二率壬子边为三率求得四率八七三二八○九【小余四二】即丑子边检正得六十度五十分三十一秒【小余八三】即乙角度亦即己丑弧度次以半周天一百八十度化作六十四万八千秒为一率半周率三一四一五九二六【小余五】为二率乙角度分化作二十一万九千零三十一秒【小余八三】为三率求得四率一○六一八九六二【小余七六六一一一九】为已丑弧线与已乙半径一千万相乗折半得五三○九四八一三八三○五五九为乙丑已分平圆面积次以撱圆大径一千万为一率小径九九九八五七一【小余八五】为二率乙丑己积为三率求得四率五三○八七二三一○九四七二二为乙壬已分撱圆面积次以甲乙一六九○○○与壬子八七三一五六二【小余二五】相乗折半得七三七八一七○一○一二五为壬乙甲三角积与乙壬己积相加得五三八二五○四八一○四八四七即甲壬己分撱圆面积以一度之面积定率八七二五三九九九五二二九除之得六十一度六八七七【小余七二】收作六十一度四十一分一十五秒五十八微即实行距最髙后六十度时之平行度也若设平行求实行亦可以所得之平行转相比例然必累求累较方得恰合【一率两设平行较二率两设实行较三率今设平行较四率今求实行较】法属繁难故兹不载次设以积求角之法如太阳在辛甲辛丁分撱圆面积为平行距最卑后一度求甲角实行若干度分法以甲丁最卑距地心九八三一○○○【乙丁一千万减甲乙两心差一六九○○○余甲丁】自乗得九六六四八五六一○○○○○○为一率中率半径九九九九二八六自乗得九九九八五七一八四八○一九一【即大径与小径相乗之数】为二率甲辛丁一度之面积八七二五三九九九五二二九为三率求得四率九○二六六七七四二○○三以一度之面积八七二五三九九九五二二九除之得一度二分四秒【小余三○】为甲角度即平行距最卑后一度时之实行度也盖以甲为心以中率为半径作弧将甲丁线引长至壬甲辛线引长至癸则甲壬甲癸皆为中率甲壬癸分平圆面积与一度之面积为比例即得甲角而甲辛丁分撱圆面与甲壬癸分平圆面为同式形【甲辛长于甲丁然为数无多故为同式形】以甲丁自乗正方积与甲壬自乗正方积之比即同于甲辛丁积与甲壬癸积之比【凡同式形两面积之比同于相当界所作正方形之比见几何原本八卷第九节】故先比例得甲壬癸积以一度之面积除之而得甲角也【捷法以甲丁自乗方积除甲壬自乗方积即得甲角盖以一度面积为三率与二率相乗又以一度面积除今省一乗则并省一除也】又如太阳在子甲子丁分撱圆面积为平行距最卑后二度求子甲丁角实行若干度分则先求平行距最卑后一度时日距地心之甲辛线将甲辛线引长至丑自丙作丙丑垂线成甲丑丙辛丑丙两勾股形以半径一千万为一率甲角一度二分四秒【小余三○】之正一八○五四九【小余五五】为二率甲丙边三三八○○○为三率求得四率六一○二【小余五七】为丙丑边又以半径一千万为一率甲角一度二分四秒【小余三○】之余九九九八三七○【小余一三】为二率甲丙边为三率求得四率三三七九四四【小余九一】为甲丑边乃以丙丑为勾自乗以甲丑与丙辛甲辛两边和二千万相加得二○三三七九四四【小余九一】为股和除之得一【小余八三】为股较与股和相加折半得一○一六八九七三【小余三七】为辛丙与丙辛甲辛两边和二千万相减余九八三一○二六【小余六三】为甲辛日距地心线次以甲辛子形与甲癸寅形为比例以甲辛边自乗得九六六四九○八四五九九七六九为一率甲癸中率自乗得九九九八五七一八四八○一九一为二率甲子辛一度之面积八七二五三九九九五二二九为三率求得四率九○二六六二八五一七六九为甲癸寅分平圆面积以一度之面积除之得一度二分四秒【小余二八】即癸甲寅角与先得之癸甲壬角一度二分四秒【小余三○】相加得二度四分八秒【小余五八】为子甲丁角即平行距最卑后二度时之实行度也此所求之实行用求积法反求之少半秒强因日距地心线自最卑丁以渐而长中距戊为适中至最髙巳而止今所用一率微小故所得四率微大若每分递算自得密合然须逐一先求日距地心线若积度多者则须合前法而兼用之故又设后法次设借积求积之法如平行距最卑后四十五度求实行若干度分先从本天心设辛乙丁角为四十五度则乙壬丁积即为分撱圆四十五度之面积三九二六四二九九七八五二九二【将撱圆全积八分之得乙壬丁积数】求得壬乙丁角为四十四度五十九分四十五秒【小余二七法见前】次与乙壬平行作丙癸线使丙角与壬乙丁角等自甲至癸作甲癸线此甲癸线所截甲癸丁分撱圆面积若与乙壬丁积等则癸甲丁角即为平行距最卑后四十五度之实行度乃用甲丙癸三角形求癸甲丁角以半径一千万为一率丙角正七○七○五六二【小余七六】为二率甲丙三三八○○○为三率求得四率二三八九八五【小余○二】为甲子垂线又以半径一千万为一率丙角余七○七一五七二【小余七七】为二率甲丙边为三率求得四率二三九○一九【小余一六】为丙子分边次以甲子为勾自乗以丙子与丙癸甲癸两边和二千万相减余一九七六○九八○【小余八四】为股和除之得二八九○【小余二三】为股较与股和相加得一九七六三八七一【小余○七】折半得九八八一九三五【小余五四】为甲癸边次以甲癸边为一率甲子垂线为二率半径一千万为三率求得四率二四一八四○【小余二九】检正得一度二十三分八秒【小余七九】即癸角度与丙角相加得四十六度二十二分五十四秒【小余○六】即癸甲丁角度【用切线分外角法得数较捷因癸角度小比例得甲癸线难得确凖故用垂线法】然甲癸线所截甲癸丁分撱圆面积比所设乙壬丁四十五度之面积小一甲乙丑积与寅壬癸积等【甲癸丁积比乙壬丁积多一卯壬癸积少一甲乙卯积而甲乙与寅癸等甲卯与卯癸等乙卯与卯寅等卯壬与卯丑等故甲乙卯积与寅癸卯积等卯壬癸积与卯甲丑积等以多补少尚少一甲乙丑积与寅壬癸积相等也】乃用前角求积法以半径一千万为一率甲角四十六度二十二分五十四秒【小余○六】之正七二三九五一三【小余六○】为二率甲癸边为三率求得四率七一五四○四○【小余六七】即癸辰边次以撱圆小半径九九九八五七一【小余八五】为一率大半径一千万为二率癸辰边为三率求得四率七一五五○六二【小余五二】即己辰边检正得四十五度四十一分四秒【小余九四】即巳乙丁角度亦即巳丁弧度次以半周天一百八十度化作六十四万八千秒为一率半周率三一四一五九二六【小余五】为二率巳丁弧度分化作一十六万四千四百六十四秒【小余九四】为三率求得四率七九七三四八五【小余二八八三七四八】为巳丁弧线与半径一千万相乗折半得三九八六七四二六四四一八七四为乙巳丁分平圆面积次以撱圆大半径一千万为一率小半径九九九八五七一【小余八五】为二率乙巳丁分平圆面积为三率求得四率三九八六一七三二七七五三六七为乙癸丁分撱圆面积内减所设乙壬丁分撱圆四十五度之面积余五九七四三二九九○○七五为乙癸壬积次以癸辰边七一五四○四○【小余六七】与癸寅边一六九○○○相乗折半得六○四五一六四三六六一五为乙癸寅积内减乙癸壬积余七○八三四四六五四○为寅壬癸积与甲乙丑积等即甲癸丁积小于乙壬丁积之较【或于乙癸丁积内先减甲乙癸积得甲癸丁积再与乙壬丁积相减得数亦同】夫甲癸丁积既小于乙壬丁积则是甲癸丁积不足四十五度而平行距最卑后四十五度时太阳必仍在癸之前如午则甲癸午积与寅壬癸积等甲午丁为分撱圆四十五度之面积与乙壬丁积等实行午甲丁角比癸甲丁角尚大一午甲癸角乃用前积求角法将甲癸线引长至未甲午线引长至申甲未甲申皆为中率半径成甲未申分平圆面与甲癸午为同式形以甲癸自乗得九七六五二六五○○一六七一五为一率甲未中率自乗得九九九八五七一八四八○一九一为二率甲癸午积七○八三四四六五四○为三率求得四率七二五二六八○七一六为甲未申积以撱圆一秒之面积二四二三七二二二一除之得二十九秒【小余九二】为未甲申角【即癸甲午角】与癸甲丁角四十六度二十二分五十四秒【小余○六】相加得四十六度二十三分二十三秒【小余九八】为午甲丁角即平行距最卑后四十五度时之实行度也此法乃合前二法而兼用之而午甲癸角止三十秒甲癸甲午二线相差无多得数为密其所以先设辛乙丁角为四十五度乙壬丁积为四十五度而求壬乙丁角以为丙角者第借积以比其大小耳究之撱圆面积逐度皆有成数原不待求且先求壬乙丁角为丙角而求甲癸丁积又与所设之乙壬丁积相差不逺则并先求壬乙丁角亦属可省详后法又法迳设丙角为四十五度依前法求得甲癸线九八八一九四四【小余二八】癸甲丁角四十六度二十三分九秒【小余一四】甲癸丁积三九二六○七九四六七九三四八与四十五度撱圆积三九二六四二九九七八五二九二相减余三五○五一○五九四四为甲癸丁积小于四十五度平行积之较即知平行四十五度时太阳在癸之前如午乃以甲癸自乘得九七六五二八二二七五三○二五为一率中率自乘方九九九八五七一八四八○一九一为二率积较为三率【即甲癸午积】求得四率三五八八八四一八四一为甲未申分平圆面积以一秒之面积二四二三七二二二一除之得一十四秒【小余八一】为未甲申角【即癸甲午角】与癸甲丁角四十六度二十三分九秒【小余一四】相加得午甲丁角为四十六度二十三分二十三秒【小余九五】即平行距最卑后四十五度时之实行度此法得数与前同而即以平行积度为丙角较前法为省便也又如平行距最卑后九十度求实行若干度分则先设丙角为九十度作丙丑甲丑二线成甲丙丑勾股形依法求得甲丑线一○○○二八五六【小余一】丑甲丁角九十一度五十六分一十一秒【小余○九】甲丑丁积七八五二八七六○一八三六九五与九十度撱圆积七八五二八五九九五七○五八四相减余一六○六一三一一一为甲丑丁积大于九十度平行积之较即知平行九十度时太阳在丑之后如卯乃依中率半径截甲卯线于辰截甲丑线于巳成甲辰巳分平圆面与甲卯丑为同式形以甲丑自乘得一○○○五七一三○一五七三○七为一率中率自乘方九九九八五七一八四八○一九一为二率积较为三率【即丑甲卯积】求得四率一六○四九八四八○为甲辰巳分平圆面积以一秒之面积二四二三七二二二一除之得百分秒之六六为辰甲已角【即丑甲卯角】与丑甲丁角九十一度五十六分一十一秒【小余○九】相减余九十一度五十六分一十秒【小余四三】为卯甲丁角即平行距最卑后九十度时之实行度也又如平行距最卑后一百二十度求实行若干度分则先设丙角为一百二十度作丙寅甲寅二线成甲丙寅三角形依法求得甲寅线一○○八六六二四【小余一三】寅甲丁角一百二十一度三十九分四十六秒【小余六九】甲寅丁积一○四七○七九九○六四九五○六与一百二十度之撱圆积一○四七○四七九九四二七四四六相减余三一九一二二二○六○为甲寅丁积大于一百二十度平行积之较即知平行一百二十度时太阳在寅之后如辰乃依中率半径截甲寅线于巳截甲辰线于午成甲巳午分平圆面与甲寅辰为同式形以甲寅边自乘得一○一七三九九八六三三九八九八为一率中率自乘方九九九八五七一八四八○一九一为二率积较为三率【即甲寅辰积】求得四率三一三六一九七八九一为甲已午积以一秒之面积二四二三七二二二一除之得一十二秒【小余九四】为巳甲午角【即寅甲辰角】与寅甲丁角一百二十一度三十九分四十六秒【小余六九】相减余一百二十一度三十九分三十三秒【小余七五】为辰甲丁角即平行距最卑后一百二十度时之实行度也右借积求积之法最为精密而理亦易晓然须乗除比例十数次推算则属繁难故又设后法次设借角求角之法如太阳平行距最卑后四十五度求实行若干度分先从本天心设丁乙辛角为四十五度则乙壬丁分撱圆面积亦为四十五度次将丁乙辛角加癸乙子撱圆差角【九十度以内大一撱圆差角九十度以外小一撱圆差角解见后】以撱圆小半径九九九八五七一【小余八五】为一率大半径一千万为二率所设丁乙辛角四十五度之正切一千万为三率求得四率一○○○一四二八【小余三五】为丁乙癸角之正切检表得四十五度○分一十四秒【小余七三】即丁乙癸角度次与乙癸平行作丙丑线自甲作甲丑线则丙角与丁乙癸角等而甲丑丁积为分撱圆四十五度之面积与乙壬丁积等是为平行丑甲丁角即为实行乃将丙丑线引长至寅使丑寅与甲丑等则丙寅为二千万【甲丑丙丑共二千万丑寅既与甲丑等故丙寅亦二千万】又自甲至寅作甲寅线成甲寅丙三角形用切线分外角法求得寅角四十一分三十四秒【小余七四】倍之得一度二十三分九秒【小余四九】即甲丙丑形之丑角度【甲丑寅形之丑角以甲丑丙角为外角与甲寅二内角等丑寅既与甲丑等则甲角必与寅角等故倍寅角即得甲丑丙角】与丙角四十五度○分一十四秒【小余七三】相加得四十六度二十三分二十四秒【小余二二】为丑甲丁角度【丑甲丁角为丑甲丙角之外角与丙丑二内角等故以丑角与丙角相加得丑甲丁角】即平行距最卑后四十五度时之实行度也然则何以设丙角比平行积度大一撱圆差角而甲丑丁积即与平行积度相等也盖与丙丑平行之乙癸线截本天于卯所截之乙卯丁积比甲丑丁积多一甲乙巳形【乙卯丁积比甲丑丁积少一辰丑卯形多一甲乙辰形辰丑与甲辰等辰卯与己辰等辰丑卯积与辰甲巳积等以多补少尚多一甲乙巳积也】此甲乙巳形之积与癸午倍撱圆差乘乙未余折半之乙癸午三角形积等【癸子辛壬皆撱圆差而辛壬防小于癸子子午又微小于辛壬然为数无多故谓癸午为倍差】亦即与乙卯壬积等【以卯癸子补子壬午弧内弧外所差无多故谓相等】夫乙卯丁积比乙壬丁积多一乙卯壬形比甲丑丁积多一甲乙巳形甲乙已积既与乙卯壬积等则甲丑丁积必与乙壬丁积等而乙壬丁为分撱圆四十五度之面积辛乙丁角为四十五度之角癸乙丁角比辛乙丁角原大一撱圆差角丑丙丁角又原与癸乙丁角等故设丙角比平行积大一撱圆差角而甲丑线所截撱圆积即与平行积相等也然则又何以知甲乙巳积与乙癸午积相等也试以乙丁大半径作乙丁申酉正方形又以乙戊小半径作乙戊戌亥正方形两积相减余酉申丁亥戌戊磬折形积与两心差自乘之甲乙干坎正方积等【乙丁与甲戊等为乙戊为股甲乙为勾股两方相减与勾方等】斜分而半之则乙甲坎勾股积即与酉申戌戊斜尖长方积等而申艮倍撱圆差与酉申相乘折半之乙申艮三角积原与酉申震戊长方积等【乙申艮三角形与酉申震戊长方形同以酉申为髙而申艮为申震之一倍以申艮与酉申相乘折半得乙申艮三角积故与酉申震戊长方积等】比酉申戌戊斜尖长方积仅多申震戌一小勾股积则借乙申艮三角积为与乙甲坎勾股积相等可也又以方为斜截丁辛弧为四十五度乙辛与乙丁等辛巽为四十五度之正辛离为四十五度之余依乙戊小径截乙辛线于坤依乙甲两心差截乙辛线于兑与辛巽平行作坤亢兑氐二线与辛离平行作坤房兑尾二线所成正方各为前图正方积之一半则于离辛巽乙正方形内减房坤亢乙正方形余离辛巽亢坤房磬折形积亦与乙尾兑氐正方积等乙兑氐勾股积亦与离辛坤房斜尖长方积等而辛箕倍撱圆差乘辛离余折半之乙辛箕三角积原与离辛壬房长方积等【辛壬为四十五度之撱圆差辛箕为倍差与辛离余相乗折半得乙辛箕积故与离辛壬房长方积等】比离辛坤房斜尖长方积仅多辛壬坤一小勾股积则借乙辛箕三角积为与乙兑氐勾股积相等亦可也由此推之逐度之正余所成之勾股虽非正方而斜不改则各数比例皆同试自与丙丑平行之乙癸线所截之癸作癸未正癸斗余又依乙戊小径截乙癸线于牛作牛女牛虚二线又依甲乙两心差截乙癸线于水作水火水金二线皆相平行则于斗癸未乙长方形内减去女牛虚乙长方形余斗癸未虚牛女磬折形积亦与金水火乙长方积等乙水火勾股积亦与斗癸牛女斜尖长方积等而癸午倍撱圆差乗癸斗余【与乙未等】折半之乙癸午三角积原与斗癸子女长方积等【癸子为撱圆差癸午为倍差与癸斗余相乗折半得乙癸午积故与斗癸子女长方积等】比斗癸牛女斜尖长方积仅多癸牛子一小勾股积则借乙癸午积为亦与乙水火勾股积等而甲乙土勾股与乙水火勾股为相等形【同用一乙角土角与火角同为直角而甲乙与乙水等故三边及面积皆相等】比甲乙巳积仅多甲巳土一小弧矢积其差只在微纎之间故谓甲乙巳积与乙癸午积相等也此法所得实行较前法多百分秒之二十四盖乙卯丁积比乙壬丁积多乙卯壬积实与甲乙土积等而比甲丑丁积仅多甲乙巳积则是甲丑丁积比乙壬丁四十五度积为稍大故所得实行丑甲丁角亦稍大计其所大之数适与甲巳土弧矢积度相去不逺至于以乙癸午三角积为与斗癸牛女斜尖长方积等其数微多【多癸牛子勾股积】以癸午为倍撱圆差其数微少然其多少之差约足相抵可不计也又如太阳平行距最卑后九十度求实行若干度分先从本天心设丁乙戊角九十度则乙戊丁分撱圆面积亦为九十度次与乙戊平行作丙癸线自甲至癸作甲癸线则丙角与戊乙丁角等而甲癸丁分撱圆面积即为九十度与乙戊丁积等【九十度无撱圆差觧见后】是为平行癸甲丁角即为实行乃丙癸线引长至子使癸子与甲癸等则丙子为二千万又自甲至子作甲子线成甲丙子三角形求得子角五十八分五秒【小余五五】倍之得一度五十六分一十一秒【小余一○】即甲丙癸形之癸角度与丙角九十度相加得九十一度五十六分一十一秒【小余一○】为癸甲丁角度即平行距最卑后九十度时之实行度也盖乙戊丁为撱圆四分之一其积为九十度戊乙丁角亦九十度【积度与角度同为一线故无撱圆差】丙角既与乙角等甲癸丁积又与乙戊丁积等【甲癸丁积比乙戊丁积多一丑癸戊形少一甲乙丑形而甲乙丑积与丑癸寅积等是丑癸戊形比甲乙丑形仅多癸戊寅一小弧矢积故谓丑癸戊积与甲乙丑积等而甲癸丁积亦谓与乙戊丁积等】故即以平行积度为丙角而求甲角为实行度也此法所得实行较前法多百分秒之六十七盖甲癸丁积比乙戊丁积多癸戊寅弧矢积九十度稍大故实行亦稍大又丙角至九十度则弧矢之癸寅半与甲乙两心差相等是为最长积亦最大故所差最多过此则所差又渐少矣又如太阳平行距最卑后一百二十度求实行若干度分先从本天心设丁乙癸角一百二十度则乙子丁分撱圆面积亦为一百二十度次将丁乙癸角减丑乙寅撱圆差角【九十度以外小一撱圆差角故减】则癸乙已外角大一撱圆差角以撱圆小半径九九九八五七一【小余八五】为一率大半径一千万为二率所设癸乙已外角六十度之正切一七三二○五○八为三率求得四率一七三二二九八一【小余九八】为己乙寅外角之正切检表得六十度○分一十二秒【小余七六】即己乙寅外角度与一百八十度相减余一百一十九度五十九分四十七秒【小余二四】即寅乙丁内角度次与乙寅平行作丙卯线自甲作甲卯线则丙角与寅乙丁角等甲卯丁积为分撱圆一百二十度之面积与乙子丁积等是为平行卯甲丁角即为实行乃将丙卯线引长至辰使卯辰与甲卯等则丙辰为二千万又自甲至辰作甲辰线成甲丙辰三角形求得辰角四十九分五十三秒【小余四六】倍之得一度三十九分四十六秒【小余九二】即甲丙卯形之卯角度与丙内角一百一十九度五十九分四十七秒【小余二四】相加得一百二十一度三十九分三十四秒【小余一六】为卯甲丁角度即平行距最卑后一百二十度时之实行度也盖与丙卯平行之乙寅线截本天于巳所截之乙巳丁积比甲卯丁积小一卯己午形与甲乙未形等【乙巳丁积比甲卯丁积少一卯己酉形多一甲乙酉形而甲乙酉形与卯午酉形等以多补少仍少一卯巳午形又将乙己线引长至未使酉未与酉巳等而酉甲原与酉卯等卯午原与甲乙等故作甲未弧则卯巳午积即与甲乙未积等】此甲乙未形之积与寅申倍撱圆差乘乙戌余折半之乙寅申三角形积等【寅丑癸子皆撱圆差而癸子微小于寅丑丑申又微小于癸子然为数无多故谓寅申为倍差与乙戌余相乘折半得积与甲乙亥勾股积等比甲乙未积仅小甲未亥一小弧矢积故借甲乙未积为与乙寅申积等】亦即与乙子巳积等【与前法同】夫乙巳丁积比乙子丁小一乙子巳积比甲卯丁积小一甲乙未积甲乙未积既与乙子巳积等则甲卯丁积必与乙子丁积等而乙子丁为分撱圆一百二十度之面积癸乙丁角为一百二十度之角寅乙丁角比癸乙丁角原小一撱圆差角卯丙丁角又原与寅乙丁角等故于平行一百二十度内减一撱圆差角为丙角其甲卯线所截撱圆积即与平行度相等而求得甲角为实行度也此法所得实行较之前法多百分秒之四十一盖乙巳丁积比乙子丁积少乙子己积仅与甲乙亥积等而比甲卯丁积则少甲乙未积是甲卯丁积比乙子丁一百二十度积为稍大故所得实行卯甲丁角亦稍大然所差最大者不过半秒有竒不为不密而法最为简便故日躔求实行用此法也求均数均数者盈缩差也最卑前后两象限为行盈最髙前后两象限为行缩然盈缩差自最卑最髙起算最髙前一象限虽行缩而实行仍大于平行故最卑后半周皆为加差最卑前一象限虽行盈而实行仍小于平行故最髙后半周皆为减差上编言之详矣今求盈缩差用前借角求角之法与不同心天之法畧同但多一撱圆差耳故先以平行求得对倍两心差之角又以平行求得撱圆差角与对倍两心差之角相加减而得均数加减之法具详于左如图甲为地心乙为本天心甲乙为两心差甲丙为倍差丁戊己庚为本天辛壬癸子为黄道以行度言之太阳在最卑前后当子辛辛壬两象限其本天平行丑甲寅丁面积未及半周而以黄道度计之巳见自子行至壬故为行盈太阳在最髙前后当壬癸癸子两象限其本天平行寅甲丑已面积巳过半周而以黄道度计之止见自壬行至子故为行缩以盈缩差言之太阳在最卑丁是为初宫初度当黄道之辛甲丁辛成一直线无盈缩差太阳在最髙已是为六宫初度当黄道之癸甲癸己成一直线亦无盈缩差而自最卑后行丁寅戊巳半周实行皆大于平行如平行至寅所截甲寅丁平行积度畧与寅丙丁角度等【争一撱圆差角故谓畧等】自地心甲视之巳当黄道之壬壬甲辛角必大于寅丙丁角又如平行至戊所截之甲戊丁平行积度畧与戊丙丁角度等自地心甲视之己当黄道之卯卯甲辛角必大于戊丙丁角故皆为加差自最髙后行已庚丑丁半周实行皆小于平行如平行至庚所截甲庚已平行积度畧与庚丙己角度等自地心甲视之方当黄道之辰辰甲癸角必小于庚丙己角又如平行至丑所截甲丑巳平行积度畧与丑丙巳角度等自地心甲视之方当黄道之子子甲癸角必小于丑丙已角故皆为减差此盈缩之理与不同心天之理同至求盈缩差之法当先以平行积度加减撱圆差角【九十度以内大一撱圆差角则加九十度以外小一撱圆差角则减正九十度无差角解见前】为所设之丙角而求对倍差之角与所设之丙角相加得实行以平行与实行相减乃为均数【解见前借角求角法】然其数竒零不便立算故先以平行求得对倍差之角而后加减撱圆差角为尤便也如设太阳在己甲己丁分撱圆面积为平行距最卑后六十度知己丙甲角度比所设之甲己丁平行积度大一撱圆差角则于己丙甲角内减未丙午撱圆差角余午丙甲角必为六十度而与甲巳丁平行积度相等故先设午丙甲角为六十度用甲丙午三角形求得对甲丙倍差之午角一度四十一分二十九秒与平行午丙甲角相加则得午甲丁角然太阳原在已当黄道之申实行申甲辛角【即辛申弧】比午甲丁角尚大一巳甲午角故又求得未丙午撱圆差角一十三秒与巳甲午角等【巳甲午角与未丙午角同当巳午弧而甲午线短于丙午则角畧大然所差甚微故为相等】与午角相加【九十度以内大一撱圆差角故加】得一度四十一分四十二秒是为均数为加差以加于平行而得实行也若太阳在酉当黄道之戌甲酉巳分撱圆面积爲平行距最高后一百二十度而距最卑前六十度则对甲丙倍差之亥角与午角等干丙亥撱圆差角亦与未丙午角等但其均数爲减差以减于平行而得实行也如设太阳在亢甲亢丁分撱圆面积爲平行距最卑后一百二十度知亢丙甲角度比所设之甲亢丁平行积度小一撱圆差角则于亢丙甲角加房丙氐撱圆差角得氐丙甲角必为一百二十度而与甲亢丁平行积度相等故先设氐丙甲角为一百二十度用甲丙氐三角形求得对甲丙倍差之氐角一度三十九分四十七秒与平行氐丙甲角相加则得氐甲丁角然太阳原在亢当黄道之尾实行尾甲辛角【即辛尾弧】比氐甲丁角尚小一氐甲亢角故又求得房丙氐撱圆差角一十三秒与氐甲亢角等【氐甲亢角与房丙氐角同当亢氐弧而甲氐线长于丙氐则角畧小然所差甚防故为相等】与氐角相减【九十度以外小一撱圆差角故减】余一度三十九分三十四秒是为均数为加差以加于平行而得实行也若太阳在斗当黄道之牛甲斗己分撱圆面积为平行距最高后六十度则对甲丙倍差之女角与氐角等女丙虚撱圆差角亦与房丙氐角等但其均数为减差以减于平行而得实行也用此法求得最卑后半周之加差即得最高后半周之减差列爲表此法与以丙爲心作不同心天之法畧同但多一撱圆差又平圆之半径爲一千万撱圆则自甲丙两心出线合于圆界共爲二千万耳而太阳距地高卑之差止及两心差之半与均轮之法不谋而合故撱圆之法正所以合不同心天与本轮均轮而一之也御制厯象考成后编卷一<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成后编>钦定四库全书
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