- 卷三
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<子部,天文算法类,算书之属,庄氏算学>
钦定四库全书
庄氏算学卷三
淮徐海道庄亨阳撰
勾股测量
立表杆测法【凡立表杆必用垂线取直并量所立地距人立尺寸以取凖】
测髙【设有一旗杆距人立处三丈欲知其髙立表杆测之】
法以距旗杆三丈处立一表杆髙四尺【如图丁丙】向前又立一表杆髙八尺【如图戊己】看两表端与旗杆顶齐【如图甲丁】量两表间相距五尺【如图丁庚】乃以五尺为一率前表八尺内减后表四尺余四尺【如图戊庚】为二率距旗杆三丈【如图丁辛】为三率求得四率二丈四尺【如图甲辛】加入后表四尺得二丈八尺【如图甲乙】即旗杆之髙也
测逺【设有一树欲知其逺用表杆测之】
法先立一表杆对树【如图甲乙】次于表杆处取直角横量十五丈立一表杆【如丙】再依次表立一表杆对树参直【如丁】乃于丁表处作垂线至丙乙线界【如图丁己】量得五丈复量丙
己度得三丈爰以三丈为一率五丈为二率十五丈【丙乙】为三率求得四率二十五丈【如图甲乙】即树之逺也
比例【比例者以原有之两数为例以今有之一数与之比较而得所求之数也凡比例皆列四率以二率三率相乗以一】
【率归除得四率为所求】
正比例【一名异乗同除】
法以原有之两数为一率二率今有之一数为三率得四率为所求凡一率与三率为类二率与四率为类设如每三人赏银一两八钱今应赏二百四十人共该银若干 法以原有之三人为一率一两八钱为二率今有之二百四十人为三率求得四率一百四十四两即赏银总数
转比例【一名同乗异除】
法以今有之一数为一率原有之两数为二率三率得四率为所求假如有田一畆原濶八步长三十步今要濶十二步该长若干 法以今濶十二步为一率原长三十步为二率原濶八步为三率求得四率二十步即今所求之长数【葢乗除之数逓増逓减者为正比例总数相同分者多则得数转少分者少则得数转多为转比例】
正比例带分
设如每铜二斤六两换锡三斤九两今有铜七斤十二两该换锡若干
法以原铜二斤六两通为三十八两为一率原锡三斤九两通为五十七两为二率今铜七斤十二两通为一百二十四两为三率求得四率一百八十六两即今所换锡数以每十六两为一斤除之得十一斤零十两
转比例带分
设如营造每日用五十六人计一月又九分月之三可以完工今每日用六十四人完工该几何日
法以今用六十四人为一率因分母为九【即命一月为九分也】加入分子三共十二为二率原用五十六人为三率求得四率十分半满分母九分收为一月余一分半即命为一月又九分月之一分半为完工之日数若欲知一分半之日数则以九分为一率以一月通为三十日为二率以一分半为三率求得四率五日是为分子日数
合率比例【系合两比例或合三比例用一次除乗而得】
设如以夏布换绵布但知每夏布三丈价银二钱每绵布七丈价银七钱五分今有夏布四十五丈应换绵布若干
法以夏布三丈与绵布价银七钱五分相乗得二两二钱五分为一率夏布价银二钱与绵布七丈相乗得一两四钱为二率夏布四十五丈为三率求得四率二十八丈即夏布四十五丈所换绵布之数【此两比例合为一比例法】如分两比例算之则先以夏布三丈为一率价银二钱为二率今夏布四十五丈为三率求得四率为价银三两即夏布四十五丈所值银数再以绵布价银七钱五分为一率绵布七丈为二率夏布所值银三两为三率求得四率二十八丈即为夏布所换绵布之数
设如原有鹅八只换鸡二十只鸡三十只换鸭九十只鸭六十只换羊二只今有羊五只问换鵞几何
法以羊二只与所换鸭九十只相乗得一百八十只再以所换鸡二十只乗之得三千六百只为一率以原鸭六十只与原鸡三十只相乗得一千八百只再以原鹅八只乗之得一万四千四百只为二率今羊五只为三率求得四率二十只即羊五只所换鵞数【此三比例合为一比例法】如欲分三比例算之则先求羊五只所换鸭数以羊二只为一率鸭六十只为二率今羊五只为三率求得四率得鸭一百五十只即羊五只所换鸭数次求鸭一百五十只所换鸡数以鸭九十只为一率鸡三十只为二率今羊五只所值之鸭一百五十只为三率求得四率得鸡五十只即羊五只所值鸡数然后求鸡五十只所换鵞数以鸡二十只为一率鵞八只为二率今羊五只所值之鸡五十只为三率求得四率得鹅二十只即羊五只所换鵞数也
测髙【设有一旗杆不知其逺今欲求其髙用表杆两测求之】
法先立一表杆髙四尺【如图丁丙】向前又立一表杆髙八尺【如图戊己】看两表端与旗杆顶齐【如图甲丁】量两表间相距五尺【如图丁庚】记之再退后三丈对凖前表立一表杆髙四尺【如图壬癸】向前又立一表杆髙八尺【如图子丑】看两表端与旗杆顶齐【如图甲壬】量两表间相距一丈【如图壬夘】乃以再测之距度一丈与先测之距度五尺相减余五尺【如图壬寅】为一率前表八尺与后表四尺相减余四尺【如图子夘】为二率先测与再测相距之三丈【如图壬丁】为三率求得四率二丈四尺【如图甲辛】加入后表髙四尺得二丈八尺【如图甲乙】即旗杆之髙如欲求其逺则以再测之距度一丈与先测之距度五尺相减余五尺【如图壬寅】为一率再测之距度一丈【如图壬夘】
为二率两测相距之三丈【如图壬丁】为三率求得四率六丈【如图壬辛】即旗杆距退后表杆之逺
又法设塔一座欲知其髙用相等两表测之
法先立一表杆比人目髙四尺人离表杆六尺防塔顶与表端齐又自前表退后六丈复立一表杆亦比人目髙四尺人离表杆八尺防塔顶与表端齐乃以前表距分六尺与后表距分八尺相减余二尺【如图己壬】为一率表比人目髙四尺【如图辛庚】为二率两表相距六丈【如图辛戊】为三率求得四率十二丈【如图甲癸】加表比人目髙四尺【如图癸乙】共十二丈四尺【如图甲乙】即人目以上之髙再加人目距地之尺寸即塔顶距地平之髙如求塔距前表之逺则以两表
距分相减之二尺【如图己壬】为一率前表距分六尺【如图丙丁】为二率两表相距之六尺【如图辛戊】为三率求得四率十八丈【如图戊癸】即塔距前表之逺再加六丈即塔距后表之逺又法设楼一座欲知其髙以不等两表测之
法先立一长表比人目髙六尺人离表五尺四寸防楼?与表端齐又退后二丈立一短表比人目髙四尺人离表六尺四寸防楼脊与表端齐乃以前表比人目髙六尺【如图丙丁】为一率前表距分五尺四寸【如图目丁】为二率后表比人目髙四尺【如图戊己与庚辛同】为三率求得四率三尺六寸【如图目辛】为前表与后表同髙所得之距分【庚目辛勾股形与戊壬己勾股形同】爰以三尺六寸【如图目辛与壬己同】与后表距分六尺四寸【如图目己】相减余二尺八寸【如目】图壬为一率后表比人目髙四尺【如图戊己】为二率前表距分五尺四寸【如图目丁】内减三尺六寸余一尺八寸【如图辛丁】与两表相距之二丈【如图己丁】相减余一丈八尺二寸【如图戊庚】为三率求得四率二丈六尺【如图甲癸】加表比人目之髙四尺【如图癸乙】共得三丈【如图甲乙】即人目以上之髙再加人目距地尺寸即楼脊距地之髙
又日景测髙【设一旗杆量日景长十丈问髙防何】
法于同时立一表杆髙四尺量表景长二尺乃以表景二尺为一率表髙四尺为二率旗杆之景一丈为三率求得四率二丈即旗杆之髙
矩度测量【矩度之制必用正方每边定一百分或二百分横竖俱界线画成小方分对中
心所出线两边安表取中心安逰表定凖坠线以成勾股】
测髙【设有一旗杆距人立处三丈欲测其髙防何】
法用矩度以定表看地平逰表看旗杆顶得距地平分四十分【此矩度系界画为一百分自中心平分半矩为五十分】乃以半矩五十分【如图丁己】为一率所得距分四十分【如图辛己】为二率距旗杆三丈【如图丁庚】为三率求得四率二丈四尺【如图甲庚】即矩度中心所对地平至旗杆顶之髙再加矩度中心距地【如图庚乙】即所求旗杆之髙也
测逺【设有一树欲求其逺用矩度测之】
法须平安矩度以定表与逰表定凖正方直角定表对树随逰表所指立表杆二三处横量十五丈复安矩度定表对表杆逰表对树得矩中心距分三十分乃以距
分三十分【如图戊丁】为一率半矩五十分【如图戊丙】为二率横量十五丈【如图丙乙】为三率求得四率二十五丈【如图甲乙】即所求树之逺也
重矩测髙【设山一座欲知其髙以重矩测之】
法用矩度以定表看地平逰表看山顶得距地平分四十分又向后量九丈复安矩度以定表仍看前矩定表所看原处逰表看山顶得距地平分三十二分乃以前矩距分四十分【如图己庚】为一率半矩五十分【如图丙庚】为二率后矩距分三十二分【如图辛壬】为三率求得四率四十分【如图丙子】乃以后矩之半矩五十分与四十分相减【后矩之辛壬丑勾股形与前矩之癸子丙勾股形相同】余十分【如图丁丑】为一率后矩距分三十二分【如图辛壬】为二率两矩相距九丈【如图丁丙】为三率求得四率二十八丈八尺【如图甲戊】即矩度中心所对地平至山顶之髙再加矩度中心矩即所求山之髙 若求山距后矩之逺则以相距矩分相减之十分【如图丁丑】为一率半矩五十分【如图丁壬】为二率两矩相距之九丈【如图丁丙】为三率求得四率四十五丈【如图丁戊】即后矩距山之逺减两矩相距九丈即前矩距山之逺
又法设有一石欲知其逺不取直角于左右两处测之
法先平安矩度于右以定表对左矩中心逰表看石得距中心距分三十七分五厘其逰表之斜矩分为六十二分五厘次安矩度于左以定表对右矩中心逰表看石得距中心距分十一分二厘五毫其逰表之斜距分为五十一分二厘五毫横量两矩相距三十九丈乃以两矩中心距分相并得四十八分七厘五毫【如图甲乙与丙丁两勾股相并】为一率右矩逰表之斜距分六十二分五厘【如图右丁】为二率横量三十九丈【如图右左】为三率求得四率五十丈【如图石右】即右矩距石之逺如求左矩距石则仍以四十八分七厘五毫为一率以左矩逰表之斜距分五十一分二厘五毫【如图甲左】为二率仍以三十九丈为三率求得四率四十一丈【如图石左】即左矩距石之逺也
又法设隔河一树欲知其逺不能定直角斜对树两测求之
法先平安矩度于一处复随定表所指横量十七丈安一矩度【如止用一矩度则记凖一处亦可】以先安矩度定表看后安矩度中心逰表看树得距矩度中心距分四十九分其逰表之斜距分为七十分次以后安矩度定表看先安矩度中心逰表看树得距矩度中心距分十五分其逰表之斜距分为五十二分二厘乃以先安矩度之中心距分四十九分与后安矩度之中心距分十五分相减为三十四分【如图戊乙】为一率先安矩度逰表之斜距分七十分【如图乙先】为二率横量十七丈【如图先后】为三率求得四率三十五丈【如图树先】即先安矩度距树之逺如求后安矩度距树则仍以三十四分为一率以后安矩度逰表之斜距分五十二分二厘【如图丁后与戊先等】为二率仍以十七丈为三率求得四率二十六丈一尺【如图树后】即后安矩度距树之逺
尖圆体【圆底尖堆得长圆体三分之一倚壁尖堆二分之一内角堆得圆底尖堆四分之一外角
堆得圆底尖堆四分之三】
圆底尖堆设积米一堆髙五尺底周一十四尺问该米数几何
法以底周十四尺用圆周求面积法求得圆面积一十五尺五十九寸七十一分八十四厘一十二毫有余为尖圆堆之防面积再与髙五尺相乗得七十七尺九百八十五寸九百二十分六百厘有余【为长圆体积】三归之得二十五尺九百九十五寸三百零六分八百二十厘有余为圆底尖堆之积数然后以石率二千五百寸除之得米一十石零三升九合八勺有余即所求圆底尖堆之米数
倚壁尖堆设倚壁积米一堆高四尺底周六尺该米几何
法以底周六尺【此全圆周之半】倍之得一十二尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一十一尺四十五寸九十一分五十五厘有余【为全圆面积】折半得五尺七十二寸九十五分七十七厘有余为倚壁尖堆之底面积再以髙四尺乗之得二十二尺九百一十八寸三百零八分有余【为半周长圆体积】三归之得七尺六百三十九寸四百三十六分有余为倚壁尖堆之积数然后以石率二千五百寸除之得三石零五升五合七勺有余即所求倚壁尖堆之米数
倚壁内角堆设倚壁内角积米一堆髙五尺周一十二尺该米几何
法以周一十二尺【此全圆周四分之一】四因之得四十八尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一百八十三尺三十四寸六十四分九十厘有余【此全圆面积】四归之得四十五尺八十三寸六十六分二十二厘有余为倚壁内角凖之底面积再与髙五尺相乗得二百二十九尺一百八十三寸一百一十分【为长圆一角之体积】三归之得七十六尺三百九十四寸三百七十分为倚壁内角堆之积数然后以石率除之得三十石零五斗五升七合有余即所求倚壁内角堆之米数
倚壁外角堆设倚壁外角积米一堆髙六尺底周三十三尺该米几何
法以周三十三尺【此全圆周四分之三】三归四因得四十四尺为全周乃用圆周求面积法求得圆面积一百五十四尺六寸一十九分八十一厘九十二毫有余四归三因得一百一十五尺五十四寸六十四分八十六厘四十四毫有余为倚壁外堆之底面积再以髙六尺乗之得六百九十三尺二百七十八寸九百一十八分六百四十厘有余三归之得二百三十一尺九十二寸九百七十二分八百八十厘有余为倚壁外角堆之积数然后以石率除之得九十二石三升七合有余即所求倚壁外角堆之米数
截积
正方形从一边截积设正方积二百二十五尺今欲于一边截积四十五尺问截濶几何
法以总积二百二十五尺开平方得十五尺为正方边以十五尺除截积四十五尺得三尺即截积之濶于十五尺内减三尺余十二尺即截剰余积之濶也
正方形从两边截积设正方积三百六十一尺今欲截积一百六十五尺余积仍为正方形问应得边数几何
法以总积三百六十一尺与截积一百六十五尺相减余一百九十六尺开平方得一十四尺即截积所除之正方边
长方形截积设长方形一万九千二百尺长比濶多四十尺今减积二千八百八十尺问余积长濶各几何
法以总积一万九千二百尺用带縦平方得长一百六十尺濶一百二十尺今如欲截濶则以长一百六十尺除截积二千二百八十尺得十八尺为截积之濶于原濶一百二十尺内减十八尺余一百零二尺即截剰余积之濶如欲截长则以濶一百二十尺除截积二千二百八十尺得二十四尺为截积之濶于原长一百六十尺内减二十四尺余一百三十六尺即截剰余积之长截积
勾股形截上段积设股三十六尺勾二十七尺今从上段截积五十四尺问应截长濶各几何
法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积五十四尺倍之【即甲丁与丁戊相乗之长方】为三率求得四率八十一尺开方得九尺即所截之濶【葢股与勾之比必同于甲丁丁戊相乗之长方与丁戊自乗之正方之比】再以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之濶九尺为三率求得四率十二尺即所截之长
勾股形截下段积设股三十六尺勾二十七尺今从下段截斜方形积四百三十二尺问截长及上濶各若干
法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积四百三十二尺倍之得八百六十四尺为三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内减所得四率六百四十八尺余八十一尺开方得九尺为所截之濶再以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率濶九尺与勾二十七尺相减余十八尺【如图己丙】为三率求得四率二十四尺【如图戊己与丁乙等】即所截之长或用勾股形有边求积法求得勾股积四百八十六尺内减从下段所截之斜方积四百三十二尺余五十四尺即为从上段所截之勾股形积依前法比例求之所得之濶即上濶上段之长与股三十六相减即下段所截之长
三角形截积算法与勾股形同【底濶如勾中长如股】
斜方形截上段积设两直角斜方形长二十四尺下濶二十尺上濶十二尺今从上股截积一百六十八尺该截长濶各几何
法以长二十四尺为一率下濶二十尺内减上濶十二尺余八尺为二率截积一百六十八尺倍之得三百三十六尺为三率求得四率一百一十二尺再以上濶十二尺自乗得一百四十四尺与所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺开方得十六尺即所截之濶乃以上下两濶相较减之八尺为一率长二十四尺为二率截濶与上濶相减余四尺为三率求得四率十二尺即所截之长
斜方形截下段积设斜方形长二十四尺上濶十二尺下濶二十尺今从下段截积二百一十六尺求截长濶
法以长二十四尺为一率下濶内减上濶余八尺为二率截积二百一十六尺倍之得四百三十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以下濶二十尺自乗得四百尺内减所得四率一百四十四尺余二百五十六尺开方得一十六尺即所截之濶再以上下两濶较减所余之八尺为一率长二十四尺为二率下濶二十尺内减截濶十六尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截下段之长
梯形
梯形截上段积截下段积
法俱与斜方形同
上下两濶较比斜方形为二倍截积比斜方形亦为二倍故其比例皆同
梯形自一边截勾股积设梯形长一百二十尺上阔二十尺下阔八十尺今自一边截勾股积四百五十尺求截长阔几何
法以长一百二十尺为一率上濶二十尺与下濶八十尺较减余六十尺折半得三十尺【如图乙戊】为二率截积四百五十尺倍之得九百尺为三率求得四率二百二十五尺开方得一十五尺为所截之濶【如图乙辛】乃以半较三十尺为一率长一百二十尺为二率截濶十五尺为三率求得四率六十尺即所截之长
梯形自一边截斜方形积设梯形长一百二十尺上濶四十尺下濶八十尺今自一边截斜方形积四千二百尺求所截之上下濶
法以上濶四十尺与下濶八十尺较减余四十尺折半得二十尺为所截斜方形上濶与下濶之较又以截积
四千二百尺倍之得八千四百尺以长一百二十尺除之得七十尺为所截斜方形上濶与下濶之和加较二十尺得九十尺折半得四十五尺即下濶减较二十尺得五十尺折半得二十五尺即上濶
分积
三角形平分面积一半仍与原形同式
设三角形小腰边二十丈大腰边三十四丈底边四十二丈面积三百三十六丈今分面积一半与原形同式问所截三边各长若干
法以原面积三百三十六丈为一率原面积折半得一百六十八丈为二率底边四十二丈自乗得一千七百六十四丈为三率求得四率八百八十二丈开方得二十九丈六尺九寸八分四厘八毫为所截之底边乃以原底边为一率大腰边为二率所截底边为三率求得四率二十四丈零四寸一分六厘有余即所截之大腰边又以原底边为一率小腰边为二率所截底边为三率求得四率十四丈一尺四寸二分有余即所截之小腰边○凡各形截积仍欲与原形同式者算法
仿此
圆面截弧矢形有矢求圆设圆形径一尺二寸矢濶二寸四分求?长
甲乙为全径甲戊为矢丙丁为?甲丙丁为截弧矢形
法以矢濶二寸四分为首率圆径一尺二寸内减矢濶二寸四分余九寸六分为末率首末率相乗得二十三寸零四分开方得四寸八分为中率【即丙戊】倍之得九寸六分为弧矢形之?
圆面截弧矢形有?求矢设圆形径一尺七寸?长一尺五寸求矢濶
法以?长一尺五寸折半得七寸五分自乗得五十六寸二十五分为长方积以圆径一尺七寸为长濶和用带縦和数开方法算之得濶四寸五分即?矢形之矢弧矢形求圆径设弧矢形?长一尺一寸矢濶四寸求圆径
法以矢濶四寸为首率?长一尺二寸折半得六寸为中率以中率六寸自乗首率四寸除之得九寸为圆之截径加矢濶四寸即圆径
圆面截弧矢形求积
法用勾股八线表比例求截弧之度分随比例得所截弧背之丈尺乃自截弧至圆心作一弧背三角形以半径数与弧背之丈尺相乗得数折半为弧背三角形之面积又自圆心至?作一平三角形用半径与矢相减余数为中垂线以中垂线与?相乗得数折半为平三角形面积两三角形面积相减即弧矢形面积
又法以矢与?相加以半矢乗之得数为弧矢形面积此法较前法微疎如无八线表则以此法算之并积
两正方形并积有边较求分积及边
设大小两正方积共四百一十尺大方边比小方边多六尺问分积及各边几何
法以共积四百一十尺加倍得八百二十尺又以两方边较六尺自乗得三十六尺与八百二十尺相减余七百八十四尺开方得二十八尺为两方边之和加较六尺折半得十七尺为大正方之边减较六尺折半得十一尺为小正方之边以方边各自乗得积数
两正方形并积有边总求分积及边设大小两正方形积共六百一十七尺两正方边共三十五尺求分积及各边之数几何
法以共积六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以两边和三十五丈自乗得一千二百二十五尺与倍积相减余九尺开方得三尺即两方边之较两边和三十五尺与边较三尺相加折半得十九尺即大正方之边减边较三尺得十六尺即小正方之边次方边各自乗得积数
两正方形相并有边较积较求各边设大方边比小方边多七尺大方积比小方积多三百四十三尺求各方边
法以积较三百四十三尺用边较七尺除之得四十九尺即两正方边之和加较七尺折半得二十八尺为大正方之边减较七尺余二十一尺为小正方之边两正方形相并有边总积较求各边设大小两正方边共三十一尺大正方积比小正方积多一百五十五尺求各边
法以积较一百五十五尺用两边和三十九尺除之得五尺为两方边之较与两边和三十一尺相加折半得十八尺即大正方之边减较五尺余十三尺即小正方之边
两正方形并积有积较求各边设大小两正方积共一百三十尺大正方积比小正方积多二十二尺求各边
法以积较三十二尺与共积一百三十尺相减余九十八尺折半得四十九尺即小正方之积开方得七尺即小正方之边小方积四十九尺与积较三十二尺相加得八十一尺即大正方之积开方得九尺即大正方之边三正方形并积有三边较求各边设三正方形共积三百八十一尺大方边比次方边多六尺次方边比小方边多三尺求各方边
法以大方边比小方边所多之较六尺自乗得三十六尺又以次方边比小方边所多之较三尺自乗得九尺两数相并得四十五尺与共积三百八十一尺相减余三百三十六尺三因之得一千零八尺为长方积【其濶为三小正方边长为三小正方边两大方边较两次方边较】又以大方边较六尺倍之得十二尺次方边较三尺倍之得六尺两数相并得十八尺为长濶较用带纵较数开方法算之得濶二十四尺归之得八尺即小正方边加次方边所多之较三尺得十一尺即次方边再加大方边所多之较三尺得十四尺即大正方
容面
圆面容正方设圆径十尺问内容正方边几何
法以圆径十尺自乗得一百尺折半得五十尺开平方得七尺零七分一厘有余即圆面内所容正方边也圆面容三角形设圆径二十尺问内容三角形之一边尺寸防何
乙丙与半径等甲乙丙为正勾股形全径为?乙丙为勾则甲丙为股
法以圆径二十尺为?折半十尺为勾用勾?求股法得十七尺三寸二分有余即圆面内所容三角形之一边三角形容正方面设三角形大腰三十七尺小腰十五尺底四十四尺问内容正方边防何
法先用三角形求中垂线法求得十二尺为中垂线与底四十四尺相加得五十六尺为一率中垂线十二尺为二率原底边四十四尺为三率求得四率九尺四寸二分八厘有余即三角形内所容正方边也
三角形容圆面设三角形每边一尺二寸问内容圆面径防何
乙丙丁勾股形与甲丙丁勾股形同式丙丁勾为乙丁?之半则甲丙勾亦必为甲丁?之半甲丁与乙甲等故甲丙圆面半径得乙丙中垂线三分之一倍之即为全径
法先用三角形求中垂线法求得一尺零三分九厘有余为中垂线以三归之得三寸四分六厘有余为圆面半径倍之得六寸九分二厘有余即所求圆面径
勾股形容正方设勾九尺股十二尺问内容正方边几何
法以勾九尺与股十二尺相加得二十一尺为一率勾九尺为二率股十二尺为三率求得四率五尺一寸四分二厘有余即勾股形内所容正方面边也
勾股形容圆面设勾九尺股十二尺问内容圆面径几何
乙庚与乙戊等庚丁与丁己等于乙丙与丙丁勾股和内减乙丁?所余为戊丙及丙己二段各为圆面之半径相并即为全径
法以勾股求?法求得十五尺为?乃以勾九尺与股十二尺相加得二十一尺内减?数十五尺余六尺即所容圆面径
鋭角钝角三角形容圆面式
法先用三角形有边求积法求得三角形积倍之为长方积并三边共数除之得数为圆面半径加倍即为全径
按分逓折比例 二八差分 三七差分 四六差分 逓折差分 加倍减半差分
设有人一千六百名二分赏银八分赏米求赏银赏米人数各几何
法以二分八分相并得十分为一率人一千六百名为二率二分为三率求得四率三百二十名即赏银人数再以八分为三率求得四率一千二百八十名即赏米人数
设有米五百八十八石令甲乙丙三人二八分之求各得米数若干
法以二分为甲衰八分为乙衰二归八因得三十二为丙衰三数相并得四十二分为一率米数五百八十八石为二率若以甲衰二分为三率则求得四率二十八石即甲应分米数若以乙衰八分为三率则求得四率百一十二石即乙应分米数或以丙衰三十二分为三率则求得四率四百四十八石为丙应分之米数设有粮二千六百五十五石九斗令甲乙丙丁戊五等人户照二八逓减纳之甲户三十乙戸四十丙戸五十丁户六十戊户七十问各户该纳若干
法以逓减最少之戊户为二衰丁户为八衰挨次二归八因则丙户为三十二衰乙户为一百二十八衰甲户为五百一十二衰再以甲户三十与甲衰五百一十二相乗得一万五千三百六十为甲户共衰数 以乙户四十与乙衰一百二十八相乗得五千一百二十为乙户共衰数 以丙戸五十与丙衰三十二相乗得一千六百为丙户共衰数 以丁户六十与丁衰八相乗得四百八十为丁户共衰数 以戊戸七十与戊衰二相乗得一百四十为戊户共衰数 乃以五等衰数相并得总衰二万二千七百为一率粮数二千六百五十五石九斗为二率以甲衰五百一十二为三率求得四率五十九石九斗零四合为一甲户应纳粮数以四户三十乗之得一千七百九十七石一斗二升为甲户共纳粮数 以乙衰一百二十八为三率求得四率十四石九斗七升六合为一乙戸应纳粮数以乙户四十乗之得五百九十九石零四升为乙户共纳粮数 以丙衰三十二为三率求得四率为一丙户应纳粮数以丙户五十乗之得数为丙户共纳粮数 丁戊二等算法仿此以上系二八差分之式
设有银五千两令二县分支东县支七分西县支三分问各支若干
法以三分七分相并得十分为一率银五千两为二率若以东县七分为三率求得四率三千五百两即东县应支之数以西县三分为三率求得四率一千五百两即西县应支之数
设以车载物行十里限二十刻今已行七里该几刻方到
法以十里为一率二十刻为二率十里减去已行七里余三里为三率求得四率为六数即再行六刻方到
设有熟丝四百九十七两七钱按绢绫缎逓次三七分织问各该若干
法将三数三因之得九分为绢衰三归七因得二十一分为绫衰七数七因之得四十九分为缎衰三数相并得总衰七十九分为一率总丝四百九十七两七钱为二率若以缎衰四十九分为三率则求得四率三百零八两七钱为织缎余数以绫衰二十一分为三率则求得四率一百三十二两三钱为织绫线数以绢衰九分为三率则求得四率五十七两六钱为织绢线数设有田一百三十八亩每畆徴米二斗今欲七分徴米三分折丝每米一石折丝一斤问各该若干
法以三分七分相并得十分为一率以米二斗乗田一百三十八畆得总米二十七石六斗为二率七分为三率求得四率十九石三斗二升即徴米之数再以总米二十七石六斗减去徴米十九石三斗二升余八石二斗八升为折丝之数以米一石为一率丝一斤通为十六两为二率折丝米八石二斗八升为三率求得四率一百三十二两四钱八分以斤法收之得八斤四两四钱八分即米三分折丝之数
以上系三七差分法
设有水田三百畆令上下二戸四六分灌问各灌若干畆
法以四分六分相并得十分为一率田三百畆为二率以六分为三率求得四率一百八十畆即上户应灌之田以四分为三率求得四率一百二十畆即下户应灌之田
设有粮一千二百六十六石令甲乙丙丁戊五舟按四六逓次应载问各载若干
法以四分为戊衰六分为丁衰挨次六因四归得九分为丙衰十三分半为乙衰二十分二五为甲衰五数相并得总衰五十二分七五为一率粮一千二百六十六石为二率以甲衰二十分二五为三率求得四率四百八十六石即甲舟应运粮数以乙衰十三分半为三率则求得四率三百二十四石以丙衰九分为三率则求得四率二百一十六石以丁衰六分为三率则求得四率一百四十四石以戊衰四分为三率则求得四率九十六石为各舟应运粮之数
设有熟稻七百九十九畆六分八厘令甲乙丙三人挨次以十分之六收获问各分收若干
法以一百为甲衰六十为乙衰三十六为丙衰三数相并得总衰一百九十六为一率稻七百九十九畆六分八厘为二率甲衰一百为三率求得四率四百零八畆又以乙衰六十为三率求得四率二百四十四畆八分以丙衰三十六为三率求得四率一百四十六畆八分八厘即三人应收之米数
以上系四六差分法
设有银一千二百六十六两五钱令四商以十分之七逓次贩货出卖问每人该银若干
法以一千为第一人分数七百为第二人分数四百九十为第三人分数三百四十三为第四人分数合并得二千五百三十三分为一率银一千二百六十六两五钱为二率以四商分数各为二率求得各四率第一人五百两第二人三百五十两第三人二百四十五两第四人一百七十一两五钱为各贩货之数
设有生铜入炉三次每次镕去渣十分之二今得浄熟铜三百四十八两问原铜防何
法以八分自乗再乗得五百十二分为一率十分自乗再乗得一千分为二率熟铜三百四十八两为三率求得四率四百八十四两三钱七分五厘即原铜之数设有绢四百七十丈一尺八寸四分令三等人戸挨次照十分之六出之上户二十五中戸三十下戸四十八问每戸出若干
法以一百为上等分数以二十五戸乗之得二千五百分以六十为中等分数以三十五户乗之得一千八百分以三十六为下等分数以四十八户乗之得一千七百二十八分三数相并得总衰六千零二十八分为一率绢四百七十丈一尺八寸四分为二率以三等各衰为三率求得各四率上户七丈八尺中户四丈六尺八寸下户二丈八尺零八分即三等人应出之数
设一人织绢日加一倍四日而成六丈七尺五寸问日织绢若干
法以一为初日分数二为次日分数四为三日分数八为四日分数合并得十五分为一率绢六丈七尺五寸为二率以一二四分各为三率求得四率四尺五寸为初日所织倍之得九尺为次日所织又倍之得一丈八尺为次三日所织又倍之得三丈六尺为第四日所织合之共六丈七尺五寸也
设一人借银为商三次每次得利比本银加一倍每次还银二百两三次本利还尽亦无余银问原本若干
法以一为本银分数二为本利共分四为二次本利共分八为三次本利共分即以八分为一率原本银一分为二率又以一为第三次还银分二为第二次还银分四为第一次还银分合并得七分与二百两相乗得一千四百两为三率求得四率一百七十五两为原本银数
设有田一千二百畆令甲乙丙丁四人挨次逓减一半分种问各种若干畆
法以八为甲分四为乙分二为丙分一为丁分合并得十五分为一率田一千二百畆为二率以甲八分为三率求得四率六百四十畆即甲所种田数折半则乙得三百二十畆又减半则丙得一百六十畆又减半则丁得八十畆也
设有银三千一百六十两令三等人逓次减半分用一等二十名二等二十四名三等三十名问每等人得银防何
法以四为一等分数以二十乗之得八十分二为二等分数以二十四乗之得四十八分一为三等分数以三十乗之得三十分合并得一百五十八分为一率银三千一百六十两为二率以各等人数各为三率求得四率一等银八十两二等四十两三等二十两即各等每一人应得银数
以上皆各等差分之例
按数加减比例 逓加逓减差分 超位加减差分互和折半差分 首尾互凖差分
设有金六十两令甲乙丙三人依次逓加五两分之问各得若干
法以三人为一率六十两为二率一人为三率求得四率二十两为乙应得金数加五两则为甲之数减五两则为丙之数
设有银九百九十六两分给八人自末名以上逓加十七两问首末二人各得若干
法以八人为一率九百九十六两为二率一人为三率求得四率一百二十四两五钱再以十七两折半得八两五钱加之得一百三十三两为第四人应得银数再加十七两得一百五十两为第三人再加十七两得一百六十七两为第二人再加十七两得一百八十四两为首二人应得银数又将原数以八两五钱减之得一百一十六两为第五人应得银数再以十七两逓减三次余六十五两即末一人应得银数
设有一百人首名赏银一百两以下逓减五钱问该银若干
法以一分为一率逓减五钱为二率九十九分为三率求得四率四十九两五钱即第一名多于百名之数于一百两内减之得五十两零五钱即第一名应赏之数又与第一名赏银各得一百五十两零五钱以百名乗之得一万五千零五十两折半得七千五百二十五两即赏银总数
设一人行路日增六里共行三百二十里但知初末两日所行共一百六十里问该行防日初末两日各该若干里
法以初末二日共行之一百六十里折半得八十里乃共日之中数为一率一日为二率共行三百二十里为三率求得四率四日即所行日数又以日增六里折半得三里加于中数八十里得八十三里为第三日所行里数再加六里得八十九里为第四日所行里数第二日则减中数之三为七十七里初日更减六里为七十一里
设有人十三日共织布一十三丈五尺三寸因日渐长每日加工六寸问初末两日各织布若干
法以十三日为一率布一千三百五十三寸为二率一日为三率求得四率一百零四寸为第七日所织之数亦即初末两日互相折半之中数乃以第七日上计初日下计末日俱得六分与逓加六寸相乗得三十六寸于一百零四寸内减之余六十八寸初日所织之数加之得一百四十寸为末日所织之数
设有田七百二十畆令甲乙丙三人依次逓减分耕问各该若干畆
法以三分为甲衰二分为乙衰一分为丙衰合并得六分为一率田七百二十畆为二率一分为三率求得四率一百二十畆为丙所耕之田二因之乙得二百四十畆三因之甲得三百六十畆凡命法中不足所减分数者以此为例
设有粮一千一百三十四石令五等戸逓减纳之一等二十四户二等三十三戸三等四十四等五十一五等六十问毎户纳若干
法以五四三二一为五等衰分以五衰乗二十四户得一百二十分以四衰乗三十三户得一百三十二分以三衰乗四十二户得一百二十六分以二衰乗五十二戸得一百零二分以一衰乗六十户得六十户五数合并得总衰五百四十分为一率粮一千一百三十四石为二率一分为三率求得四率二石一斗为第五率一户应纳粮数二分因之得四石二斗应第四等三分因之得六石三斗属第三等四分因之得八石四斗属第二等五分因之得十石五斗属第一等皆就一戸算之以上逓加逓减例
设有米二十四石分与甲四分乙五分丙七分丁九分问各得若干
法以四五七九合并得二十五分为一率米二十四石为二率以甲乙丙丁各分数各为三率求得四率甲三石八斗四升乙四石八斗丙六石二斗二升丁八石六斗四升即各得分数
设有银五千两买得马四匹园一区宅一所其园价多马三倍宅价又多园四倍问各价若干
法以一分为马衰加三倍得四分为园衰又将四分加四倍得二十分为宅衰合并得二十五分为一率价五千两为二率以马衰为三率求得四率二百两为马价加三倍得八百两为园价园价加四倍得四千两为宅价设有银七十两买骆驼马驴各一匹但知马比驼价为九分之四驴比驼价为九分之一问各价若干
法以一分为驴衰四分为马衰九分为驼衰合并得十四分为一率银七十两为二率驼马驴各衰数各为三率求得各四率驴为五两马为二十两驼为四十五两即各畜之价
设一人为商三次初收获利比原银多二倍二次获利比初次本利又多四倍三次获利比二次本利又多三倍共计利与原银得九百两问原本银若干
法以一分为初次本衰加二倍得三分为初次本利共衰又于三分加四倍得十五分为二次本利共衰又于十五分加三倍得六十分为三次本利共衰即以六十分为一率三次本利共九百两为二率一分为三率求得四率十五即原本银数
设有米五百三十五石赏三等人一等二十名二等五十名三等一百一十名一等比二等每名加七斗二等比三等每名加五斗问各等每人得米若干
法以五斗米数与二等五十名人数相乗得米二十五石一等多二等七斗是多三等一石二斗与一等二十名人数相乗得米二十四石合并得四十九石于总米五百三十五石内减去此数余得四百八十六石乃以三等人数相并得一百八十人为一率四百八十六石为二率一人为三率求得四率二石七斗即三等一人应得米数加五斗为三石二斗是二等人所得再加七斗为三石九斗是一等人所得
以上系超位加减
设有米一百八十石令甲乙丙三人互相折半分之但知甲多于丙三十六石问各该米若干
法以三人为一率米一百八十石为二率一人为三率求得四率六十石即乙应得米数再以甲多于丙之三十六石折半为十八石加于乙数为七十八石属甲减于乙数为四十二石属丙
设有银二百四十两赵钱孙李四人互相折半分之但知赵多于李十八两问各该银若干
法以四人为一率银二百四十两为二率一人为三率求得四率六十两为钱孙二人相和折半之数再以赵多于李之十八两三归【四人用三归若三人则用二归五人则用四归也】得六两即四人逓加之数较折半得三两加于六十两即钱银数再加六两为六十九两即赵银较于六十两减三两为五十七两属孙再减六两为五十一两属李以上互相折半
设甲乙丙丁四人挨次分银但知甲得六十九两丁得五十一两问乙丙两人银数
法以三分为甲多于丁之衰数【四人故用三分若五人则用四分六人则用五分也】为一率于六十九两中减去五十一两余十八两为二率一分为三率求得四率六两为四人逓加之较于丁之五十一两内加六两得五十七两为丙再加六两得六十三两属乙如三色者则以首尾两数相和折半即得中数
设七人运粮不言总数但知第一人第二人共运二十三石七斗第五第六第七共运二十六石一斗其逓加之数俱相等问每人运粮若干
法以二十三石七斗折半得十一石八斗五升为第一人第二人相和折半之数于二十六石一斗以三归之得八石七斗即第六人应运粮数乃以第一分第二分之中数一分半与第六分相减余四分半为一率第一二人共运折半之中数十一石八斗五升与第六人之八石七斗相减余三石一斗五升为二率一分为三率求得四率七斗即每人逓加之数由第一人而上逓加七斗则第五得九石四斗第四得十石一斗第三得十石八斗第二得十一石五斗第一得十二石二斗设八人分米但知第一二两人共得十一石九斗第七八两人共得八石三斗其逓加之数俱相等问每人应得米数若干
法以十一石九斗折半得五石九斗五升为第一二两人相和折半之数再以八石三斗折半得四石一斗五升为第七八两人相和折半之数乃以第一分第二分之中数一分半与第七分第八分之中数七分半相减余六分为一率第一第二相和折半之五石九斗九升与第七第八相和折半之四石一斗五升相减余一石八斗为二率一分为三率求得四率三斗即每人逓加之较折半为一斗五升加于五石九斗五升得六石一斗为第一人应得米数以次逓减三斗即以下诸人之数
设有竹九节截为九筒逓次长短不均但知根底三节共盛米三升九合梢上四节共盛米三升问九筒各盛米数
法以三升九合三归之得一升三合即第二节盛米之数又以三升四归之得七合五勺即第七八两节相和折半之数乃以第二分与第七第八折半之中数七分半相减余二分半为一率以一升三合与七合五勺相减余五合五勺为二率一分为三率求得四率一合即每节逓加之较自第一节所盛一升三合而加一合即第一节所盛米数逓减一合即以下诸节之数也设有米二百四十石令甲乙丙丁戊五人逓减纳之定甲乙纳数与丙丁戊纳数相等问各纳防何
法以四分为甲多于戊之衰【自甲至戊隔四位故以四分为衰数也】三分为乙多于戊之衰合并得七分以二分为丙多于戊之【次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同】十五分为第二次比第七次所多衰数合并得三十三分十二分为第三次比第七次所多衰数九分为第四次比第七次所多衰数六分为第五次比第七次所多衰数三分为第六次比第七次所多衰数合并得三十分乃以三十分同三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次同前二次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多五次而其数则相等则三分即为三总分数合之得三十分为一率米二百四十石为二率每人衰数各为三率求得四率甲六十四石乙五十六石共一百二十石丙四十八石丁四十石戊三十二石亦共一百二十石
设有粮一千零九十二石令七次逓减运送定前二次与后五次运数相等问每次运数若干
法以十八分为第一次比第七次所多衰数【第一至第七隔六位应以六为所多衰数则每位逓加一分但前后较归除不尽不可分法故将六分用三因之为十八分则每一次逓加三分而各衰五四三二一俱用三因其比例仍同】十五分为第二次比第七次所多衰数合并得三十三分十二分为第三次比第七次所多衰数九分为第四次比第七次所多衰数六分为第五次比第七次所多衰数三分为第六次比第七次所多衰数合并得三十分乃以三十分同三十三分相减余三分为前两次多于后五次之较又以后五次同前二次相减余三次为后五次多于前两次之较夫前多三分后多五次而其数则相等则三分即为三次之数乃以三次为一率三分为二率一次为三率求得四率一分即第七次之分数每次逓加三分则第六次四分第五次七分第四次十分第三次十三分合并得三十五分第二次十六分第一次十九分合并亦三十五分然后并两总数得七十分为一率粮一千零九十二石为二率一分为三率求得四率十五石六斗即第七次一分之运数再以每次各分较乗之则第一次得二百九十六石四斗第二次得二百四十九石六斗合之为五百四十六石是前两次运数第三次得二百零二石八斗第四次得一百五十六石第五次得一百零九石二斗第六次得六十二石四斗与第七次十五石六斗合之亦为五百四十六石是后五次运数以上首尾互凖
边求积
设三广田南濶六十步北濶八十步中濶四十步长一百二十步中濶距南北边相等问积几何
法宜截作两梯形田算之以南濶六十步与中濶四十步合并折半得五十步与半长六十步相乗得三十步为南半截梯形积又以北濶八十步与中濶四十步合并折半得六十步与半长六十步相乗得三千六百步为北半截梯形积两形相合六千六百步以畆法除之得二十七畆五分即三广积法
积求边
设三广田积二十七畆五分南濶六十步北濶八十步中濶四十步中濶距南北边相等问长几何
法以二十七畆五分用畆法化步得步数四因之置南北濶将中濶数倍之三数相并为法除之得一百二十步即三广田之长
如两距不必相等必有距南北各数或边求积或积求边皆截两梯形算之
庄氏算学卷三
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