- 卷六
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钦定四库全书
数度衍卷六
桐城方中通撰
勾股【勾股之一】
周髀勾股圆方图
赵君乡注曰勾股各自乗并之为?实开方除之即?也【鸾曰勾三自乗得九股四自乗得十六并得二十五开方得五】按?图又可以勾股相乗为朱实二倍之为朱实四以勾股之差自相乗为中黄实【倍勾?差二为四自乗得一十六为左图中黄实也淳风曰干率不通】加差实亦成?实【加差实一并外矩青八得九又并中黄十六得二十五亦成?实也淳风曰于率不通唐寅曰加差实之一于前文所言朱实四之上朱实之四为二十四加一得二十五也】以差实减?实半其余以差为从法开方除之复得勾矣【以差实九减?实二十五余十六半之为八加差一得九开得勾三淳风曰以差实一减?实二十五余二十四半为十二以差一从开得勾三鸾言于率不通】加差于勾即股【加差一于勾三得四】凡并勾股之实
即成?实【勾实九股实十六并得二十五?实】或矩于内或方于外形诡而量均体殊而数齐勾实之矩以股?差为广股?并为袤【以差一为广股四并?五得九为袤左图外青】而股实方其里【左图中黄十六】减矩勾之实于?实开其余即股【减九于二十五余十六】倍股在两边为从法开矩勾之角即股?差【倍股四为八为从开九得一也】加股为?【加差一于股四得五】以差除勾实得股?并【以一除九得九即股四?五并数】以并除勾实亦得股?差【以九除九得一】令并自乗与勾实为实【九自乗得八十一又加九得九十】倍并为法【倍九为十八】所得亦?【以十八除九十得五】勾实减并自乗加法为股【以九减八十一余七十二以十八除之得四】股实之矩以勾?差为广勾?并为袤【以差二为广勾三并?五得八为袤】而勾实方其里【右图中青九】减矩股之实于?实开其余即勾【减十六于二十五余九】倍勾在两边为从法开矩股之角即勾?差【倍勾三为六为从开十六得二也】加勾为?【加差二于勾三得五】以差除股实得勾?并【以二除十六得八即勾三?五并数】以并除股实亦得勾?差【以八除十六得二】令并自乗与股实为实【八自乗得六十四又加十六得八十】倍并为法【倍八得十六】所得亦?【以十六除八十得五】股实减并自乗如法为勾【以十六减六十四余四十八以十六除之得三】两差相乗倍而开之所得以股?差増之为勾【一与二乘得二倍为四开得二増一为三】以勾?差増之为股【以二増二得四】两差増之为?【二之上又增一与二得五】倍?实列勾股差实见?实者以图考之倍?实满外大方而多黄实黄实之多即勾股差实【倍二十五为五十满外大方之七七四十九而多一数即勾股差实也】以差实减之开其余得外大方大方之面即勾股并【以差实一减五十余四十九开得七即勾三股四并数】令并自乗倍?实乃减之开其余得中黄方黄方之面即勾股差【七自乗得四十九倍?实二十五为五十相减余一开之得勾股差】以差减并而半之为勾【以差一减七余六半得三】加差于并而半之为股【以差一加七得八半得四也】其倍?为广袤合【倍?二十五得五十为广袤合淳风曰倍?五得一十为广袤合鸾言错也唐寅曰勾广一袤九股广二袤八】而令勾股见者自乗为其实四实以减之开其余所得为差【以七七自乗得四十九四实大方勾股之中有四方一方之中有方十二四实有四十八减上四十九余一也开之得一即勾股差一淳风曰十自乗得一百四实者大方广袤之中有四方若据勾实而言一方之中有实九四实有三十六减上一百余六十四开之得八即广袤差此是股?差减股?并余数若据股实而言一方之中有实十六四实有六十四减上一百余三十六开之得六即广袤差此是勾股差减勾?并余数鸾言错也】以差减合半其余为广【以差一减合七余六半之得三广也淳风曰以差八六各减合十余二四半之得一与二也一即股?差二即勾?差以差减?即各袤广也鸾言错也】减广于?即所求也【以广三减?五即所求差二也淳风曰以广一与二各减?五即所求股四勾三也鸾言错也】观其迭相规矩共为反覆互与通分各有所得然则统叙羣伦?纪众理贯幽入微钩深致逺故曰其裁制万物唯所为之者也通曰君卿所注乃其互见甄鸾重述李淳风言其于率不通者有三错者有四鸾盖取其偶合耳大衍之数五十其用四十有九即此积矩之数也中黄太极一藏四用蓍之挂防也四十有八四象具焉蓍之用策也故七者勾股和也四十九者勾股和之自乗也四十有八者四其勾股之互乗也互乗十二勾股?亦十二以勾三除之得股以股四除之得勾以?五除之得勾股?之羃六此即半其互乗也四其二六是为八羃八羃有八卦之义焉羃六有六爻之义焉八其六爻是为四十八耳矩股之角四分股之一四角而成股羃矩勾之角四分勾之一四角而成勾羃?羃去中黄羃内外四角等是矩勾之四角三分损一而为?羃之一角?羃之一角三分损一而为矩股之一角也
?容股股容勾图説
通曰方内之容递差于二九九之内容八八余为十七八八之内容七七余为十五七七之内容六六余为十三六六之内容五五余为十一五五之内容四四余为九四四之内容三三余为七三三之内容二二余为五二二之内容一一余为三是余之相降莫不差于二也则?实之容股实股实之容勾实七九之余所固然矣自?而推之?与勾股差并六实三十六其容?实之余较?容股实之余必増二矣?与勾?差并七实四十九其容?与勾股差并实之余较其并实容?之余必増二矣?与勾并八实六十四其容?与勾?差并实之余较其并实容?与勾股差之余必増二矣?与股并九实八十一其容?与勾并实之余较其并实容
?与勾?差之余必増二矣自勾而降之勾?差二实四容于勾实之中其余较股之容勾必损二矣勾股差一实一容于勾?差实之中其余较勾之容勾?差必损二矣容有大小余无异同受容者变而容之者亦变故耳
勾股名义
勾【横也】股【直也】?【斜也】勾股较【勾股相减也】勾?较【勾?相减也】股?较【股?相减也】勾股和【勾与股并也】勾?和【勾与?和也】股?和【股与?并也】?较和【?与勾股较并也】?和和【?与勾股和并也】?和较【?与勾股和相减也】?较较【?与勾股较相减也】
勾股求?法
式甲乙股四乙丙勾三问甲丙?几何曰甲丙?五术股四自乘得十六勾三自乗得九两自乗数并之得二十五为实积用少广章
开平方法除之得边五即?也
又式木长二丈围之三尺葛生其下纒木七周上与木齐问葛长几何曰二丈九尺术以木长为勾围七周共二十一尺为股求葛长为?也
通曰勾股可互换然必以长者为股短者为勾也
勾?求股法
式乙丙勾三甲丙?五问甲乙股几何曰甲乙股四术勾三自乗得九?五自乗得二十五相减余十六平方开之得边四即股也
又式圆木径二尺五寸为板欲厚七寸问阔得几何曰二尺四寸术以圆径为?板厚为勾求阔为股也
通曰圜内切中径成两勾股也
股?求勾法
式甲乙股四甲丙?五问乙丙勾几何曰乙丙勾三术服四自乗得十六?五自乗得二十五相减余九平方开之得边三即勾也
又式台上方四丈高四丈八尺四隅袤叙五丈四尺四寸问下方几何曰九丈一尺二寸术以台髙为股袤斜为?求勾以益上方斯得下方也【一隅袤斜者用此求之若四隅袤斜须于求勾倍之且隅与边尚有不同也】
又式圆池八分鱼吞钩钩沉在正中水底钩丝斜至岸长五十尺问水深几何曰三十尺术以半池径为股丝斜至岸为?先以亩法通池八分为一百九十二步四乗三除得二百五十六步平方开之得圆径十六步折半得八步通作四十尺为股次以股?求勾得水深也
勾与股?较求股?法
式乙丙勾二十七甲乙股甲丙?之较为丙丁九问甲乙股几何甲丙?几何曰甲乙股三十六甲丙?四十五术勾自乗得七百二十九较九除之得八十一为股?和和内减较余七十
二半之得三十六为股和外加较得九十半之得四十五为?二术勾自乗得七百二十九较自乗得八十一相减余六百四十八为实倍较得十八为法除实得三十六为股三术勾自乗较自乗并得八百一十为实倍较为法除之得四十五为?
第一术论曰勾羃为丙戊直角方形以较而一【即除也】为
丙巳直角形即得丙庚边与甲
乙甲丙股?和等何者甲丙?
羃之甲辛直角方形内当函一
股羃一勾幂试于甲辛形内依丙丁较截作丁辛丁癸癸壬三直角形即癸壬形与败羃等而丁辛丁癸两形并当与勾羃等亦与丙巳直角形等夫壬辛甲癸巳庚皆较也而甲丁与股等丙辛与?等即丙庚与股?和等
第二术论曰勾羃为乙巳直角方形较羃为丙丑直角方形与丙庚等相减存乙庚巳磬折形为实次倍丙丁较线为乙辛线以为法除实即得辛壬直角形与乙庚巳磬折形等而乙壬边与甲乙股等何者甲丙?羃之
甲癸直角方形内当函一勾羃一股
羃试于甲癸形内截取丙丑较羃之
外分作甲五丑癸丑子三直角形即
丑子与股羃等而丙丑甲丑丑癸三形并当与勾羃等次各减一相等之丙丑丙庚即甲丑丑癸并与乙庚巳磬折形等亦与辛壬直角形等辛乙与寅丑丑丁并等即乙壬与甲丁或寅癸等亦与甲乙等
通曰第三术勾羃为乙巳直角方形较羃为丙壬直角方形与丙庚等并为巳辛庚
磬折形为实次倍丙丁较线为辛巳线以为辛巳线以为法除实即得甲丙线也
又式池方一丈正中生葭出水一尺引葭至岸适与水面齐问水深几何曰一丈二尺术半池为勾出水一尺为股?较引葭至岸为?水深为股
又式开门去阃一尺两门不合二寸问门每扇广几何曰五尺零五分术去阃一尺为勾不合二寸半之为股?较门阃之半为股门广为?【门广并不合之半为?】
又式垣髙一丈倚木齐垣木脚去本以画记之卧而过画一尺问画去墙几何曰四丈九尺五寸加过画一尺为木长术垣高为勾过画一尺为股?较木长为?画去墙为股
又式圆木锯深一寸道长一尺问木径几何曰二尺六寸术木径为?锯道为勾锯深为半股?较半勾自乗得二尺五寸半较除之又加半较
得径为?
通曰圆内截弧矢求圆径也甲丙与甲巳甲丁皆等丁居丙巳之中己乙为全较故丁戊为半较也【按此条图説有误处】
股与勾?较求勾?法
式甲乙股三十六乙丙勾甲丙?之较为甲丁十八问乙丙勾几何甲丙?几何曰乙丙勾二十七甲丙?四十五术股自乗得一千
二百九十六较除之得七十二为勾?和和内减较余五十四折半二十七为勾和外加较得九十折半四十五为?
通曰勾与股?较求股?之第二术第三术此亦可用第一术论曰股羃为甲巳直角方形以较而一为甲辛
直角形即得甲壬边与乙丙丙甲勾?
和等何者甲丙?羃之甲丑直角方形
内当函一股羃一勾羃试于甲丑形内
截取子卯丑辰边各与甲丁较线等
即卯丑辰丙俱与等乙丙勾之丁丙线等而作甲卯夘辰辰丁三直角形其辰丁形之四边皆与勾等勾羃也即甲夘夘辰两形当与股羃等亦当与甲辛形之甲壬边与勾?和等
第二术论曰股羃为甲戊直角方形较羃为丁庚直角
方形与辛癸等相减存甲壬戊磬折
形为实次倍甲丁较线为乙寅线以
为法除实即得乙子直角形与甲壬
戊磬折形等何者乙子直角形加一
等较羃之乙丑直角方形成子夘癸磬折形即与股羃之甲戊直角方形等也又何者甲丙?羃之甲辰直角方形内当函一勾羃一股羃试于甲辰形内截取丁庚较羃之外分作庚未未午午丁三直角形其甲庚申未酉戌三线各与甲丁较线等庚申未戌未辰午酉四线各与等乙丙勾之丁丙线等夫未酉酉戌并与勾等即申未未酉并亦与勾等而庚申未辰各与勾等即庚未未午两形并为勾羃而丁庚午丁两形并为股羃矣丁戌戍酉两较也乙夘夘寅亦两较也而丁丙与乙丙原等即丁午乙子两形等丁庚与乙丑两形又等即丁庚午丁并与子卯癸磬折形等而子夘癸磬折形与股羃之甲戊形等此两率者各减一等较羃之辛癸乙丑形即乙子直角形与甲壬戊磬折形等
通曰甲乙股羃之甲戊直角方形与甲丁较羃之丁庚直角方形并为巳癸卯磬折形也此第三术也
?与勾股较求勾股法
式甲丙?四十五甲乙股乙丙勾之较为甲丁九问乙丙勾几何甲乙股几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六术?自乗得二千零
二十五倍之得四千零五十较自乗得八十一相减余三千九百六十九为实平方开之边得六十三为勾股和和外加较得七十二半之得三十六为股和内减较余五十四半之得二十七为勾二术较自乗得八十一折半得四十零五与?自乗二千零二十五相减余一千九百八十四五折半得九百九十二二五开平方边得三十一五减半较四五余二十七为勾三十一五加半较四五得三十六为股
第一术论曰?羃为甲戊直角方
形倍之为己丙直角形较羃为甲
庚直角方形与甲辛等相减即得
减甲辛形之己辛丙磬折形也今欲显己辛丙磬折形开方而得勾股和者试察甲丙上直角方形与甲乙乙丙上两直角方形并等即甲戊?羃内有一甲乙股羃一乙丙勾羃也己丙两?羃内有两甲乙羃两乙丙羃也故以己丙为实开方即得丑辰直角方形其丑寅与夘辰两形两股羃也丙壬与癸子两形两勾羃也而丑寅夘辰之间则重一等甲辛之夘寅形减之即丑辰直角方形与己辛丙磬折形等矣乙丙为勾丙丑与甲乙等故乙丑边即勾股和也若于乙丙勾加甲丁较即与甲乙股等故甲乙乙丙甲丁并半之为甲乙股以甲丁较减甲乙股为乙丙勾
通曰第二术较羃为甲辛直角方形
半之为甲戊直角形与甲庚直角形
等?羃为甲壬直角方形减较羃半
甲庚形得癸庚丙磬折形半之得癸
午未磬折形与辰子丙磬折形等而子未直角方形与甲午直角方形等也癸午未磬折形开方得丑寅直角方形与辰子丙磬折形开方得卯乙直角方形等也即得丑乙线与巳乙线等而丑丙线与甲巳线等即半较线也乙丑线内减等半较之丑丙线得乙丙勾己乙线外加半较甲巳线得甲乙股何者甲壬直角方形内函一丑寅直角方形一夘乙直角方形又一甲戊直角形故于甲壬直角方形内减等甲戊之甲庚直角形即得夘乙丑寅两直角方形也
勾与股?和求股?法
式乙丙勾二十七丙甲甲乙股?和八十一问甲乙股几何甲丙?几何曰甲乙股三十六甲丙?四十五术勾自乗得七百二十九
股?和八十一除之得九为股?较较加和八十一得九十半之得四十五为?较减和八十一余七十二半之得三十六为股二术勾自乗与和自乗六千五百六十一相减余五千八百三十二为实倍和得一百六十二为法除之得三十六为股三术勾和各自乗相并得七千二百九十为实倍和为法除之得四十五为?通曰第二术减余第三术并后若俱折半为实即以和为法可也不必倍和矣又勾自乗倍得一千四百五十八与和自乗相减余五千一百零三为实以和八十一除之得六十三为勾股和减勾余股以股减八十一余?
第一术形论同勾与股?较求股?第一术
通曰第二术以股?和作庚乙一直线自之为乙丁直角方形次用股?度相减取辛甲两点从辛从甲作辛壬甲癸两平行线依此法作戊子丑巳两平行线即丁乙一形内截成丑壬甲子庚寅辰卯股羃四戊午未巳甲寅辰壬较股矩内直角形四寅辰较羃一也
今欲于丁乙全形中减一乙丙勾之羃则于庚辰?羃内存庚寅股羃而减丑寅甲磬折形即勾羃矣何者庚辰?羃内当函一股羃一勾羃也又戊午与午癸等即辛癸形亦勾羃也以辛癸形代丑寅甲磬折形于丁乙全形内减之余庚壬甲夘两形并又半得甲夘形为实【倍法不如折实】以等股?和之乙夘线为法除之得甲乙股通曰第三术勾羃和羃并者即丁乙形外加一甲壬形也
又式竹髙一丈折梢柱地去根三尺问折处髙几何曰四尺又二十分尺之十一术竹高为股?和去根三尺为勾折处为股
股与勾?和求勾?法
式甲乙股三十六乙丙丙甲勾?和七十二问乙丙勾几何甲丙?几何曰乙丙勾二十七甲丙?四十五术股自乗得一千二百九
十六和七十二除之得十八为勾?较较减和余五十四半之得二十七为勾较加和得九十半之得四十五为?
通曰勾与股?和求股?之第二术第三术此亦可用第一术形论同股与勾?较求勾?第一术第二术形论同勾与股?和求股?第二术
?与勾股和求勾股法
式甲丙?四十五甲乙乙丙勾股和六十三问甲乙股几何乙丙勾几何曰甲乙股三十六乙丙勾二十七术?自乗得二千零二十五倍
之得四千零五十与和自乗得三千九百六十九相减余八十一为实平方开得九为勾股较较减和余五十四半之得二十七为勾较加和得七十二半之得三十六为股
通曰?和各自乗相减又减?自乗余开方得较亦合论曰以勾股和作甲丁一直线自之为甲巳直角方形此形内函甲辛癸巳两股羃乙寅庚壬两勾羃而甲辛癸巳之间重一癸辛直
角方形夫甲丙?之羃既与勾股两羃并等以减甲巳形内之甲辛乙寅两形即所存戊辛寅磬折形少于?羃者为癸辛形矣乙辛股也乙丑勾也则丑辛较也
勾?较与股?较求勾股?法
式甲乙勾?较十八戊丙股?较九问乙丙勾甲乙股甲丙?各几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙?四十五术勾?较十
八与股?较九相乗得一百六十二倍之得三百二十四为实开平方得十八为?和较加勾?较十八得三十六为股?和较加股?较九得二十七为勾用勾股求?法得四十五为?或以勾?较十八并勾得?或以股?较九并股得?
论曰股?较甲丁九自之得八十一为己庚直角方形勾?较乙戊十八自之得三百二十四为辛壬直角方
形两羃并得四百零五以九减十
八余九即勾股较自之得八十一
为干兑直角方形元设两较互乗
为癸戊子丑两直角形并得三百
二十四以减四百零五亦得八十
一何以知之癸戊子丑三百二十
四为实开方得十八之寅夘直角方形边则?和较也凡直角三边形之?羃必与勾股两羃并等甲乙丙既直角形则甲乙乙丙两羃并必与甲丙羃等今于甲乙股加甲辰?丙乙勾加乙午?甲丙?加丙未勾未申股各作一直线以此三和线作一三边形即甲申上之
甲酉直角方形必不等于丙午上
之丙戌直角方形乙辰上之乙亥
直角方形并而此不相等之较必
勾股较羃之八十一也何者若于
甲酉丙戌乙亥三直角方形各以
元设勾股勾股?分之即甲酉形
内有?羃一股羃一勾羃一股?矩内形二勾?矩内形二勾股矩内形二而乙亥形内有?羃一股羃一股?矩内形二丙戌形内有?羃一勾羃一勾?矩内形二次以甲酉内诸形与乙亥丙戍内诸形相当相抵则甲酉内存勾股矩内形二丙戍或乙亥内存?羃一次以此两存形相当相抵则一?羃之大于两勾股矩内形必勾股较羃之
八十一也何者一?羃内函一勾羃一股羃今试如上图任作一甲乙?羃其乙丙为勾羃则丁丙戊磬折形必与股羃等乙巳为股羃则丁巳戊磬折形必与勾羃等次以乙庚辛壬两勾股矩内形辏一角依角旁两边纵横交加于?羃之上即得勾股之较羃丙巳而乙丙上重一勾羃次以所重之勾羃补其等勾羃之丁己戊磬折形则甲乙?羃之大于乙庚辛壬两勾股矩内形必丙巳勾股较羃矣故知第二图乙亥或丙戌内与甲酉内两存形之较必勾股较羃之八十一也则乙亥丙戍两形并其大于甲酉形亦勾股较羃之八十一也今于第一图辛壬较羃内减勾股较羃八十一之干兊直角方形其所存干离震兑两余方形及离震己庚两直角方形并必与癸戊子丑两形并等次以癸戊子丑两形开方为寅夘形则减寅夘之甲酉形与减辛壬之丙戌形减巳庚之乙亥形并必等而减寅夘之甲酉形内元有?羃如甲寅者四有?偕寅卯形边矩内形如寅未者四减辛壬之丙戍形内元有勾羃如丙辛者四有勾偕勾?较矩内形如辛坎者四减巳庚之乙亥形内元有股羃如己辰者四有股偕股?较矩内形如甲己者四今以四?羃当四勾羃四股羃则甲己辛坎两形并必与寅未形等甲丙与未申等?也丙申勾股和也则两?间等寅卯形边之丙未不得不为?和较矣既得丙未十八为?和较即以元设丙较相加可得勾股?各数也何者未申?也未艮勾?较也艮申勾也丙申勾股和也于丙申勾股和减艮申勾则丙未加未艮之丙艮股也丙甲?也丙坤股?较也坤甲股也未甲勾股和也于未甲勾股和减坤甲股则未丙加丙坤之未坤勾也次以未艮加艮申或丙坤加坤甲则?也又式户不知髙广竿不知长短横之不出四尺纵之不出二尺斜之适岀问髙广斜各几何曰髙八尺广六尺斜一丈术横不出四尺为勾?较纵不出二尺为股?较
股?和与勾?和求勾股?法
式乙甲甲丙股?和八十一乙丙丙甲勾?和七十二问乙丙勾甲乙股甲丙?各几何曰乙丙勾二十七甲乙股三十六甲丙?四十五术股?和八十一与勾?和七十二相乗得五千
八百三十二倍之得一万一千六百六十四为实开平方边得一百零八为?和和减勾?和余三十六为股?和和减股?和余二十七为勾用勾股求?法得四十五为?
论曰两和相乗为乙巳
直角形倍之为丁戊直
角形以为实平方开之
得己庚直角方形与丁
戊等即其边为?和和
者何也丁戊全形内有?羃二股?矩内形勾?矩内形勾股矩内形各二与己庚全形内诸形比各等独丁戊形内余一?羃己庚形内余一勾羃一股羃并二较一亦等即己庚方形之各边皆?和和
勾与?较和求股?法【?较和者?与勾股较和也】
式勾二十七?与勾股较和五十四问股?各几何曰股三十六?四十五术勾自乗得七百二十九为实勾和并得八十一为股?和除实得九为股?较加股?和得九十半之得四十五为?股较减股?和得七十二半之得三十六为股
勾与股较和求股?法【股较和者股与勾?较和也】
式勾二十七股与勾?较和五十四问股?各几何曰股三十六?四十五术通曰同勾与?较和法葢?与勾股较和为五十四股与勾?较和亦五十四也
股与?较和求勾?法【?较和者?与勾股较和也】
式股三十六?与勾股较和五十四问勾?各几何曰勾二十七?四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减和余十八为勾?较除实得七十二为勾?和加勾?较得九十半之得?勾?和减勾?较余五十四半之得勾
股与勾较和求勾?法【勾较和者勾与股?较和也】
式股三十六勾与股?较和三十六问勾?各几何曰勾二十七?四十五术通曰股自乗得一千二百九十六为实股与和并得七十二为勾?和除实得十八为勾?较加勾?和得九十半之得?勾?较减勾?和余五十四半之得勾
?与勾较和求勾股法【勾较和者勾与股?较和也】
式?四十五勾与股?较和三十六问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰?自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实?与和并得八十一与实相减余三千九百六十九开平方得六十三为勾股和又以?和并八十一开平方得九为勾股较加勾股和得七十二半之得股勾股较减勾股和余五十四半之得勾【按此法当取勾股较今用?和并盖数偶合非法也】
?与股较和求勾股法【股较和者股与勾?较和也】
式?四十五股与勾?较和五十四问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰?自乗倍之得四千零五十为实?与和相减余九又自乗得八十一与实相减余三千九百六十九下同?与勾较和求勾股法勾与?和和求股?法【?和和者?与勾股和和也】
式勾二十七?与勾股和和一百零八问股?各几何曰股三十六?四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减和余八十一为股?和除实得九为股?较减股?和余七十二半之得股股?较加股?和得九十半之得?
勾与股和和求股?法【股和和者股与勾?和和也】
式勾二十七股与勾?和和一百零八问股?各几何曰股三十六?四十五术通曰同勾与?和和法葢和皆一百零八也
股与?和和求勾?法【?和和者?与勾股和和也】
式股三十六?与勾股和和一百零八问勾?各几何曰勾二十七?四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减和得七十二为勾?和除实得十八为勾?较减勾?和余五十四半之得勾勾?较加勾?和得九十半之得?
股与勾和和求勾?法【勾和和者勾股?和和也】与
式股三十六勾与股?和和一百零八问勾?各几何曰勾二十七?四十五术通曰同股与?和和法葢和数相同也
?与勾和和求勾股法【勾和和者勾与股?和和也】
式?四十五勾与股?和和一百零八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰?自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实?减和余六十三为勾股和又自乗得三千九百六十九与实相减余八十一开平方得九为勾股较减勾股和余五十四半之得勾勾股较加勾股和得七十二半之得股
?与股和和求勾股法【股和和者股与勾?和和也】
式?四十五股与勾?和和一百零八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同?与勾和和法盖和数相同也
勾与?和较求股?法【?和较者?与勾股和较也】
式勾二十七?与勾股和较十八问股?各几何曰股三十六?四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减较余九为股?较除实得八十一为股?和加股?较得九十半之得?股?和减股?较余七十二半之得股又式勾股田一段内容圆池一口径六步只云勾八步问股?各几何曰股十五步?十七步术容圆径即?和较勾与股和较求股?法【股和较者股与勾?和较也】
式勾二十七股与勾?和较三十六问股?各几何曰股三十六?四十五术通曰同勾与?和较法葢以勾减?与勾股和较十八余九以勾减股与勾?和较三十六余亦九也股与?和较求勾?法【?和较者?与勾股和较也】
式股三十六?与勾股和较十八问勾?各几何曰勾二十七?四十五术股自乗得一千二百九十六为实股减较余十八为勾?较除实得七十二为勾?和加勾?较得九十半之得?勾?和减勾?较余五十四半之得勾股与勾和较求勾?法【勾和较者勾与股?和较也】
式股三十六勾与股?和较五十四问勾?各几何曰勾二十七?四十五术通曰同股与?和较法葢以股减?与勾股和较十八余十八以股减勾与股?和较五十四余亦十八也?与勾和较求勾股法【勾和较者勾与股?和较也】
式?四十五勾与股?和较五十四问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰?自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实?减较余九为勾股较又自乗得八十一与实相减余三千九百六十九开平方得六十三为勾股和加勾股较得七十二半之得股勾股和减勾股较余五十四半之得勾?与股和较求勾股法【股和较者股与勾?和较也】
式?四十五股与勾?和较三十六问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同?与勾和较法葢以?减勾与股?和较五十四余九以?减股与勾?较三十六余亦九也勾与?较较求股?法【?较较者?与勾股较较也】
式勾二十七?与勾股较较三十六问股?各几何曰股三十六?四十五术勾自乗得七百二十九为实勾减?较较余九为股?较除实得八十一为股?和减股?较余七十二半之得股股?和加股?较得九十半之得?
勾与股较较求股?法【股较较者股与勾?较较也】
式勾二十七股与勾?较较十八问股?各几何曰股三十六?四十五术通曰同勾与?较较法葢以勾减?较较三十六余九以勾减股较较十八余亦九也
股与?较较求勾?法【?较较者?与勾股较较也】
式股三十六?与勾股较较三十六问勾?各几何曰勾二十七?四十五术股自乗得一千二百九十六为实股并?较较得七十二为勾?和除实得十八为勾?较加勾?和得九十半之得?勾?较减勾?和余五十四半之得勾股与勾较较求勾?法【勾较较者勾与股?较较也】
式股三十六勾与股?较较十八问勾?各几何曰勾二十七?四十五术通曰股自乗得一千二百九十六为实股减勾较较余十八为勾?较除实得七十二为勾?和下同股与?较较法
?与勾较较求勾股法【勾较较者勾与股?较较也】
式?四十五勾与股?较较十八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰?自乗得二千零二十五倍之得四千零五十为实?并勾较较得六十三为勾股和又自乗得三千九百六十九与实相减余八十一开平方得九为勾股较加勾股和得七十二半之得股勾股较减勾股和余五十四半之得勾?与股较较求勾股法【股较较者股与勾?较较也】
式?四十五股与勾?较较十八问勾股各几何曰勾二十七股三十六术通曰同?与勾较较法葢较数相同也通曰和较变穷而勾股之用无穷形同法异形异法同非精义不能入神也
有积【勾股之二】
有积勾股较求勾股?法
式有积九百七十二勾股较为甲戊九问勾股?各几何曰勾二十七股三十六?四十五术较自乗得八十一积四因得三千八百八十八相并得三千九百六十九开平方得六十三为
勾股和加较九得七十二半之得股勾股和减较九余五十四半之得勾求得?二术积较为从方开之得勾较为减从方开之得股【俱详少广】又以积二因得一千九百四十四加较自乘八十一得二千零二十五开方得?
通曰子较羃也丑 通曰子较羃也
寅卯辰四因积也 丑寅并与卯等
各边皆勾股和 二因积也合之
为?羃
通曰较为从方者九回二十七得二
百四十三为较勾矩以减积九百七
十二余七百二十九为勾羃较为减
从方者九回三十六得三百二十四为较股矩以并积九百七十二得一千二百九十六为股羃
有积勾股和求勾股?法
式有积九百七十二勾股和为丙乙乙甲六十三问勾股?各几何曰勾二十七股三十六?四十五术积四因得三千八百八十八
和自乗得三千九百六十九相减余八十一开平方得九为勾股较加和得七十二半之得股勾股较减和余五十四半之得勾勾股求得?二术积二因得一千九百四十四和自乗得三千九百六十九相减余二千零二十五开平方得?
有积?求勾股法
式有积四百八十六?为甲丙四十五问勾股各几何曰勾二十七股三十六术积四因得一千九百四十四?自乗得二千零二十
五相减余八十一开平方得九为勾股较又以积倍之得九百七十二以较九为从方开之得勾勾?求得股通曰以较为减从方开之亦得股
有率【勾股之三】
勾与股率勾?和率求股?法
式勾十股率三勾?和率七问股?各几何曰股一十零五?一十四五术以勾?和率自乗得四十九为勾?和准以股率自乗得九并勾?和准得五十八折半得二十九为?准二率相乗得二十一为股准以?准二十九减勾?和准四十九余二十为勾准以?准二十九乗勾一十得二百九十以勾准二十除之得一十四五为?以股准二十一乗勾一十得二百一十以勾准二十除之得一十零五为股
通曰此迟速相较也速巳七迟止三为率速者于乙至丙又于丙至申迟者于
乙至甲同在乙起同至甲防也【按此图应在又式后】
又式甲善走乙次之甲行七乙行三今乙东行甲南行十步斜向东行防乙问各行几何曰甲南行斜行共二十四步半乙东行十步半术甲南行勾也斜行?也又东行股也甲行七勾?和率也乙行三股率也
容方与勾股率求勾股?法
式容方径一千五百股率三勾?和率五问勾股?各几何曰勾二千三百股四千三百一十二五?四千八百八十七五术以勾?和率自乗得二十五为勾?和准股率自乗得九并勾?和准得三十四半之得十七为?准二率相乗得十五为股准以?准十七减勾?和准二十五余八为勾准以勾准乗容方径得一万二千以股准十五除之得余勾八百加容方径得二千三百为勾以?准十七乗勾二千三百得三万九千一百以勾准八除之得四千八百八十七五为?以股准十五乗勾二千三百得三万四千五百以勾准八除之得四千三百一十二五为股
通曰此亦迟速相较也速五迟三速
于乙过丙至甲迟于乙至甲同在乙
起同至甲防乙戊乙巳皆容方径方
也乙过戊至丙勾也戊丙余勾也乙过丙至甲勾?和也乙过巳至甲股也己甲余股也丁乙直角方形容方也丁庚直角方形即又式邑也【按此图应在又式后】
又式邑方十里每里三百步甲乙二人同立邑中乙东行率三甲南行率五乃斜磨邑东南角与乙防问各行几何曰甲南行二千三百步【邑中一千五百步南门外八百步】斜行四千八百八十七步半乙东行四千三百十二步半【邑中一千五百步东门外二千八百十二步半】术南行勾也南门外余勾也斜行?也东行股也东门外余股也邑中至门皆容方径也甲行五勾?和率也乙行三股率也
容方【勾股之四】
勾股容方法
式勾二十七股三十六问丁戊容方径几何曰丁戊容方径一十五四二八术勾股相乗得九百七十二为实勾股相并得六十三为
法除实得一十五四二八为容方径即丁至戊也戊乙乙己己丁皆等
论曰甲乙股乙丙勾相乗为实即成甲乙丙丁直角形次以甲乙乙丙相并为法即成甲戊线除实得戊巳边
十五四二八即成甲戊己庚直角
形等甲乙丙丁形而己庚边截乙
丙勾于癸截甲丙?于壬成乙辛
壬癸满勾股之直角方形何者甲乙丙丁与甲戊己庚两形互相视即甲乙与甲戊若乙癸与乙丙分之即甲乙与乙戊若乙癸与癸丙是甲乙与乙丙亦若乙癸与癸丙也又甲辛与辛壬若壬癸与癸丙更之即甲辛与壬癸若辛壬与癸丙也而辛乙与壬癸等乙癸与辛壬等则甲辛与辛乙若乙癸与癸丙矣夫甲乙与乙丙既若乙癸与癸丙而甲辛与辛乙又若乙癸与癸丙则甲乙与乙丙亦若甲辛与辛乙而乙辛壬癸为满勾股之直角方形
通曰勾股稍近者容方大勾股悬逺者容方小
又简论曰如前图以甲乙戊为法而除甲丙实既得甲庚戊己各与方形边等今以等甲乙戊之丙乙戊为法而除甲丙实得庚丙戊己亦各与方形边等则辛乙癸壬
为直角方形
容圆【勾股之五】
勾股容圆法
式甲乙股六百乙丙勾三百二十问丁乙容圆径几何曰丁乙容圆径二百四十术勾股相乗得一万九千二百倍之得三万八千四
百为实别以勾股求?得六百八十以并勾股和九百二十得一千六百为法除实得二百四十为容圆径即乙至丁也子丑寅夘皆与乙丁等
通曰容圆径即?和较也勾股和求?减和余亦容圆径也
论曰甲乙
股乙丙勾
相乗即甲
乙丙丁直
角形倍之
为实即丙
丁戊巳直角形求得甲丙?并勾股得一千六百于甲乙线引长之截乙庚与勾等庚辛与?等得甲辛为?和和线以为法除实得辛壬边二百四十即成甲辛壬癸直角形与丙丁戊己形等而壬癸边截乙丙勾于子次从子作子丑寅乙直角方形即此形之各边皆为容圆径何者谓于甲乙丙三边直角形内作一圜其甲丙?截子丑寅乙直角方形之卯辰线与乙子子丑丑寅寅乙诸边皆为切圜线也又何以显此五边之切圜线试于甲乙丙形上复作一丙午未直角三边形交加其上其午丙与乙丙等未午与甲乙等未丙与甲丙等即两形必等次依丙午未直角作午申酉戌直角方形与乙子丑寅直角方形等次于戍酉线引之至亥又成甲戌亥直角三边形以甲为同角交加于甲乙丙形之上亦以午申酉戍为容圆径次于亥戍寅丑两线引之遇于干又成干寅亥直角三边形以亥为同角交加于甲乙丙形之上亦以乙子丑寅为容圆径次作丙兑线遇诸形之交加线于离于兑次作甲震线遇诸形之交加线于防于震次作亥辰线遇诸形之交加线于坎于辰次作未干线遇诸形之交加线于艮于卯而四线俱相遇于坤夫午丙与乙丙两线等而减相等之午戌乙子即戌丙与子丙必等丙离同线丙戍离丙子离又等为直角戍离丙子离丙又俱小于直角即丙离戌丙离子两三角形必等而两形之各边各角俱等则丙兑线必分甲丙未角为两平分矣又子离与戍离两边既等子离震戌离卯两交角又等夘戌离震子离又等为直角即卯离戍离震子之各边各角俱等而两形亦等又子离与离戍两边既等离卯与离震两边又等即子卯与戍震两边亦等子丑与戌酉各为相等之直角方形边必等而各减相等之子卯戍震其所存卯丑震酉必等丑卯辰坎震酉两角又各为离夘戌离震子相等角之交角必等辰丑卯震酉坎又等为直角即卯丑辰震酉坎之各边各角俱等而两形亦等依显午防辰与坎艮乙之各边各角俱等而两形亦等防寅兑与兑艮申之各边各角俱等而两形亦等又子丙戌丙之数各八十乙子戌午各二百四十以诸率分数论之则丑卯酉震各九十丑辰坎酉各四十八卯辰坎震各一百零二则减丑卯之夘子必一百五十也卯子股一百五十丙子勾八十以求卯丙?则一百七十也次减丙戌八十即卯戌亦九十也丑辰卯卯戌离两三角形之辰丑卯离戍卯既等为直角丑卯辰戍夘离两交角又等丑卯与戌夘复等即两形必等而其各边各角俱等依显子离震与震酉坎两形亦等依显诸形之交角者皆相等其连角如酉亥坎乙亥坎两形亦等而子离离戌皆四十八也则酉坎坎乙亦皆四十八也亥酉亥乙皆八十也子乙与戌酉等子丙与酉亥复等则乙丙与戌亥必等而甲为同角甲乙丙甲戌亥又等为直角则甲乙丙甲戌亥之各边各角俱等而两形亦等甲亥与甲丙既等各减相等之丙戌乙亥又减相等之乙寅戌午即甲寅与甲午必等夫甲防午甲防寅两形之甲寅甲午既等甲防同线甲午防甲寅防又等为直角即两形必等而各边各角俱等是甲震线必分丙甲亥角为两平分也甲乙丙一形内既以丙兑线分甲丙乙角为两平分又以甲震线分丙甲乙角为两平分而相遇于坤则以坤为心甲乙为界作圜必切乙子子丑丑寅寅乙卯辰五边而为甲乙丙直角三边形之内切圜即乙丑直角方形之各边为容圆径展转论之则各大直角三边形内之分角线皆分本角为两平分皆遇于坤而坤心圜为各形之内切圜即两直角方形边为各勾股形内之容圆径通曰容方容圆勾股测算之枢机也先衍其防于此详后二卷
数度衍卷六
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