- 御制厯象考成后编卷三
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交食数理交食总论用日躔月离求实朔望用两经斜距求日月食甚时刻及两心实相距求月食初亏复圆时刻【食既生光附】求日月实径与地径之比例【视径附】求影半径及影差求黄道高弧交角求月食初亏复圆并径黄道交角【即纬差角】求白经高弧交角求高下差求日食食甚真时及两心视相距求日食初亏复圆时刻【方位附】求日食带食交食总论日月相防为朔相对为望朔而同度同道则月掩日而日为之食望而同度同道则月亢日而月为之食【朔望日月皆东西同度而南北不皆同道同道则食】顾推步之法月食犹易而日食最难以月在日下人在地面随时随处所见常不同也自大衍以至授时其法寖备我朝用西法推验尤请上编言之详矣近日西人噶西尼等益复精求立为新表其理不越乎昔人之范围而其用意细密又有出于昔人所未及者如求实朔实望用前后二时日月实行为比例昔之用平朔平望实距弧者未之及也日月两心相距最近为食甚两周初切为初亏初离为复圆皆用两经斜距为比例昔之用月距日实行者未之及也日食用图算月之视行不与白道平行带食日在地平视差即圆之半径月之视距即见食之浅深昔之言视差者亦未之及也虽其数所差无多而其法实属可取其他或因屡测而小有变更或因屡算而益求简防则又考验之常规而推步所当从也各为之说如左用日躔月离求实朔望从来求实朔望有二法一用本日次日两子正日月黄道实行度比例其相防之时刻为实朔相对之时刻为实望推逐月朔望用之【见下编推合朔望法】以巳有本年逐日之日躔月离故也一用本年首朔先求本月平朔望之时刻然后求其平行实行之差比例加减而得实朔望之时刻推交食用之【见上编朔望有平实之殊篇及下编推日食月食法】因上考徃古下推将来不必逐日悉推其躔离而即可迳求其朔望故也斯二法诚不可偏废但从前交食求平行实行之差太隂惟用初均故甚整齐简易今求太隂初均又有诸平均之加减旣属繁难而黄白大距又时时不同非推月离不得其凖故今交食推实朔望合二法而兼用之先推平朔望以求其入交之月次推本日次日两子正之日躔月离以求其实朔望之时又推本时次时两日躔月离以比例其时刻较之旧法似为纡逺然太隂之行甚速因迟疾差之故一日之内行度时时不同且平行实行之差大者至八九度则平朔望与实朔望之相距即至十有余时今以前后两时相比例较之止用两子正实行度相比例者固为精宻即较之以距时为比例者亦又加详矣用两经斜距求日月食甚时刻及两心实相距新法算书以实朔用时即为日食食甚用时以实望用时即为月食食甚时刻皆黄白同经【太隂自道度与太阳黄道度相等为黄白同经】上编以此时两心斜距犹逺惟自白极过太阳作经圏与白道成直角太隂临此直角之防两心相距最近始为食甚故以白道升度差为食甚距弧以一小时月距日实行比例得时分与实朔望用时相加减方为食甚时刻【月食即食甚时刻日食为食甚用时】其法较前为加密矣【见月食五限时刻日食三限时刻篇】近日西法用日躔月离比例求实朔望是为黄道同经较之新法算书去食甚为尤逺而其求食甚之法则亦以两心相距最近为食甚实纬以实朔望太隂距最近防之度为食甚距弧又以黄白二道原非平行而日月两经常相斜距若以太阳为不动则太隂如由斜距线行故求两心相距最近之线不与白道成直角而与斜距线成直角其距弧变时亦不以月距日实行度为比例而以斜距度为比例较之上编为尤近焉虽度分时刻所差无多而其理更为细密图说详着于左如图甲乙为黄道丙乙为白道乙角为中交新法算书以日心在甲月心在丙为实朔影心在甲月心在丙为实望甲乙与丙乙等是为黄白同经无另求食甚之法上编以月行至丁为食甚甲丁距纬与白道成直角较甲丙为近故丙丁为食甚距弧以月距日实行比例得时分加于丙防实朔望之时刻方为食甚时刻今用日躔月离黄道度算则以日心在甲月心在戊为实朔影心在甲月心在戊为实望甲戊距纬与黄道成直角是为黄道同经戊之去丁较丙丁为尤逺按上编之法当以甲乙黄道度求丁乙白道升度与戊乙太隂距交白道度相减余戊丁为食甚距弧而仍以甲丁距纬为食甚两心实相距夫日月各有行分日在甲月既在戊逮月由戊行至丁则日亦不在甲而顾谓甲丁为食甚两心实相距戊丁为食甚距弧者盖月由戊行至己则日由甲行至庚庚己与甲丁平行甲庚与辛已等庚己与甲辛等丁己与辛己甲丁与庚己皆相差无多故借甲丁为与庚己等为两心实相距借丁己为与辛己等为日行【月食为影心行与日行等】而戊己原为月行则戊丁即为月距日之行故即以戊丁为距弧以一小时月距日实行为比例即得食甚距时也今求食甚之法以戊乙与甲乙原非平行日月两经常相斜距己防固为直角相对之时而其相距尤近必犹在己防之后试与甲乙平行作戊壬线为黄道距等圏取一小时日实行甲癸之分截之于子取一小时月实行截白道于丑则子丑为一小时两经斜距又与戊子平行作丑寅线与子丑平行作戊寅线则寅丑与戊子等亦为一小时日实行戊寅与子丑等亦为一小时两经斜距戊寅丑与戊辛己为同式形月行为戊丑则日行为寅丑【与甲癸等】斜距为戊寅月行为戊己则日行为辛己【与甲庚等】斜距为戊辛是日月二道原非平行而两经斜距则常为一线若以日心为不动将庚防合于甲则月心己防必合于辛将癸防合于甲则月心丑防必合于寅是月在戊丑白道上行即如在戊寅斜距线上行矣乃自甲防与戊寅斜距成直角作甲夘线与丑寅平行作夘辰线与甲夘平行作辰巳线则甲己与夘辰等为实朔至食甚之日实行戊辰为实朔至食甚之月实行辰巳与甲夘等即食甚两心实相距甲夘相距之近尤近于甲辛【甲夘为股甲辛为股必短于也】是月心临于辰防方为食甚其实行在己防后也若以日心为不动将己防合于甲则月心辰防必合于夘故戊夘为食甚距弧求之之法先用戊丑寅三角形寅丑边为一小时日实行戊丑边为一小时月实行丑角与乙角等即本时黄白交角用切线分外角法求得戊角为斜距交角差【斜距交角差者乃斜距黄道交角与黄白交角之差此本系弧线三角形因其形甚小故作直线算以从简易】并求得戊寅边为一小时两经斜距次用甲戊夘三角形以丑戊寅角与丑戊壬黄白交角相加【戊壬寅丑二线皆与甲乙线平行故丑角戊角皆与乙角等】得寅戊壬角为斜距黄道交角即与夘甲戊角等【甲戊午与甲夘戊及戊夘午皆为同式三角形故寅戊壬角与夘甲戊角等】乃以半径与甲角余之比同于甲戊与甲夘之比【此亦作直线算】而得甲夘为食甚两心实相距又以半径与甲角正之比同于甲戊与戊夘之比而得戊夘为食甚距弧然后以戊寅一小时两经斜距为一率一小时为二率戊夘食甚距弧为三率求得四率为食甚距时盖月行为戊辰日行为夘辰斜距为戊夘戊夘辰三角形与戊寅丑三角形为同式比例也今设乙角为四度五十八分三十秒【丁甲戊角戊丑寅角丑戊壬角皆与乙角等】甲乙为实朔太隂黄道距中交前十度戊甲为太隂距黄道北五十一分五十七秒六五寅丑为一小时日实行二分二十七秒八五戊丑为一小时月实行三十二分五十六秒四六旧法用甲乙戊三角形求得甲丁两心实相距为五十一分四十五秒九○戊丁距弧为四分三十秒三五以日月二实行相减得一小时月距日实行为三十分二十八秒六一此例食甚距时得八分五十二秒二四今法先用戊丑寅三角形求得丑戊寅角二十四分五秒八二与丑戊壬角相加得五度二十二分三十五秒八二为斜距黄道交角与夘甲戊角等又求得戊寅邉三十分二十九秒一九为一小时两经斜距次用甲夘戊三角形求得甲夘两心实相距为五十一分四十三秒九三比甲丁近二秒戊夘距弧为四分五十二秒一三以戊寅两经斜距比例食甚距时得九分三十四秒九四比戊丁距时迟四十三秒是为两心相距最近之时若实朔望在交后则日由乙向甲月由乙向戊两心以渐而逺食甚在实朔望前距时比旧为早其【法并同】求月食初亏复圆时刻【食既生光附】月食求初亏复圆时刻以食甚实纬为一边并径为一边以实纬交白道之角为直角用正弧三角形法求得初亏复圆距食甚之弧以一小时月距日实行比例得时分与食甚时刻相加减即得初亏复圆时刻【初亏减复圆加】上编言之详矣【见月食五限时刻篇】今以弧线可作直线算故用勾求股之法即得距弧至以距弧变时则以一小时两经斜距为比例葢食甚两心实相距既与斜距成直角则初亏复圆之并径亦与斜距成勾股故仍以斜距比例时分也图说并着于左如图甲乙为黄道丙乙为白道乙角为黄白交角实望时地影心在甲月心在丙食甚时地影心在丁月心在戊戊丁为食甚两心实相距与甲己等丙己为食甚距弧初亏时地影心在庚月心在辛辛戊为初亏至食甚之月实行庚丁为初亏至食甚之日实行与壬戊等辛壬为初亏至食甚日月两行之斜距与癸巳等即初亏距弧【理与食甚同】庚壬卽食甚两心实相距与甲己等庚辛为并径与甲癸等复圆时地影心在子月心在丑戊丑为食甚至复圆之月实行丁子为食甚至复圆之日实行与戊寅等寅丑为食甚至复圆日月两行之斜距与巳夘等即复圆距弧子寅即食甚两心实相距与甲己等子丑为并径与甲夘等辛壬庚癸己甲丑寅子夘巳甲为相等四股勾形若以地影心为不动以食甚影心丁防合于甲则月心戊防合于巳以初亏影心庚防合于甲则壬防合于巳而月心辛防合于癸以复圆影心子防合于甲则寅防合于巳而月心丑防合于夘初亏复圆距弧即与癸夘斜距合为一线矣故今求初亏复圆距弧即用癸己甲勾股形以己甲为勾癸甲为求得癸己股与巳卯等为初亏复圆距弧夫癸己与己夘二弧既皆为两经斜距则以二弧变时亦当与斜距为比例故以一小时两经斜距与一小时之比同于癸己或己夘初亏复圆距弧与初亏复圆距时之比也若食既生光则甲癸甲夘二线为月半径与影半径相减之较其法并与初亏复圆同求日月实径与地径之比例【八十四】从来算家谓日月之在天其实径原为一定之数而视径之大小则因距地有逺近而时时不同然所谓实径者仍以视径之大小距地之逺近比例而得今日月本天心之距地心数皆与旧不同则日月距地之逺近亦因之而各异且视径之大小古今所测相差惟在分秒之间在器只争毫厘而在数已差千百则实径究亦未有一定之数也新法算书载日实径为地径之五倍有余中距日天半径与地半径之比例为一与一千一百四十二月实径为地径百分之二十七强中距朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十六又百分之七十二上编仍之以推最高日天半径与地半径之比例为一与一千一百六十二最卑日天半径与地半径之比例为一与一千一百二十一【今监臣戴进视径附】最高朔望时月天半径与地半径之比例为一与五十八又百分之一十六最卑朔望时月天半径 【见日躔地半径差篇】与地半径之比例为一与五十【见交食日月距地与地半径之比例篇】四又百分之贤等据西人近年所测日天半径与地半径之比例最高为一与二万零九百七十五中距为一与二万零六百二十六最卑为一与二万零二百七十七月天半径与地半径之比例最高为一与六十三又百分之七十七中距为一与五十九又百分之七十八最卑为一与五十五又百分之七十九【详本编曰躔月离地半径差篇】又用逺镜仪【西人黙爵所制以逺镜加衡为窥管】测得日视径最高为三十一分四十秒中距为三十二分一十二秒最卑为三十二分四十五秒月视径最高为二十九分二十三秒中距为三十一分二十一秒最卑为三十三分三十六秒用此数推算日实径为地径之九十六倍又十分之六月实径为地径百分之二十七小余二六强夫月实径与旧大致相符而日实径差至十九倍者盖今所测日距地数比旧原大十八倍余则日实径比旧大十九倍止为大十八分之一故今之日视径亦比旧大十八分之一是则视径之大小固各得之实测要亦合诸推算以成一家之言至于日体纯阳其光恒溢于常径之外新法算书谓周围皆大一分今说谓大一十五秒故推日食之法必于并径内减去太阳光分一十五秒余与视纬相较方为受食之分而日之本径则仍带光分算其理固应尔也测算之法并见上编求影半径及影差地影半径之大小由于太阳距地有逺近及太隂距地有高卑故先以太阳在最高所生之大影为率求得太隂从高及卑所当地影之濶为影半径又以太阳从高及卑所生各影小于大影之较为影差与影半径相减乃为实影半径上编言之详矣【见地影半径篇】今以三角形之理考之日月两地半径差相并即与日半径影半径相并之数等而日月地半径差及日半径皆推交食所必用之数且又皆由距地之高卑逺近而生故近日西法皆不用另求影半径惟以日月两地半径差相加内减去日半径余即为实影半径以影差已在其中也此外又有视影之说盖以地上有气差能映小为大则太阳实径必小于视径实径小则影大矣又月食时日在地下气转蔽日光则地影视径必尤大于实径计其所大之分约为太隂地半径差六十九分之一故又以此为影差与实影半径相加为视影半径则所谓影差者名虽同而义实异也总之算家立说古今不必相同然测验皆期于合天而推步必归于有据旧说谓太阳有光分能侵地影使小今说谓地周有气能障地影使大此亦极不同之致矣然最大影半径旧为四十六分四十八秒今为四十六分五十一秒相差不过三秒最小影半径旧为四十二分三十八秒今为三十八分二十八秒相差四分有余盖地影之大小固由于太阳距地之逺近及太隂距地之高卑而太隂所闗为尤重查最卑太隂距地今昔相差不过百分地半径之九十五最高太隂距地则相差至百分地半径之五百六十一夫月之距地既因两心差而不同则月径与影径遂亦因之而各异要皆据一时之所测设法推步以求合而非为臆说也图说详着于左如图甲乙为地半径甲丙为日天半径丙丁为日半径从丁切乙作光线与丙甲线交于戊甲戊为地影之长甲己为月天半径庚己辛为月行所当地影之濶己甲辛角为影半径分【详上编地影半径篇】试观甲丁辛三角形丁辛二内角与壬甲辛一外角等而丁角即太阳地半径差辛角即太隂地半径差【甲丁线畧与甲丙日天半径等甲辛线畧与甲巳月天半径等而其角皆与甲乙地半径相当故其角即为地半径差角】壬甲巳角与丙甲丁角为对角即日半径故以丁角太阳地半径差与辛角太隂地半径差相加即得壬甲辛角内减日半径壬甲己角余己甲辛角即实影半径盖日月地半径差及日半径既因日月距地之高卑逺近而时时不同故所得影半径即为本时之实影半径不复有影差也又气映小为大丙丁为太阳视半径丙癸为太阳实半径从癸切乙作光线与丙甲线交于子则月行所当地影半径为己丑而己丑之分必大于己辛且地球外气之厚如乙寅从丁切寅作光线与丙甲线交于夘则月行所当地影半径为己辰而己辰之分必尤大于己辛矣此辛辰之分当辛甲辰角约为甲辛乙角六十九分之一故又以此为影差与实影半径己甲辛角相加得己甲辰角为视影半径也求黄道高弧交角求交食方位及日食三差皆用黄道高弧交角上编月食方位求交角之法与日食三差之求交角者微有不同而畧为简易葢各圏相交皆成弧线三角形转换相求法可相通而理实一致彼此互相发也近日西法又以黄道赤经交角与赤经高弧交角相加减而得黄道高弧交角用以求月食方位繁简大槪相同而用以求日食三差则甚为省便葢黄道随天西转其象时时不同而黄道赤经交角无异不须逐时推算也因着其法于左如图甲为天顶甲乙丙为子午圏乙丙为地平丁为赤极戊己庚为赤道辛为黄极壬癸子丑为黄道己为春分丑为黄道交西地平之防壬为黄平象限距丑九十度癸为正午壬癸为黄平象限距正午之度壬寅为黄平象限距地平之度即丑角度子为太隂实行经度【日食即为太阳经度月食为太阳对冲地影之经度】子已为太隂距春分后之经度子壬为太隂距黄平象限之度甲子夘为高弧丁子辰为赤道经圈辰巳为赤道同升度戊辰为太阴距正午赤道度【日食即太阳距午正赤道度月食为太阳距子正赤道度】丑子夘角为黄道高弧交角求之之法先用戊己弧求癸己癸戊二弧及癸角次求癸丑弧及丑角以求子角者日食三差之法也先用己庚弧求己丑弧及丑角以求子角者月食方位之法也今按己子辰角即黄道赤经交角甲子丁角与辰子夘角为对角即赤经高弧交角两角相减即得丑子夘黄道高弧交角夫黄道交地平之丑角时时不同而己子辰黄道赤经交角则初亏与复圆无异然则先求得黄道赤经交角至求黄道高弧交角则惟求一赤经高弧交角与之加减而己其加减之法以太阴在夏至前后各六宫与距正午之东西为定试以甲为天顶作乙庚丙己地平圏乙甲丙为子午经圏庚甲己为东西经圏庚戊己为赤道丑己未为黄道己为春分当黄平象限丑为冬至当西地平未为夏至当东地平是为夏至前六宫在地平上癸为黄道当正午之度己癸为黄平象限距午东之度设太隂子防在正午之西甲子夘为高弧丁辰子为过赤极经圏己子辰角为黄道赤经交角甲子丁角为赤经高弧交角丑子夘角为黄道高弧交角与甲子癸角等是以甲子丁赤经高弧交角与己子辰黄道赤经交角相减余甲子癸角即黄道高弧交角也设太隂申防在正午之东甲申酉为高弧丁申戌为过赤极经圏巳申戌角为黄道赤经交角与丁申未角等甲申丁角为赤经高弧交角酉申未角为黄道高弧交角乃甲申未角之外角是以甲申丁赤经高弧交角与丁申未黄道赤经交角相加得甲申未角与半周相减余酉申未角即黄道高弧交角也若己为秋分当黄平象限未为夏至当西地平丑为冬至当东地平是为夏至后六宫在地平上癸为黄道当正午之度己癸为黄平象限距午西之度设太隂子防在正午之西甲子夘为高弧丁子辰为过赤极经圏己子辰角为黄道赤经交角与丁子未角等甲子丁角为赤经高弧交角夘子未角为黄道高弧交角乃甲子未角之外角是以甲子丁赤经高弧交角与丁子未黄道赤经交角相加得甲子未角与半周相减余夘子未角即黄道高弧交角也设太隂申防在正午之东甲申酉为高弧丁戌申为过赤极经圏己申戌角为黄道赤经交角甲申丁角为赤经高弧交角丑申酉角为黄道高弧交角与甲申癸角等是以甲申丁赤经高弧交角与己申戌黄道赤经交角相减余甲申癸角即黄道高弧交角也此太隂在午东而亦在限东太隂在午西而亦在限西之常法也若太隂在夏至前六宫而在正午之东如干以己干亥黄道赤经交角与甲干丁赤经高弧交角相加得己干甲角不足九十度与酉干丑角等则不与半周相减即以酉干丑角为黄道高弧交角乃知太隂干防在黄平象限巳防之西也葢惟正当黄平象限高弧与黄道成直角在限西者则高弧与限西之黄道成锐角在限东者则高弧与限东之黄道成锐角今己干甲角既不及九十度故知干防在黄平象限己防之西而干酉高弧乃与限西之干丑黄道相交成锐角也太隂在午西而在限东者仿此【左图以二至当地平乃黄平象限偏午东午西之极大者如二分当地平则黄平象限当正午加减之法并同】至求赤经高弧交角之法则以北极距天顶为一边影距北极为一边影距正午赤道度【日食则为日距正午赤道度】为所夹之角用弧三角法算之如太隂在申甲申丁三角形申角为赤经高弧交角甲丁为北极距天顶申丁为影距北极丁角当戊戌弧为影距正午赤道度因丁角为锐角则自天顶甲作甲坎垂弧于形内使坎角成直角求得甲坎丁坎二边以丁坎与丁申相减即得坎申边用之与甲坎边求申角也如太隂在艮甲丁艮角当戊己弧适足九十度成直角则甲丁即为垂弧即用甲丁艮正弧三角形以求艮角也如太隂在震甲丁震角当戊巽弧过于九十度成钝角则自天顶甲作甲离垂弧于形外使离角成直角求得甲离离丁二边以离丁与丁震相加即得离震边用之与甲离边求震角也又如黄道在天顶北太隂在坤甲坤丁赤经高弧交角大于九十度则自天顶甲作垂弧至兊而所求之丁兊距极分边反大于丁坤影距北极则以坤兑甲兑二边求坤角之外角即知甲坤丁角为钝角也若所求距极分边与影距北极等即知赤经高弧交角为直角不待求也至于赤经高弧交角有与黄道赤经交角相等者亦有与黄道赤经交角共为一百八十度者有反大于黄道赤经交角而不足减者亦有与黄道赤经交角相加大于半周而又减去半周者如北极出地二十三度二十九分以下夏至前后黄道正当天顶太隂子防在夏至未防之前而在正午之西当以赤经高弧交角与黄道赤经交角相减为黄道高弧交角今甲子丁赤经高弧交角与己子辰黄道赤经交角相等两角相减无余即知黄道与高弧合无交角也又如太隂申防在夏至未防之前而在正午之东当以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加为黄道高弧交角今甲申丁赤经高弧交角与巳申戌黄道赤经交角相加共一百八十度亦如黄道与高弧合无交角也又如北极出地在二十三度以下夏至前后黄道在天顶北太隂子防在夏至未防之前而在正午之西当于黄道赤经交角内减赤经高弧交角为黄道高弧交角今甲子丁赤经高弧交角与辰子夘角等反大于巳子辰黄道赤经交角则于辰子夘赤经高弧交角内反减巳子辰黄道赤经交角余巳子夘角为黄道高弧交角即知黄平象限在天顶北也又如太隂申防在夏至未防之前而在正午之东当以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加为黄道高弧交角今甲申丁赤经高弧交角与戌申酉角等与巳申戌黄道赤经交角相加大于一百八十度则减去巳申戌角及戌申未角共一百八十度余未申酉角为黄道高弧交角亦如黄平象限在天顶北也总之黄道出入于赤道之内外随天左旋其高低斜正旣随时不同又以人所居之南北异地改观益多变换然定之以数自无遁形或从地平立算或从子午圈立算或从赤道经圈立算法虽不同理实一致合而观之益见弧线三角之用至通变矣求月食初亏复圆并径黄道交角【即纬差角】定月食方位月当黄道无距纬即用黄道高弧交角为定交角若月在交前后有距纬则又求纬差角与黄道高弧交角相加减为定交角上编言之详矣【见月食方位篇】然求纬差角之法必先用初亏复圆交周各求距纬今初亏复圆距弧皆斜距之度须复以斜距与白道为比例方得交周颇为费算且前已有斜距黄道交角与九十度相加减即黄道交实纬角则求得并径交实纬角与之相减余并径交黄道之角即纬差角甚为简便故质名之曰并径黄道交角至其与黄道高弧交角相加减之法并同上编兹不复载如图甲乙为黄道丙乙为白道丙丁为黄道距等圏戊己为日月两经斜距甲为地影心食甚时月心在庚初亏时月心在戊复圆时月心在己戊甲辛角为初亏并径黄道交角即初亏纬差角己甲乙角为复圆并径黄道交角即复圆纬差角求之之法先以丙甲庚斜距黄道交角【丙甲庚角与庚丙丁角等】与九十度相加得庚甲辛角为初亏黄道交食甚实纬角【甲庚为食甚两心相距不系经圏以其为南北之度故借名实纬】以丙甲庚斜距黄道交角与九十度相减余庚甲乙角为复圆黄道交食甚实纬角【此论在交前地影由甲向乙月由丙向乙故戊为初亏己为复圆若在交后地影由乙向甲月由乙向丙则己为初亏其角与九十度相减戊为复圆其角与九十度相加】次求得庚甲戊角与庚甲己角等为并径交食甚实纬角初亏则与庚甲辛角相减余戊甲辛角即初亏并径黄道交角复圆则与庚甲乙角相减余己甲乙角即复圆并径黄道交角也乃视并径交实纬角小于黄道交实纬角则初亏复圆在黄道之南北与食甚同若并径交实纬角转大于黄道交实纬角则南北与食甚相反盖太隂近交初亏复圆一在交前一在交后则距纬之南北必变如乙为中交食甚地影心在甲月心在庚甲庚为食甚实纬在黄道北初亏庚甲壬并径交实纬角小于庚甲辛黄道交实纬角则初亏亦为纬北与食甚同复圆庚甲癸并径交实纬角大于庚甲乙黄道交实纬角则复圆变为纬南与食甚相反也食甚实纬在黄道南及食甚在交后者皆仿此旣知初亏复圆并径黄道交角及其在黄道之南北则与黄道高弧交角相加减为定交角其理并与上编同求白经高弧交角日食三差之法以黄白二道交角与黄道高弧交角相加减得白道高弧交角白道与高弧及白道经圏相交成正弧三角形直角对高下差交角对南北差余角对东西差上编言之详矣今以黄赤二经交角加减黄白二经交角得赤白二经交角与赤经高弧交角相加减得白经高弧交角对东西差余角对南北差盖白道与白道经圏相交其角必九十度白经高弧交角即白道高弧交角之余【凡弧角与九十度相减所余为余余角】是用白经高弧交角与用白道高弧交角等且以赤经高弧交角与黄道赤经交角相加减得黄道高弧交角【见前篇】又加减黄白二道交角为白道高弧交角须加减二次而黄赤二经交角即黄道赤经交角之余交食时日必近交黄白二经交角又即与黄白二道交角等故以黄赤二经交角与黄白二经交角相加减得赤白二经交角则为初亏食甚复圆同用之数至求三限白经高弧交角止与赤经高弧交角一加减而得之其法尤为省便也二经交角加减之法以黄道之二至白道之二交为定盖惟冬夏二至黄经与赤经合无交角冬至后黄道自南而北黄经必在赤经西夏至后黄道自北而南黄经必在赤经东交周初宫十一宫在正交前后白道自南而北白经必在黄经西【犹黄道冬至后】交周五宫六宫在中交前后白道自北而南白经必在黄经东【犹黄道夏至后】乃视黄经在赤经西白经又在黄经西或黄经在赤经东白经又在黄经东则相加得赤白二经交角东仍为东西仍为西若黄经在赤经西而白经在黄经东或黄经在赤经东而白经在黄经西则相减得赤白二经交角黄赤二经交角大则从黄经之向黄白二经交角大则从白经之向若两角相等而减尽无余则白经与赤经合无交角也其与赤经高弧交角加减之法则以日距正午之东西为定盖惟日当正午则赤经与高弧合无交角午前赤经必在高弧东午后赤经必在高弧西乃视赤经在高弧西白经又在赤经西或赤经在高弧东白经又在赤经东则相加得白经高弧交角午东亦为限东午西亦为限西若赤经在高弧东而白经在赤经西或赤经在高弧西而白经在赤经东则相减为白经高弧交角赤白交角小则午东仍为限东午西仍为限西赤白交角大则午东变为限西午西变为限东若两角相等而减尽无余则白经与高弧合无交角即知太阳正当白平象限上若两角相加适足九十度则白道在天顶与高弧合若两角相加过九十度则与半周相减用其余即知白平象限在天顶北也是法也不用求黄道高弧交角而迳求白经高弧交角入算甚简而理亦无遗新法用简平仪绘图尤为明显列图如左如图甲为天顶乙丙丁戊为地平圏丙己戊为赤道庚己辛为黄道己为春分庚为冬至辛为夏至癸为赤极【即北极】壬为黄极庚壬癸辛为过二至经圏即过二极经圏冬至日行在庚黄赤二经合为一线无交角冬至后日行自南而北黄经必在赤经西渐逺则角渐大至春分而止如日行在子壬子黄经在癸子赤经西壬子癸角为黄赤二经交角即癸子己黄道赤经交角之余春分日行在己【己子壬角九十度】壬己黄经在癸己赤经西壬己癸角为黄赤二经交角与戊己辛二道交角等是为最大过此又渐小【壬己辛角戊己癸角皆九十度】夏至日行在辛则黄赤二经又合为一线无交角夏至后日行自北而南黄经必在赤经东渐逺则角又渐大至秋分而止如日行在丑壬丑黄经在癸丑己子壬角九十度壬己辛角戊己癸角赤经东壬丑癸角为黄赤二经交角即癸丑辛黄道赤经交角之余【癸丑辛角与寅丑夘角等】秋分日行在寅壬寅黄经在癸寅赤经东壬寅癸角为黄赤二经交角与丙寅辛二道交角等过此又渐小至冬至乃复合为一线也至白道之交于黄道亦如黄道之交于赤道但其行度自正交起算交食时日月又必近交故其南北东西及两经交角惟以两交为定设白极在辰正交在午白道自南而北【犹黄道之春分】日行在正交防如午或正交前如子正交后如巳白经皆在黄经西黄白二经交角皆与黄白二道交角为相等【惟日在正交午防其壬午辰黄白二经交角与庚午未黄白二道交角等若在交前如子交后如巳其壬子辰与壬巳辰黄白二经交角皆微小于二道交角然所差无多故为相等与上编捷法同】此黄经在赤经西白经又在黄经西则以黄白二经交角与黄赤二经交角相加为赤白二经交角也设白极在申中交在酉白道自北而南【犹黄道之秋分】日行在中交防如酉或中交前如子中交后如已白经皆在黄经东黄白二经交角亦与黄白二道交角为相等此黄经在赤经西而白经在黄经东则以黄白二经交角与黄赤二经交角相减为赤白二经交角黄赤二经交角大则从黄经之向白经亦在赤经西也设黄经在赤经西而中交近二至经圏如戌亥戌白经在壬戌黄经东壬戌亥黄白二经交角反大于壬戌癸黄赤二经交角相减余癸戌亥角为赤白二经交角则从白经之向白经转在赤经东也旣得赤白二经交角是为初亏食甚复圆同用之数【初亏至复圆太阳行度无几故二经交角不改】随时求得赤经高弧交角与之加减即得各时白经高弧交角如日行在子是为午后甲子癸角为赤经高弧交角辰子癸角为赤白二经交角此赤经在高弧西白经又在赤经西则相加得辰子甲角为白经高弧交角白经更在高弧西是知太阳在白平象限西也又如日行在己是为午前甲己癸角为赤经高弧交角辰己癸角为赤白二经交角此赤经在高弧东白经在赤经西则相减余甲己辰角为白经高弧交角赤白二经交角大白经为在高弧西是知太阳虽在午东而却在白平象限西也盖惟太阳正当白平象限则白道经圏过天顶与高弧合为一线限东者白经必在高弧东限西者白经必在高弧西是定白经之东西与白平象限一理也又与白道平行作干坎线则辰子坎角为九十度甲子坎角为白道高弧交角与干子艮角等甲子辰白经高弧交角即甲子坎角之余是用白经高弧交角与用白道高弧交角一理也又如癸丁北极出地二十八度赤道距天顶之甲震弧亦二十八度春分巳防在午西夏至前巽防当正午震巽距赤道北二十三度余正交在离巽甲距黄道北又四度余则白道在天顶与高弧合日行在离甲离癸赤经高弧交角与癸离坤赤白二经交角相加得甲离坤白经高弧交角适足九十度盖白经与白道相交其角必九十度白道既与高弧合故白经高弧交角亦九十度也过此以徃北极愈低则白道极北入地平下南出地平上白道即在天顶北白经高弧交角即大于九十度而成钝角则与半周相减余为白道南之经圏与高弧相交之角是不求限距地高而白平象限在天顶之南北俱以白经高弧交角为定也白经在赤经东者仿此求高下差高下差者日月高下之视差也日食食甚用时乃从地心立算人在地面视之则有地半径差而太阳地半径差恒小太隂地半径差恒大故于太隂地半径差内减去太阳地半径差始为高下差焉【见上编日食三差及日月地半径差篇】如日月实高本系同度而太阳以地半径差之故视高比实高低五秒太隂以地半径差之故视高比实高低三十分则人之视太隂必比太阳低二十九分五十五秒也然求两地半径差而后相减其法甚繁今按半径一千万与日月距天顶正之比既皆同于地平地半径差与本时地半径差之比【见本编日躔地半径差篇】而全与全之比又原同于较与较之比则以半径一千万与日距天顶之正之比【交食时日月高弧畧相等故即以日高弧为月高弧】必亦同于地平高下差与本时高下差之比矣故今求高下差唯以本时太隂距地数求得太隂地平地半径差内减太阳地平地半径差十秒余为地平高下差初亏食甚复圆各以其时日距天顶之正为比例其法甚为省便也如图甲为地心乙为地面丙丁为日天戊己为月天假如日在庚实距天顶为丙甲庚角视距天顶为丙乙庚角与丙甲丁角等其差庚甲丁角即地平太阳地半径差与甲庚乙角等甲乙地半径即其角之正与庚辛等又如日在壬实高为壬甲丁角视高为壬乙庚角与癸甲丁角等其差壬甲癸角即本时太阳地半径差与甲壬乙角等将壬乙线引长作甲子垂线即其角之正与壬丑等甲乙子勾股形子角为直角乙角与丙乙壬角为对角即太阳视距天顶之度甲乙即地平太阳地半径差之正甲子即本时太阳地半径差之正因其边度甚小正与弧线可以相为比例则甲乙即为地平太阳地半径差与庚丁弧等甲子即为本时太阳地半径差与壬癸弧等故以子直角正与乙角正之比即同于地平太阳地半径差甲乙与本时太阳地半径差甲子之比也假如太隂在寅实距天顶为寅甲戊角视距天顶为寅乙戊角与已甲戊角等其差寅甲巳角即地平太隂地半径差与甲寅乙角等甲乙地半径亦其角之正【甲乙同为地半径甲庚日天半径大故角小甲寅月天半径小故角大】与寅夘等又如月在辰实高为辰甲己角视高为辰乙寅角与巳甲己角等其差辰甲巳角即本时太隂地半径差与甲辰子角等甲子亦其角之正与辰午等因以正作弧度则甲乙即地平太隂地半径差与寅己等甲子即本时太隂地半径差与辰巳弧等故以子直角正与乙角太隂视距天顶正之比亦同于地平太隂地半径差甲乙与本时太隂地半径差甲子之比也试以日天半径与月天半径为甲乙同为地半径甲庚日天半径大故角相等而比较之【日天月天半径不等故地半径虽等而差角不等今以日天半径与月天为相等则差角之不等者其正亦不等乃可相较也】自地平太阳实高线割月天之未防与乙庚视高线平行作未申线则甲未申角与甲庚乙角等甲申即地平太阳地半径差【甲申本系甲未申角之正因以正作弧度则甲申正与未已弧等而月天之未已弧与日天之庚丁弧同当庚甲丁角其度相等故甲申即为地平太阳地半径差】与甲乙地平太隂地半径差相减余申乙即地平高下差【甲乙当寅已弧甲申当未巳弧乙申当寅未弧】自本时太阳实高线割月天之酉防与乙壬视高线平行作酉申线引长至戌则甲酉戌角与甲壬乙角等甲戌即本时太阳地半径差与甲子本时太隂地半径差相减余戌子即本时高下差与申亥等【甲子当辰巳弧甲戌当酉巳弧子戌当辰酉弧】申乙亥与甲乙子为同式形故以亥直角正与乙角日距天顶正之比亦即同于地平高下差申乙与本时高下差申亥之比也右求高下差以半径与太阳视距天顶之正为比例今日食所推太阳高弧乃实距天顶之度而即以其正比例高下差者盖实高与视高所差无多故借用之自来实高视高相求皆同一地半径差加减互用不列二表也如细辨之地平太阳实高在丁太隂实高在已丁乙庚角为地平太阳地半径差与甲丁乙角等甲乙地半径为其角之切线当庚丁弧巳乙辛角为地平太隂地半径差与甲己乙角等亦以甲乙地半径为其角之切线当辛巳弧前以地半径为其角之正此以地半径为其角之切线其角度虽有微差然最大者不过半秒愈高则愈小故亦以弧度为比例而甲乙即为地平太阳地半径差亦即为地平太隂地半径差也本时太阳实高在壬太隂在癸壬乙子角为本时太阳地半径差与甲壬乙角等乙丑为其角之垂线当子壬弧癸乙寅角为本时太隂地半径差与甲癸乙角等亦以乙丑为其角之垂线当寅癸弧丑壬之长小于甲壬丑癸之长小于甲癸则角度必较弧度为稍大盖视高低于实高其大固宜然所差甚微故亦以弧度为比例而乙丑即为本时太阳地半径差亦即为本时太隂地半径差也试自地平太阳视髙线割月天之卯防与甲丁实高线平行作卯辰线则乙夘辰角与甲丁乙角等乙辰当辛夘弧即地平太阳地半径差以乙辰与地平太隂地半径差甲乙相减余甲辰当夘已弧即地平高下差自本时太阳视高线割月天之巳防与甲壬实高线平行作巳辰线则乙巳辰角与甲壬乙角等乙午当寅巳弧即本时太阳地半径差以乙午与本时太隂地半径差乙丑相减余午丑与辰未等当巳癸弧即本时高下差甲乙丑与甲辰未为同式形丑未二角为直角甲角为日月实距天顶之度故以直角正与实距天顶正之比同于地平地半径差甲乙与本时地半径差乙丑之比亦同于地平高下差甲辰与本时高下差辰未之比也今日食用简平仪法求地面日影心之所在皆用实高比例高下差设日实高在丁则正射地心照至地面酉防之影当月天巳防之度照至地面乙防之影当月天夘防之度是酉乙地面上应日天实距天顶之丙丁弧而其当月天之度则为夘巳高下差也设日实高在壬则正射地心照至地面申防之影当月天癸防之度照至地面乙防之影当月天巳防之度是乙申地面上应日天实距天顶之丙壬弧而其当月天之度则为巳癸高下差也若以地平高下差为半径作地面平圆则甲乙即夘巳之度为地平 【等】高下差当乙酉地【以地球为平面则地面之弧与正等甲乙为乙酉弧之正故甲乙当乙酉弧】面与日天之丙丁弧等乙丑即巳癸之度为本时高下差当乙申地【乙丑为乙申弧之正故乙丑当乙申弧】面与日天之丙壬弧等由此推之时时实距天顶之度在地面皆与本时高下差【实距天顶之度原与地面之弧度等简平仪以地球为平面则地面之弧又与地面之正等今地面之正既为高下差故实距天顶之度即与高下差等】故随高弧之所向以高下差之度自圆心取之即日影心之所在随白经之所向以实纬之度自圆心取之即月影心之所在此所以用实高为比例于视差之理尤为显而易明也差等求日食食甚真时及两心视相距日食求食甚真时及食甚视纬新法算书用浑天仪法以食甚用时之东西差与食甚近时之东西差相较得视行以用时之东西差比例得时分与食甚用时相加减【限西加限东减】而得食甚真时以真时之南北差与食甚实纬相加减【白平象限在天顶南纬南则加纬北则减白平象限在天顶北纬南则减纬北则加】而得食甚视纬上编言之详矣【见日食三限时刻及求食甚真时食甚视纬篇】然其求真时也必求太隂视行正当实纬之度乃以视行之道与白道为平行故与实纬成直角而视纬与实纬必合为一线也夫近时之东西差与用时之东西差既不等【因白道髙弧交角及高下差不同之故】则南北差亦不等而视行即不与白道平行视行既不与白道平行则实纬即不与视行成直角而日月两心相距最近之线亦不与实纬合为一线矣近日西法用简平仪绘图算【浑仪从上视如观平面是为简平仪】以本日地平高下差【本日地平日月两地半径差相减余为本日地平高下差】为半径作平圆【即地径当月天之度】即地受日照之半面上应浑天半周圆心即日射地面至地心之防以人视日则人所处之地面即日影心以日照月则月所当之地面即月影心假令人所处之地面正在圆心则必见日当天顶又正当子午圏而月之实纬即日月两心视相距外此则日影心之所在随时随地不同若日影心与月影心同防则必见日全食若日影心与月影心之相距大于并径则不见食故先以食甚用时求其两心视相距复设一时【限西向后设限东向前设】亦求其两心视相距以此两视距线及所夹之角求其对边为视行自日影心至视行作垂线与视行成直角是为两心相距最近之处月影心临此直角之防即为食甚真时因垂线不与实纬合故不曰视纬而曰两心视相距然后以所得真时复考其两心视相距果与所求垂线合则食甚真时即为定真时不然则又作垂线求之盖太隂视差时时不同其视行之道既不与白道平行又不能自成直线其两心视相距最近之线不与白道成直角而与视行成直角【两心实相距不与白道成直角而与斜距成直角两心视相距又不与斜距成直角而与视行成直角今法与旧法之不同在此】故反覆推求务得太隂正当视行直角之防斯为两心最近之处而食甚乃为确凖也是法也可以图代算可以一图而知各地见食之不同新奇精巧与旧法迥殊然其理无不可以相通盖旧法以浑测浑可实指其东西南北之差而视行之法甚简新法写浑于平可实稽其实距视距之异而视差之理尤精今以新法合旧名义防观而详觧之则理之确者以并观而并明法之奇者因相较而益显庶观者由旧径以适新途不致有捍格之势而算者取新规以合旧范更坐収密合之方矣如雍正八年庚戌六月戊戌朔日食太隂实引初宫八度四十七分三十一秒四○地平地半径差五十三分五十九秒九○内减太阳地平地半径差十秒余五十三分四十九秒九○为本日地平高下差以此为干坎半径作坎艮震巽平圆【以五十三分作五寸三分以四十九秒九○通作八厘三毫绘图用四分之一后仿此】即地球受日照之半面上应浑天半周而其当月天之度则为五十三分五十秒【四十九秒九○进为五十秒入算仍用小余他仿此】故以地球上应浑天之度而论则干为日照地面之正中距圆界各九十度【以地球为平面则地面之弧与正等半径为九十度之正故半径即九十度】假令人在圆心干则见日当天顶又当正午坎震赤道径圏即其地之子午圈艮巽即其地之夘酉圏坎为北震为南艮为东巽为西若人在圆界则见日当地平在坎震线之西者见日为午前在坎震线之东者见日为午后自是以外则见日之高下随地不同要以人所处之地面为日影心上应本处天顶人距日照地面正中之度即日距天顶之度而以地面所当月天之度而论则地之半径与地平高下差等人距日照地面正中之度与本时高下差等故随高弧之所向以本时【见前高下差篇】高下差之度自圆心取之即人所处之地面亦即本时之日影心随白经之所向以月实纬之度自圆心取之即本时之月影心夫月影心当月天之度即太隂之实纬度见前高下差篇而日影心当月天之度不为太阳之实高度而为太阳之视高度则地面日月两影心之相距因高下差而殊而食甚之早晚食分之浅深所以因视差而变者皆可按图而稽矣乃以本时日距赤道北二十一度三十八分一十二秒○二取艮离巽坤之分【即离干艮角与坤干巽角等】作离坤线截赤道经圏于兑作艮兑巽弧为赤道则兑干即日距赤道北之纬度又作甲干乙弧为赤道距等圈即太阳随天西转之轨又以坎艮九十度之分自离截圆界于丁自坤截圆界于丙作丙丁线截子午圈于戊则戊防为北极戊兑为九十度戊干为日距北极六十八度二十一分四十七秒九八又以本时黄赤二经交角九度二十一分二十秒五七取坎干己角【本时日在夏至后黄经在赤经东故向东取】作己庚线为黄道经圏自干与己庚线取直角作辛干线为黄道辛为秋分干辛为日距秋分前六十七度四十二分五十四秒四三是时京师食甚用时为午正二刻九分五十八秒九五日距午西赤道度为九度五十九分四十四秒二五则京师地面必在坎震线之东故以用时赤经高弧交角二十二度四十三分八秒三九取戊干壬角以用时日距天顶二十度九分四十八秒二七之高下差一十八分三十三秒三四取壬干之分作壬干线自戊向壬作戊壬癸弧则壬防为京师之地面即用时之日影心上应京师天顶壬干为用时日距天顶之高弧在地则与用时高下差等戊壬癸为京师子午圏戊壬为京师北极距天顶五十度五分戊角为用时日距午西赤道度【戊干壬角及干壬弧俱用戊干壬三角形求之而得】又以斜距黄道交角五度四十四分五十五秒二九取已干子角作【白二经交角本时月在中交前白经在黄经】丑寅线为白道经圏以【东故向东取】月实纬距黄道北二十三分二十八秒四五自干向北截之于子与丑寅线取直角作夘辰线为白道则子防为【即斜距经圏】用时月影心壬子即用时日月两影心视相距乃用干壬子三角形干子为食甚用时日月两心实相距干壬为用时高下差以己干丑黄白二经交角与坎干己黄赤二经交角相加得坎干丑角一十五度六分一十五秒八六为赤白二经交角本时【即两经斜距】月在中交前【黄经在赤经东白经又在】【未初初刻为设】与坎干壬赤经高弧交角相减余丑干壬角七度三十六分五十二秒五三为用时白经高弧交角即用时对两心视相距角【时黄经东故相加赤经在高弧西白经在赤经东故相减赤白交角小】用切线分外角法求得壬角一百四十六度三十四分二秒○七为用时对两心实相距角又求得壬子边五分三十八秒七四为用时日月两影心视相距此时白经实距在高弧西月影心必在日影心之西则食甚用时尚在食甚前也次向后取【白经仍在高弧西白经在高弧西月影心差而西用时尚在食甚前故向后设若白经在高弧东月影心差而东用时已过食甚后则向前设】以设时赤经高弧交角三十一度三十三分一秒七三取戊干己角以设时日距天顶二十二度一十七分四十二秒二六之高下差二十分二十五秒三五取干己之分作干己线自戊向已作戊己弧则己点为设时日影心干己为设时日距天顶之高弧在地则与设时高下差等戊己即京师北极距天顶五十度五分与戊壬等【太阳本随距等圏西转今以太阳为不动则影向东移亦与赤道成距等圏其距北极皆相等】己戊干角即设时日距午西一十五度【戊干己角及干巳弧俱用戊干巳三角形求之而得】次以设时距用时二十分一秒○五与一小时两经斜距二十七分一十六秒五六为比例得用时至设时之月实行为九分六秒自子向东截之于午则午防为设时月影心午子为设时距弧午干子角为设时【月由白道东行设时在用时后故距弧向东取】对距弧角二十一度一十一分二十秒九九午干为设时两心实相距二十五分一十秒五八己午为设时日月两影心视【午干子角及午干弧俱用午干子三角形求之而得】相距乃用己干午三角形以坎干己设时赤经高弧交角与坎干丑赤白二经交角而得月由白道东行设时在用时后故相减余丑干己角一十六度二十六分四十五秒八七为设时白经高弧交角【加减之理与用时白经髙弧交角同】与午干子对距弧角相减余巳干午角四度四十四度三十五秒一二即设时对两心视相距角【月在黄道北白经在高弧西对距弧角大则实距在高弧东对距弧角小则实距在高弧西白经在高弧东者仿此】用切线分外角法求得巳角一百五十五度五十七分四十六秒四○为设时对两心实相距角又求得己午边五分六秒六五为设时两心视相距此时实距在高弧东月影心必在日影心之东则设时巳过食甚后而食甚真时之月实行必在子午二之间矣于是与巳午线平行作壬未线与巳午等为设时两心视相距又与巳干平行作壬申线为设时高弧则未壬申角与午巳干角等以丑干壬用时白经高弧交角与丑干巳设时白径高弧交角相减余壬干巳角八度四十九分五十三秒三四为两白经高弧交角较与干壬申角等与干壬子用时对两心实相距角相减余申壬子角一百三十七度四十四分八秒七三为设时高弧交用时视距角与未壬申角相加未壬申角与午【角相加】【未壬申角与午】【巳干角等即对设时两心实相距角】得二百九十三度四十一分五十五秒一三与三百六十度相减余未壬子角六十六度一十八分四秒八七为对设时视行角【用时实距在高弧西设时实距在高弧东两角与高弧相背故相加若同在高弧之一边则相减又用时设时两月影心俱在日影心之北两角与两视距相背俱为钝角故相加即过一百八十度与全周相减方为两视距所夹之角】乃用未壬子三角形壬子为用时两心视相距壬未为设时两心视相距未壬子角为所夹之角用切线分外角法求得子角五十二度二十九分四十五秒六九为对设时视距角又求得子未边五分五十三秒九五为设时视行次自壬作壬酉垂线与子未视行成直角则壬酉相距为最近故用壬子酉直角形求得子酉分边三分二十六秒二三为真时视行以子未设时视行与设时距分二十分一秒○五之比即同于子酉真时视行与真时距分一十一分三十九秒八○之比与食甚用时相加得午正三刻六分三十九秒为食甚真时【食甚用时白经在高弧西月影视在西真时在用时后故加若白经在高孤东月影视在东真时在用时前则减】又求得壬酉垂线四分二十九秒即食甚真时两心视相距也夫京师之地面一也旣以人所处之地面为日影心而用时日影心在壬设时日影心在已其故何也盖人之【此图用三分之一】所处原有定在而太阳随天西转其所照之地面时时不同设时太阳旣转而西人在壬视之则干防亦移而西矣今仍就原干防立算则人之视日如在己视干是非人所处之地面改也日之所照者改也若就一壬防立算则设时日照地面正中之防随距等圏西转至申白道经圏西转至戌戊申为太阳距北极与戊干等申戌为距纬与子干等戊申戌角此图用三分之一为赤白二经交角与戊干丑角等戊壬为京师北极距天顶与戊巳等申戊壬角为设时日距午西赤道度与干戊巳角等戊申壬角为设时赤经高弧交角与戊干巳角等申壬为设时太阳距天顶即设时高下差与干已等戌申壬角为设时白经高弧交角与子干巳角等戌未为设时距弧与子午等未申戌角为设时对距弧角与午干子角等壬申未角为设时对两心视相距角与巳干午角等人在壬视之则日影心总在壬而用时则见月影心在子设时则见月影心在未是自用时至设时见月影心循子未线行故子未为设时视行夫子未视行线既不与白道平行则壬酉两心相距最近之线即不与白道成直角而与视行成直角故以月影心临于酉防为食甚真时以壬酉垂线为食甚两心视相距也然则与旧法之可以相通者何也盖旧法从太隂取高下差今从日影心当月天之度取高下差形象虽殊理数则一试与白道平行作壬亥水线与白经平行作壬火木线及未土线则壬亥即用时东西差干亥即用时南北差与干子相减余亥子用壬亥子勾股形亦可求壬子边壬水即设时东西差申水即设时南北差以申水与申戌相减余壬火【壬火与水戌等】以壬水与戌未距弧相减余火未用壬火未勾股形亦可求壬未边壬亥与火未相加得子土【壬亥与子木等火未与木土等】壬火与亥子相减余未土【亥子与壬木等火木与未土等】用子未土勾股形亦可求子未边既得三边则用壬子未三角形亦可求中垂线矣是则与旧法之可以相通者然也然则与旧法之所以异者何也按旧法当以壬水设时东西差与戌未设时距弧相减【旧法以用时东西差为距弧故即以两东西差相减】余火未与子木用时东西差相加【火未与木土等子木与壬亥等】得子土为设时视行乃以白道度算故以太隂视行经度临于白道木防为食甚真时壬木线与白道成直角今以子未为设时视行不以白道度算故以月影心临于酉防为食甚真时壬酉线不与白道成直角而与子未视行成直角是则与旧法之所以异者然也然则设时与近时之不同何也盖旧法以木防为白道当太阳之度故先求实行至木防之时刻为近时而近时视行又不正当木防故又以近时视行与近时距分为比例而得食甚真时今以实行至未防之时刻为设时故以设时视行与设时距分为比例而得食甚真时其所不同者惟在视行与白道平行不平行之殊若均以视行为不与白道平行立算则或用设时或用近时其所得真时正自相同也然则简平与浑天之同异何也盖浑天以仰观立算故以太隂当日天之度为视差简平以俯视立算故以太阳当月天之度为视差今干申二防之影自日心正射地心乃太阳实高当月天之度壬防之影自日心照至地面乃太阳视高当月天之度【见前高下差篇】故壬干壬申皆为高下差夫太阳视高旣当月天壬防而用时月心原在月天子防设时月心原在月天未防故壬子壬未即皆为日月两心视相距是以日天当月天之度算也若以月天当日天之度而论则用时月天壬防之度当日天之干而太隂子防即当日天之亢故子亢为用时高下差与干壬等干亢为用时两心视相距与壬子等设时月天己防之度当日天之干而太隂午防即当日天之氐故午氐为设时高下差与干己等干氐为设时两心视相距与己午等亦与壬未等而亢氐亦与子未等是简平与浑天本属一理但自圆外观耳如以圆内仰观立算则上为北下为南东西犹旧【此以白平象限在天顶南而论如白平象限在天顶北则上为南下为北东西相反】用时日心在干月心实高在子视高在亢子亢为用时高下差一十八分三十三秒三四【此图用全分】干子亢角为用时白经高弧交角七度三十六分五十二秒五三与子亢房角等子房为用时东西差二分二十七秒五三与亢斗等房亢为用时南北差一十八分二十三秒五二与子斗等以子斗与子干二十三分二十八秒四五相减余斗干五分四秒九三用干斗亢勾股形求得干亢五分三十八秒七四为用时两心视相距设时日心仍在干月心实高在午视高在氐午氐为设时高下差二十分二十五秒三五午氐牛角为设时白经高弧交角一十六度二十六分四十五秒八七牛午为设时东西差五分四十六秒九一牛氐为设时南北差一十九分三十五秒二二与子女等以牛午与子午设时实距弧九分六秒相减余子牛三分一十九秒○九为设时视距弧与女氐等以子女与子干相减余女干三分五十三秒二三用干女氐勾股形求得干氐五分六秒六五为设时两心视相距次以女氐设时视距弧与亢斗用时东西差相加【女氐与斗虚等】得亢虚五分四十六秒六二为用设二时视距和以房亢用时南北差与牛氐设时南北差相减余虚氐一分一十一秒七○为用设二时纬差较用亢氐虚勾股形求得亢氐五分五十三秒九六为设时视行次用干亢氐三角形求中垂线分为两勾股法求得亢危分边三分二十六秒二四为真时视行干危垂线四分二十九秒为真时两心视相距【干亢干氐两腰各自乘相减以亢氐勾和除之得勾较与勾和相加折半得亢危大勾勾求股得干危垂线】其数皆与前同是东西南北差与实距视距一理也如用近时之法算之先以子房用时东西差二分二十七秒五三取子甲之分为近时实距弧以一小时两经斜距二十七分一十六秒五六为比例而得近时距分五分二十四秒五二为太隂行子甲弧之时分【即近时距用时之时分】与食甚用时午正二刻九分五十八秒九五相加【用时月在白平象限西视经度差而西近时在用时后故加若月在白平象限东视经度差而东近时在用时前则减】得午正三刻零二十三秒四七为食甚近时即太隂行至甲防之时刻惟时太隂实高在甲视高在乙甲乙为近时高下差一十九分零百分秒之三十七按法求得甲乙丙角一十度一十二分一秒九二为近时白经高弧交角甲丙为近时东西差三分二十一秒九五丙乙为近时南北差一十八分四十二秒三五与子丁等以子甲近时实距弧与甲丙近时东西差相减余子丙五十四秒四二为近时视距弧在实纬西【即近时视行距实纬之弧月在白平象限西视经度差而西而东西差大于实距弧故为纬西若小于实距弧则为纬东月在限东反是】与乙丁等以子丁近时南北差与子干实纬二十三分二十八秒四五相减与丁干四分四十六秒一○用干丁乙勾股形求得干乙四分五十一秒二三为近时两心视相距次以子丙近时视距弧与子房用时东西差相减余丙房一分三十三秒一一与亢戊等为用近二时视距较【用时东西差与近时视距弧同在纬西故相减为视距较若一东一西则相加为视距和】以房亢用时南北差与丙乙近时南北差相减【房亢与丙戊等】余戊乙一十八秒八三为用近二时纬差较用亢戊乙勾股形求得亢乙一分三十四秒九九为近时视行【即近时距用时之视行】次用干亢乙三角形求形外垂线补成两勾股法求得亢已分边三分二十五秒○三为真时视行【即真时距用时之视行】以亢乙近时视行与近时距分五分二十四秒五二之比同于亢已真时视行与真时距分一十一分四十秒四六之比【即真时距用时之时分】与食甚用时相加【限西故加限东则减与近时同】得午正三刻六分三十九秒为食甚真时又求得干己垂线四分二十九秒为真时两心视相距【干亢干乙两腰各自乘相减以亢乙为法除之得数大于亢乙则所得为两勾和而亢乙为两勾较故知垂线在形外若有得之数小于除之之数则所得之数为两勾较而除之之数为两勾和即知垂线在形内若除得之数与除之之数等则知小腰即系垂线成直角也】其数与用设时所得同是用近时与用设时一理也乃以真时午正三刻六分三十九秒按前法求其实高在庚视高在辛干辛两心视相距果为四分二十九秒与前所求垂线合而辛角犹未为直角故又求得乙辛边一分五十秒四九为考真时视行乙壬边五十一秒○二为定真时视行干壬垂线仍为四分二十九秒为定真时两心视相距以乙辛与考真时距分六分一十五秒五三之比【即真时距近时之时分】同于乙壬与定真时距分六分一十七秒三二之比与近时相加得午正三刻六分四十秒七九【进为四十一秒】始为食甚定真时焉盖食甚时两心视相距之线与视行成直角故前后数秒之间其相距皆相等若秒下加小余细考之则午正三刻六分四十一秒之时相距为四分二十九秒二三八九其三十九秒之时则相距犹为四分二十九秒二三九九至四十三秒之时则相距又为四分二十九秒二三九一故以四十一秒之时为相距尤近然测之际至分巳密故推算之法总以三十秒进一分秒下之小余原可不计今考之又考者第以求其确凖耳若用新数而以视行与白道为平行算之则早三分有奇故今推视行之法尤为精宻至求近时则犹求设时之法也求视差则犹求视距之法也理无殊涂法归一致庶几质诸徃昔而无疑用【之推步而不忒矣】求日食初亏复圆时刻【一时为】日食求初亏复圆时刻先以食甚视纬为一边并径为一边以视纬交白道之角为直角用正弧三角形法求得初亏复圆距食甚之弧以一小时月距日实行比例得时分与食甚真时相加减为初亏复圆用时次以初亏复圆用时各求其东西差与食甚真时之东西差相较得初亏复圆视行与初亏复圆距弧比例得时分与食甚真时相加减为初亏复圆真时上编言之详矣【前设时求其两心视相距方位附见食食三限】今食甚真时两心视相距与视行成直角初亏复圆距食甚之弧亦即视行之度则求初亏复圆用时以食甚视行为比例较之以月距日实行为比例者必为近之且初亏复圆用时之东西差旣不与食甚真时等则南北差亦不等虽以初亏复圆视行比例得时分而其时之两心视相距亦未必与并径等然则即以视行比例之时分与食甚真时相加减犹未必即为初亏复圆真时也近日西【时刻及求初亏复圆用时真时篇】法初亏复圆各设【太隂在限西食甚真时在用时后如食甚用时两心视相距与并径相去不逺则以食甚用时为初亏前设时小则向前设大则向后设太隂在限东食甚真时在用时前如食甚用时两心视相距与并径相去不逺则以食甚用时为复圆前设时小则向后设大则向前设】又设一时为后设时亦各求其两心视相距【前设时两心视相距小于并径初亏向前设复圆向后设大于并径初亏向后设复圆向前设】乃以两视距之较为一率两设时之较为二率后设时两心视相距与并径之较为三率求得四率为初亏复圆真时距分与初亏复圆后设时相加减得初亏复圆真时【前设时两心视相距小于并径初亏减复圆加大于并径初亏加复圆减】然后又以真时各考其两心视相距果与并径等方为定真时焉盖初亏两周初切复圆两周初离日月两心视相距必与并径等故务求其恰合而初亏复圆乃为确准也虽其数比旧法所差无多而其理甚为细宻至于设时之法则亦犹食甚用时近时之义耳今亦如食甚之次第先求初亏复圆用时【即前设时】次求初亏复圆近时【即后设时】俾学者知设时之准而其求两心视相距与以两视距比例时分则犹是设时之法也旣得初亏复圆两心视相距与并径等则求得并径与高弧相交之角即为方位角图说并详于左如雍正八年六月戊戌朔日食日月实并径三十分一十八秒六五食甚用时午正二刻九分五十八秒九五干甲两心实相距在黄道北二十三分二十八秒四五甲乙两心视相距五分三十八秒七四小于并径逺甚故向前取午初初刻四分为初亏前设时与食甚用时相减余一时三十五分五十八秒九五与一小时两经斜距二十七分一十六秒五六为比例得四十三分三十八秒○一自甲向前截之于丙则丙防为初亏前设时月影心甲丙为初亏前设时距弧求得甲干丙角六十一度四十三分一十三秒四七为对距弧角干丙边四十九分三十二秒八三为初亏前设时两心实相距又以初亏前设时赤经高弧交角二十九度五十六分五十一秒○一取坎干丁角【午前赤经在高弧东故从赤经向西取高角】以本时日距天顶二十一度四十九分一十一秒○八之高下差二十分零百分秒之五十一取干丁之分则丁防为初亏前设时日影心求得甲干丁白经高弧交角四十五度三分六秒八七与甲干丙对距弧角相减余丁干丙角一十六度四十分六秒六○为对两心视相距角用干丁丙三角形求得丁角一百五十二度三十八分零百分秒之八十三为对两心实相距角丁丙边三十分五十五秒○一为初亏前设时两心视相距比并径大三十六秒三六则初亏真时必在前设时之后故又向后取午初初刻八分为初亏后设时依法求得甲戊距弧四十一分四十八秒九一甲干戊对距弧角六十度四十一分二十七秒六三干戊两心实相距四十七分五十七秒二一甲干己白经高弧交角四十三度二十二分六秒七一巳干戊对两心视相距角一十七度一十九分二十秒九二戊己干对两心实相距角一百五十一度二十二分四十四秒一一戊己两心视相距二十九分四十八秒四四比并径小三十秒二一夫丙丁旣大于并径戊己旣小于并径则并径必在二线之间如庚辛乃自丁至己作丁己线又取戊己之分截丙丁线于癸作戊癸线则癸丙为两视距之较一分六秒五七丙戊为两设时之较四分壬庚为后设时视距小于并径之较三十秒二一以丙癸与丙戊之比同于壬庚与庚戊一分四十八秒九一之比为初亏真时距分与初亏后设时相减【后设时两心视相距小于并径故减】得午初初刻六分一十一秒○九为初亏真时再以初亏真时考其两心视相距果得三十分一十八秒六三与并径合则初亏真时即为初亏定真时其对考真时两心实相距角一百五十一度五十七分二十秒即初亏方位角复圆仿此又法先求初亏用时干甲为食甚实纬【即食甚用时两心实相距】乙为食甚真时日影心丙为食甚真时月影心乙丙为食甚真时两心视相距四分二十九秒二四与乙丙取直角作线以日月并径三十分一十八秒六五取乙丁乙戊之分合成乙丙丁乙丙戊两勾股形求得丙丁股二十九分五十八秒六一与戊丙等为初亏复圆平距【初亏复圆距食甚用时之度名距弧故此名平距以别之】次以食甚定真时视行一分五十一秒○二为一率【即食甚定真时距食甚近时之视行】定真时距分六分一十七秒三二为二率【即食甚定真时距食甚近时之时分俱见前篇】初亏复圆平距为三率求得四率一时四十一分五十二秒六六为初亏复圆用时距分与食甚定真时相减得午初初刻九分四十八秒一三为初亏用时以用时距分与食甚定真时相加得未正二刻三分三十三秒四五为复圆用时初亏用时月影心在己甲己为初亏用时距弧四十分五十九秒七五【以初亏用时与食甚用时相减余一时三十分一十秒八二与一小时两经斜距二十七分一十六秒五六为比例得初亏用时距弧】日影心在庚辛庚为京师北极距天顶五十度五分干辛为日距北极六十八度二十一分四十七秒九八庚辛干角为日距午东一十二度三十二分五十八秒○五干庚为日距天顶二十一度一十分一十八秒二二在地则为初亏用时高下差一十九分二十六秒五三庚干辛角为初亏用时赤经高弧交角二十七度二十八分四十五秒一○与辛干甲赤白二经交角一十五度六分一十五秒八六相加得庚干甲角四十二度三十五分零百分秒之九十六为初亏用时白经高弧交角【赤经在高弧东白经又在赤经东故加】庚壬为初亏用时东西差一十三分九秒三五与甲癸等干壬为初亏用时南北差一十四分一十八秒九○以甲癸与甲己距弧相减余己癸二十七分五十秒四○以干壬与干甲相减余壬甲九分九秒五五与庚癸等用庚癸巳勾股形求得庚巳二十九分一十八秒四八为初亏用时两心视相距比并径小一分零百分秒之一十七则初亏真时必犹在用时前也乃以初亏用时两心视相距为一率初亏用时距分为二率初亏用时两心视相距小于并径之较为三率求得四率三分二十九秒一六为初亏近时距分与初亏用时相减【初亏用时两心视相距小于并径故减】得午初初刻六分一十八秒九七为初亏近时盖就食甚真时乙防立算与庚巳平行作乙子线与庚巳等即初亏用时两心视相距自丙至子作丙子线即初亏用时视行【即初亏用时距食甚定真时之视行】以时刻而论即初亏用时距分【即初亏用时距食甚定真时之时分】试将乙子线以并径之分引长至丑则子丑即初亏用时两心视相距小于并径之较又将丙子线引长至寅使子丑寅与子乙丙成同式形则乙子与行丙子弧时分之比即同于子丑与行子寅弧时分之比以子寅与丙子时分相加【初亏在食甚前时刻减而早则距食甚前之视行愈多故视行为加】得丙寅与丙丑等故以丑防为初亏近时之月影心丙丑为初亏近时距食甚之视行其乙丑两心视相距乃与并径等也【子丑寅与子乙丙为同式形则丙丑必长于丙寅然所差无多故以太隂视行临于丑防为初亏近时】初亏近时月影心在夘甲夘为初亏近时距弧四十二分三十四秒八四【以初亏近时与食甚用时相减余一时三十三分三十九秒九八与一小时两经斜距为比例得初亏近时距弧】日影心在辰辛辰为京师北极距天顶五十度五分辰辛干角为日距午东一十三度二十五分一十五秒四五辰干为日距天顶二十一度三十三分一十七秒九四在地为初亏近时高下差一十九分四十六秒六五辰干辛角为初亏近时赤经高弧交角二十八度五十八分五十七秒四二与辛干甲赤白二经交角相加得辰干甲角四十四度五分一十三秒二八为初亏近时白经高弧交角辰已为初亏近时东西差一十三分四十五秒六一与甲午等干巳为初亏近时南北差一十四分一十二秒三五以甲午与甲夘距弧相减余午夘二十八分四十九秒二三以干巳与干甲相减余巳甲九分一十六秒一○与辰午等用夘辰午勾股形求得辰夘三十分一十六秒四五为初亏近时两心视相距比初亏用时两心视相距大五十七秒九七而比并径仍小二秒二○则初亏真时必犹在近时前也乃以用近二时两心视相距之较五十七秒九七为一率近时距分三分二十九秒一六为二率用时两心视相距小于并径之较一分零百分秒之二十七为三率求得四率三分三十七秒一一与初亏用时相减得午初初刻六分一十一秒○二为初亏真时盖仍就乙防立算与辰夘平行作乙未线与辰夘等即初亏近时两心视相距自丙至未作丙未线即初亏近时视行试依乙未之分将初亏用时两心视相距之乙子线引长至土则子土即初亏用近二时两心视相距之较依丙未之分初亏用时视行之丙子线引长至木则子木即初亏用近二时两视行之较又依并径之分将乙子线引长至火与土木平行作火金线将丙木线引长合之于金则子火即初亏用真二时两心视相距之较子金即初亏用真二时两视行之较故子土与行子木弧时分之比即同于子火与行子金弧时分之比以子金与丙子相加得丙金与丙水等故以水防为初亏真时之月影心丙水为初亏真时距食甚之视行其乙水两心视相距乃与并径相等也于是以初亏真时依法求其两心视相距果得三十分一十八秒六五与并径合则初亏真时即为初亏定真时又以辰午与夘午之比同于半径与【如或大或小则又用比例求之】夘辰午角正切线之比而夘辰午角即并径如或大或小则又用比例求之白经交角与申辰午白经高弧交角相减【辰午与干甲平行即日影所当白道经圏故申辰午角与辰干甲角等申干高弧在夘辰午角之内故减在外则加】余夘辰申角为并径高弧交角日在辰月在夘夘辰为并径申干为高弧申为上干为下初亏方位为上偏右【边角俱用初亏定真时立算因与初亏近时相去不逺故借近时之图以明之】因即以并径立算故质名之曰并径高弧交角不必又求纬差角与黄道高弧交角相加减而后为定交角也复圆仿此求日食带食推日食带食法旧以初亏复圆距时之视行【带食在食甚前用初亏视行带食在食甚后用复圆视行】与日出入距食甚之时分【即帯食距时】为比例得日出入距食甚之视行【即带食距弧】而后与食甚视纬求其两心视相距下编仍之今推食甚先求两心视相距而后求视行初亏复圆止求两心视相距更不求视行则带食亦可迳求两心视相距不待先求视行矣且旧法推视行虽不见初亏食甚或不见食甚复圆皆犹多此一算今迳求两心视相距则以地平为断凡己初亏而带出者止求带出时之相距不用求初亏视行未复圆而带入者止求带入时之相距不用求复圆视行若己过食甚而带出者即以帯食视纬求复圆用时未及食甚而带入者即以帯食视纬求初亏用时固不用求视行亦不用求食甚其法甚为省便况视行不与白道平行带食之视纬必不与食甚等则迳求带食两心视相距而不用视行者其理尤为确凖也如雍正九年辛亥十二月庚寅朔日食帯食食甚用时辰正二刻一分五十一秒一六日出辰初一刻九分二十九秒二三在用时前四刻七分二十一秒九三以一小时两经斜距三十三分一十秒二三为比例得甲乙三十七分一十四秒五四为带食距弧甲为用时月影心乙为帯食月影心干甲为用时两心实相距四十三分三十七秒八○甲干乙角为帯食对距弧角四十度二十九分二秒二八干乙为帯食两心实相距五十七分二十一秒八一坎干甲角为赤白二经交角八度四十分五十秒六八【本时日在冬至后黄经在赤经西月在正交后白经又在黄经西故白经更在赤经西】坎干丙角为日出时赤经高弧交角四十五度四十分四十八秒三八【赤经在高弧东】内减坎干甲角余甲干丙角三十六度五十九分五十七秒七○为日出时白经高弧交角【赤经在高弧东白经在赤经西故以赤白二经交角与赤经高弧交角相减余为白经高弧交角】与甲干乙对距弧角相减余乙干丙角三度二十九分四秒五八为帯食对两心视相距角丙为带食日影心丙干为地平高下差五十九分二十秒二一用干乙丙三角形求得丙角五十九度一十一分一十七秒四七为帯食对两心实相距角即帯食方位角与半周相减余乙丙丁角一百二十度四十九分为帯食视距高弧交角【方位角止用度分故不计秒】丁为上干为下帯食方位为右偏下又求得乙丙邉四分三秒五七为帯食两心视相距与日月实并径三十二分二十一秒四四相减余二十八分一十七秒八七以日全径三十二分四十六秒作十分为比例得八分三十八秒一七即帯食分秒也又法以甲干丙白经高弧交角及丙干高下差求得戊丙东西差三十五分四十二秒五六与甲己等干戊南北差四十七分二十三秒三三以干甲实纬与干戊南北差相减余戊甲三分四十五秒五三与丙己等为带食视纬以甲己东西差与甲乙带食距弧相减余乙己一分三十一秒九八为带食视距弧用乙丙己勾股形求得乙丙四分三秒五七为带食两心视相距与前所得数同又以丙己与乙己之比同于半径一千万与丙角正切线之比而得丙角二十二度一十一分一十五秒与干丙己白经高弧交角相加【干丙己角与甲干丙角等】得乙丙干角五十九度一十一分与半周相减余乙丙丁角一百二十度四十九分为带食视距高弧交角亦与前所得数同此乙丙视距未与视行成直角【甲乙虽非视行然相去不逺】带食在食甚前必按求食甚真时之法求得真时两心视相距再求复圆用时如带食在食甚后者则不用求食甚即以丙己带食视纬为勾丙庚并径为求得己庚股与乙己带食视距弧相加得乙庚为复圆距弧【甲乙带食距弧大于东西差乙庚大于己庚故加若甲乙带食距弧小于东西差而乙庚小于己庚则减】以一小时两经斜距为比例卽得复圆距时与日出时刻相加即得复圆用时也【带食出地复圆在日出后故加若带食入地初亏在日入前则减】带食入地者仿此御制歴象考成后编卷三<子部,天文算法类,推步之属,御制历象考成后编>钦定四库全书
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