元　李　冶　撰

　　明　顾应祥　释术

　　通勾股和与别勾股测望一

　　丙从城西门穿城东行二百五十六步而立丁从城北门穿城南行三百七十五步而立甲乙二人俱在城外西北干隅甲向东乙向南各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直只云甲东乙南共步九百二十问城径

　　释曰此以通勾股和与邉勾底股立法测望甲东行为勾乙南行为股共步为通勾股和丙穿城东行邉勾丁穿城南行底股也

　　术曰丙东行自之得六万五千五百三十六为邉勾筭　丁南行自之得一十四万○六百二十五为底股筭　相并得二十○万六千一百六十一为二筭和　倍邉勾底股和与通勾股和相减余三百四十二又减于邉勾底股和余二百八十九自之得八万三千五百二十一　以减二筭和余一十二万二千六百四十为平实　以邉勾底股和六百三十一为从　半步为隅算作负隅减从开平方法除之得全径

　　负隅减从开平方法见二卷通勾□勾条

　　丙出东门不知步数而立丁出南门不知步数而立甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行各立定四人遥相望俱与城相叅直既而丁从立处向东北斜行四百二十五步与甲防丙从立处向西南斜行五百四十四步与乙防问甲乙行步则曰共行九百二十问城径

　　释曰此通勾股和与邉底立法测望甲东行为通勾乙南行为通股共行九百二十通勾股和也丙从丁处斜行就甲底也丁从立处斜行就乙邉也

　　术曰二相减余自之得一万四千一百六十一为实　二相并减共行步余四十九为法实如法而一得二百八十九减法为全径

　　丙出南门东行稍逺丁出东门南行稍近甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行各不知步数而立相望俱与城相叅直既而丙从立处向东北斜行二百七十二步与甲会丁从立处向东南斜行五百一十步与乙会问甲乙行步则曰共行九百二十步不知城径防何

　　释曰此通勾股和与黄广黄长立法测望甲东行为勾乙南行为股共行九百二十步为通勾股和也丙之就甲黄长也丁之就乙黄广也

　　术曰并二以减通勾股和余一百三十八为差以并二乘差得一十○万七千九百一十六为实又以差加通勾股和得一千○五十八为法

　　实如法而一得一百○二为太虚加差为全径

　　丙出南门东行稍逺丁出东门南行稍近甲乙二人俱在城外西北干隅甲东行乙南行各不知步数而立相望俱与城相叅直既而丙从立处向西南斜行四百○八步与乙会丁从立处向东北斜行一百七十步与甲会问甲乙行步则曰共行九百二十不知城径防何

　　释曰此通勾股和与大差小差立法测望甲东行为通勾乙南行为通股共歩和也丙就乙大差也丁斜就甲小差也

　　术曰二相并共五百七十八为二和以减通和余三百四十二为中率　以乘通和倍之得六十二万九千二百八十为实　三之通和得二千七百六十　加中率得三千一百○二为从　二为隅算作负隅减从开平方除之得全径

　　负隅减从开平方法见二卷

　　通勾股和与诸和较立法测望二

　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙从城外东北艮隅南行丁从城外西南坤隅东行四人遥相望而立俱与城相叅直既而甲还至艮隅复南行一横一直共行二百三十步与乙会丙还至坤隅复东行一横一直共行五百五十二步与丁防问城径

　　释曰此通勾股和与大差勾股和小差勾股和立法测望甲东行为勾丙南行为股共行九百二十步通勾股和也甲还至艮为小差勾复南行与乙会为小差股共行二百三十步小差勾股和也丙还至坤为大差股东行与丁会为大差勾共行五百五十二大差勾股和也

　　术曰二差勾股和相并得七百八十二为大小差和和以减通勾股和得一百三十八即太虚勾股和又以大小差和和乘之得一十○万七千九百一十六为平实　以通勾股和加太虚勾股和得一千○五十八为法实如法而一得一百○二为虚加虚和即城径

　　又曰并二差和减通和得一百三十八为虚勾股和二差和相减余三百二十二乘之得四万四千四

　　百三十六如前术得一千○五十八为法除之得四十二为虚勾股较　以加和半之为股减和半之为勾

　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙从城外东北艮隅南行丁从城外西南坤隅东行各不知步数而立与甲丙共四人遥相望俱与城相叅直既而乙复向东北斜行与甲防丁复向西南斜行与丙会问其行步乙曰我南行不及斜行二十步丁曰我东行不及斜行二百一十六步问城径释曰此通勾股和与大差勾较小差股较立法测望甲东行为通勾丙南行为通股共行九百二十步通勾股和也乙从艮隅南行为小差股斜行就甲为小差不及二十步小差股较也丁从坤隅东行为大差勾斜行就丙为大差不及二百一十六步大差勾较也

　　术曰以小差股较减通和余九百步复以二十步乘之得一万八千于上　又以大差勾较减九百余六百八十四半之得三百四十二乘上位得六百一十五万六千为立实　三因小差股较得六十以减通和余八百六十于上　以半之大差勾较一百○八减三百四十二余二百三十四乘上位得二十○万一千二百四十为从方　以大差勾较减通和余七百○四　三之小差股较减通和余八百六十　相并得一千五百六十四于上　又以大差勾较并三百四十二得五百五十八倍之得一千一百一十六减去小差股较二十余一千○九十六以减上位余四百六十八为益亷　四为常法作负隅带亷减从开立方法除之得一百五十为小差股加较为　较各自乘相减开其余为勾负隅带益亷减从开立方曰初商一百　置一于左上为法　置一乘益亷得四万六千八百　置一自之得一万以隅法因之得四万为隅法　并益亷共八万六千八百以减从方余一十一万四千四百四十为下法与上法相乘除实一千一百四十四万四千实不满法反除实六百一十五万六千　余五百二十八万八千为负积　倍益亷得九万三千六百　三因隅法得一十二万为方法　三因初商得三百为亷法　次商五十　置一于左上为法　置一乘从亷得二万三千四百并入倍亷共一十一万七千为益亷　置一乘亷法得一万五千隅因得六万　置一自之得二千五百隅因得一万为隅法并方亷隅共一十九万加益亷共三十○万七千以减从方不及减反减从方二十○万一千二百四十余一十○万五千七百六十为负从与上法相乘除负积尽

　　此法虽已见前因有翻法故重出

　　又为带从负隅添积开立方法

　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙出东门东行丁出南门南行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而乙从立处斜行与甲会丁从立处斜行与丙防以二斜行相和共三百九十一步相较得一百一十九步问城径释曰此通勾股和与上高下平和上高下平较立法测望甲东行通勾丙南行通股共步和也乙斜就甲下平丁斜就丙上高共步和也相较较也术曰二和自之得一十五万二千八百八十一为和筭　二较自之得一万四千一百六十一为较筭　较筭减筭余半之得六万九千三百六十为实　以二和减通和余五百二十九为从　作减从开平方法除之得二百四十为全径

　　减从开平方法见二卷底勾□勾条

　　又曰和较相并半为高相减半之为平

　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行共九百二十步乙丁二人俱在城外东南巽隅乙北行丁西行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而乙复斜行至丁立处相防问其行步则曰乙直行比丁直行较多其多步与斜行步相并共一百四十四步相减余六十步问城径

　　释曰此通勾股和与太虚较和较较立法测望甲东行为通勾丙南行为通股共步通勾股和也乙从巽隅北行乃防之山与月之泛同太虚股也丁从巽隅西行乃防之月即泛之山太虚勾也乙斜行就丁乃山之月太虚也乙直行多于丁直行数太虚勾股较也以多步并斜行一百四十四较和也多歩减斜行六十较较也

　　术曰较较减较和余半之得四十二为太虚勾股较　以减较和得自之得一万○四百○四倍之减较自乘一千七百六十四余一万九千○四十四为实平方开之得一百三十八为太虚勾股和加较半之为股减较半之为勾

　　通勾和与诸和较测望三

　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲直往东丙直往南乙丁二人俱在城之南门乙向东行丁向南行俱不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而甲向西南斜至丙立处乙亦斜行至丁立处问其行步则甲直斜共行一千步乙直斜共行二百二十五步问城径

　　释曰此以通勾和明勾和立法测望甲在干往东为通勾斜行就丙为通直斜共步勾和也乙在南门东行为明勾斜行就丁为明直斜共步勾和也

　　术曰乙共步自乘再乘得一千一百三十九万○六百二十五为平实　乙共歩自之得五万○六百二十五为从　甲共步一千为隅算　作负隅以从减法开平方法除之得明股一百三十五

　　负隅以从减法开平方曰置实以从隅约之　初商一百　置一于左上为法　置一乘隅算得一十万减去从方　余四万九千三百七十五为下法与上法相乘除实四百九十三万七千五百余实六百四十五万三千一百二十五为次实下法再加十万共一十四万九千三百七十五为方法次商三十　置一于左次为上法　置一乘隅算得三万并入方法共一十七万九千三百七十五为下法与上法相乘除实五百三十八万一千二百五十余实一百○七万一千八百七十五为次实　下法内再加三万共二十○万九千三百七十五为方法　次商五　置一于左次为上法　置一乘隅算得五千并入方法共二十一万四千三百七十五为下法相乘除实尽得明股一百三十五

　　明股自之以勾和除之得勾较八十一加和半之为股减和半之为勾

　　负隅以从减法开平方已见四卷大差勾黄长下因此法有三位故重出而小变之

　　又为以从添积开平方

　　其法曰初商一百置一于左上为法　置一乘从得五百○六万二千五百为益积添积共一千六百四十五万三千一百二十五为实　置一乘隅得一十万与上法相乘除实一千万余实六百四十五万三千一百二十五　倍隅法得二十万为方法约次商三十　置一于左次为上法　置一乘从得一百五十一万八千七百五十为益实　添余积共七百九十七万一千八百七十五为实　置一乘隅得三万并方法共二十三万为下法与上法相乘除实六百九十万　余实一百○七万一千八百七十五　下法内再加三万共二十六万为方法　次商五　置一于左上为法置一乘从方得二十五万三千一百二十五为益积　添入余积共一百三十二万五千为实　置一乘隅得五千并方法共二十六万五千为下法与上法相乘除实尽

　　法已见前卷

　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行乙丁二人俱出东门乙东行丁南行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而甲复斜行与丙会乙复斜行与丁会问其行步甲直斜共一千步乙直斜共五十步问城径

　　释曰此通勾和与□勾和立法测望甲东行为通勾斜行就丙为通共步和也乙出东门而东□勾也斜行就丁□也和为共步

　　术曰通勾和内减二之□勾和余九百为泛率泛率自之得八十一万半之得四十○万五千　□勾和乘泛率得四万五千二数相并得四十五万为平实　二十二乘泛率得一万九千八百　四十二乘□和得二千一百减泛率得一千二百　二数相并得二万一千为益从　四之□勾和得二百为隅法作负隅减从开平方法除之得□股三十负隅减从开平方法见二卷通勾□勾条

　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行各不知步数而立遥望与城相叅直既而甲复向西南斜行与丙相会问其行步甲一直一斜共一千步甲斜直相较与甲之斜丙之直相较共四百四十步问城径释曰此通勾和与勾较股较和立法测望甲东行为通勾丙南行为通股甲斜行为通一直一斜勾和也直斜相较为勾较甲斜丙直相较为股较两相较共四百四十步二较和也

　　术曰以二较和减勾和余五百六十半之自乘得七万八千四百为平实　以和一千为从方　二分五厘为常法　作减从开平方法开之得八十为小差勾

　　负隅减从开平方法见二卷

　　又曰以二较和减勾和余五百六十自之得三十一万三千六百为平实　四之勾和得四千为从方　作减从开平方除之得八十不用负隅

　　通股和与诸和较测望四

　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行乙丁二人俱出南门乙东行丁南行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而甲复斜行与丙会乙复斜行与丁会问其行步则甲之斜与丙之直共一千二百八十步乙之斜与丁之直共二百八十八步问城径

　　释曰此通股和与明股和立法测望甲东行为通勾丙南行通股也甲斜行与丙防通也甲之斜丙之直共步通股和也乙出南门东行为明勾丁南行明股也乙斜行与丁会明也乙之斜丁之直共步明股和也

　　术曰二和相减余九百九十二　以明和乘之得二十八万五千六百九十六减明和筭余二十○万二千七百五十二半之得一十○万一千三百七十六为泛率　以五万七千六百乘泛率得五十八亿三千九百二十五万七千六百为平实　通和加二之明和又半之得九百二十八为次率　次率乘泛率得九千四百○七万六千九百二十八　明和乘泛率得二千九百一十九万六千二百八十八　二数相减余六千四百八十八万○六百四十为从方次率自之得二千二百○八以明和乘之得六十三万五千九百○四　二数相减余二十二万五千二百八十为隅法　作带从平方开之得明勾七十二　勾自乘和除之得股较以加和半之为减和半之为股

　　带从隅开平方曰置实从隅约之初商七十置一于左上为法　置一乘负隅得一千五百七十六万九千六百为隅法并从方共八千○六十五万○二百四十为下法　与上法相乘除实五十六亿四千五百五十一万六千八百余一亿九千三百七十四万○八百为次实　二因隅法得三千一百五十三万九千二百为亷法　　次商二置一于左上为法　置一乘隅法得四十五万○五百六十为隅法并从方亷法共九千六百八十七万○四百为下法与上法相乘

　　此条平实原系一百○二亿七千七百○九万三千三百七十六数多故减之

　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行乙丁二人俱出城东门乙东行丁南行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而丙复斜行与甲相防丁亦斜行与乙相防问其行步则曰丙一直一斜共一千二百八十步丁一直一斜共行六十四步问城径

　　释曰此通股和与□股和立法测望甲东行为通勾丙南行通股也丙又斜行与甲会通也一直一斜共步通股和也乙出东门为□勾丁南行□股也丁又斜行与乙会□也一直一斜共步□股和也

　　术曰二共步相乘得八万一千九百二十为平实以通股和一千二百八十为从　以□和除通和得二十为泛率减一自之得三百六十一　倍泛率减一得三十九相并共得四百为隅算作以从减泛负隅开平方法除之得□勾一十六步　勾自乘得二百五十六以□勾股和除之得□股较四加和半之为减和半之为股

　　负隅以从减法开平方见四卷大差勾黄长条

　　又为以从添积开平方法

　　通和和与诸和较测望五

　　甲乙同在城外西北干隅甲南行较逺乙东行较近隔城斜望与城相叅直甲复向东北斜行与乙相会二人共行了一千六百步甲南行不及斜行八十歩问城径

　　释曰此通和和与股较立法测望乙东行为通勾甲南行为通股斜行与乙相会为通二人共行一千六百步通和和也甲南行不及斜行八十步股较也

　　术曰四之股较以减和和余自之得一百六十三万八千四百　股较自之得六千四百义十八因之得一十一万五千二百　相减余一百五十二万三千二百为平实○四之和和得六千四百减十六较加十八较得六千五百六十为从　四为隅法作负隅减从开平方法除之得勾股较二百八十加股较即勾较三百六十　股较乘勾

　　较倍为实平方开之得和较二百四十

　　负隅减从开平方法见二卷通勾□勾条

　　甲乙同在干隅甲南行乙东行隔城相望与城叅直甲向东北斜行与乙相会二人共行了一千六百步乙东行不及甲斜行三百六十步问城径

　　释曰此通和和与勾较立法测望乙东行为通勾甲南行为通股斜行为通共行一千六百步通和和也乙东行不及甲斜行勾较也

　　术曰倍较以较乘之得二十五万九千二百又九之得二百三十三万二千八百寄于左　倍较以加和得二千三百二十　倍较以减倍和得二千四百八十　二数相减余一百六十为泛率自之得二万五千六百以减左位余二百三十○万七千二百为平实　十八因较得六千四百八十减四泛率得七千一百二十为从方　四为隅筭作带从负隅开平方法除之得二百八十为勾股较　以减勾较余八十为股较　勾较乘股较倍之为实平方开之得和较

　　带从负隅开平方法见四卷底勾通条

　　甲乙二人俱在干隅甲南行乙东行遥相望与城相叅直甲复向东北斜行与乙相会二人共行了一千六百步乙东行不及甲南行二百八十步问城径释曰此通和和与勾股较立法测望乙东行为通勾甲南行为通股斜行与乙会为通共行一千六百步通和和也乙东行不及甲南行二百八十步勾股较也

　　术曰并和较自之得三百五十三万四千四百　和较相减自之得一百七十四万二千四百　二数相并共五百二十七万六千八百为平实　四之和步得六千四百为从　二为隅法　作带从负隅开平方法除之得六百八十为通减较得勾

　　带从负隅开平方法见四卷底勾通条

　　甲乙二人俱在干隅甲南行乙东行遥相望与城相叅直甲复向东北斜行与乙会二人共行一千六百步甲南行不及斜行与乙东行不及甲斜行共四百四十步问城径

　　释曰此通和和与勾较股较并立法测望二人共步通和和也甲南行不及斜行为股较乙东行不及斜行为勾较共四百四十步勾较与股较并也

　　术曰并和及二差并以三归之即通

　　甲乙二人俱在干隅甲南行逺乙东行近遥相望与城相叅直既而甲复向东北斜行与乙会二人共行一千六百步甲南行不及斜行乙东行不及甲南行乙东行不及甲斜行三事共七百二十步问城径释曰此通和和与勾股较勾较股较并立法测望甲南行通股斜行通乙东行通勾共一千六百步通和和也乙东行不及甲南行为勾股较不及甲斜行为勾较甲南行不及斜行为股较三较相并共七百二十

　　术曰三较和半之自乘又三之得三十八万八千八百减和和余三十八万七千二百为平实　倍和和半三较和五之　二数相倂得五千为从　二为隅算作负隅减从开平方法除之得股较八十负隅减从开平方见二卷通勾□勾条

　　通和和与别测望六

　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行乙丁二人俱在城中心乙穿城往东门外丁穿城往南门外直行各不知步数而立四人遥相望俱与城相叅直既而丙向东北斜行与甲会甲东行与丙一南一斜共一千六百步丁亦从南门外立处斜行二百八十九步与乙会问城径

　　释曰此通和和与皇极立法测望甲东行通勾丙南行通股斜行通共步和和也乙从城心出东门为皇极勾丁从城心出南门为皇极股丁斜行会乙则皇极也

　　术曰以皇极乘通和和平方开之即通

　　甲丙二人俱在城外西北干隅甲东行丙南行乙出东门南行丁出南门东行各不知步数而立四人遥相望与城相叅直既而甲复斜行与丙会乙复斜行与丁会问其行步则曰甲一东一斜与丙之南共一千六百步乙斜行一百○二步问城径

　　释曰此通和和与太虚立法测望甲东行为通勾斜行为通丙南行为通股共步一千六百通和和也乙斜行与丁会即月之山太虚也

　　术曰半乙斜行以乘甲丙共步得八万一千六百为实　以共步一千六百为从　四为隅算作负隅减从翻法开平方法除之得三百四十为半通倍之以减和和余九百二十为勾股和再减通即和较

　　负隅减从翻法开平方曰置所得平实以从约之初商三百置一于左上为法置一隅因得一千二百为隅法以减从方余四百为下法与上法相乘得一十二万除实不足反减实八万一千六百余三万八千四百为负积　倍隅法得二千四百为亷法　次商四十置一于左上为法　置一隅因得一百六十为隅法并亷法共二千五百六十减从不足反减从一千六百余九百六十为下法与上法相乘除实尽得半通三百四十

　　后凡言负隅减从开平方法俱仿此

 

　　测圆海镜分类释术卷七

　　钦定四库全书