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钦定四库全书
九章録要卷二
松江屠文漪撰
零分法
几数不能有整而无零分有法以通之则零不异于整也知此而零分皆可相并减相乗除乃能尽九章之术故备论于左
竒零命分约法 以法除实除得数为整数余实少于法除之不可乃成竒零或原实先少于法则无整而但有零矣【假如以尺计物是亦以法除实也物不满尺是亦实少于法也】凡此皆须命分而母子数多者必当约之其法有三一曰以实除法假如法一百六十八实一十四则以实除法适尽得一十二是为一十二分之一也一曰减法除实假如法一百六十八实一百四十则以实减法余二十八乃以余法除实适尽得五是为六分之五也一曰以通数并除法实列法实两数以少减多更互相减至两数相等即为通数假如法一百六十八实三十五依前互相减得七为通数因以除实尽得五亦以除法尽得二十四是为二十四分之五也又如二百五十分之二百一十约为二十五分之二十一是亦以十为通数也二十四分之一十约为一十二分之五是亦以二为通数也【前两法之一十四与二十八亦即是通数之易得者耳葢三法小异而理则同】亦有不可约者即以法为母实为子命分
整带零分化整为零分法 凡以法除实务得数归整值余实少于法不得已而命分乃有整带零分此固然也而此特谓归整命分之后其数可定不复与他数相并减相乗除者耳若更有他数须与之相并减相乗除则无论未归整者且当以法为母实为子而勿急于归整【必归整无零分方可归整也】即遇整带零分已成之数亦必化整为零分何也数或零或整皆可与他数相并减乗除若本数自兼零整则难用整法又难用零分法故必须化之而不能化零为整但可化整为零其法以原母为母以原母乗整得数并原子为子如有数七零五分之三则化为五分之三十八是也
零分与整相并法零分并整则成整带零分矣若更须与他数相并减乗除者亦以原母为母以原母乗整得数并原子为子如前法
零分与整相减法 零整相减者法亦以原母为母以原母乗整得数减原子为子如甲数七乙数五分之三相减得五分之三十二是也【归整则为六又五分之二】
零分相并法 诸数皆零分欲相并者法以诸母累乗得数为共母以诸子各累乗他母得数为诸子【本子与本母不相乗 或诸子各乗共母而以本母除之得数为诸子亦可】乃相并为子假如甲数五分之二乙数七分之四丙数八分之三则以三母累乗得二百八十为共母以甲子累乗乙丙二母得一百一十二为甲子以乙子累乗甲丙二母得一百六十为乙子以丙子累乗甲乙二母得一百零五为丙子并之得三百七十七为子凡得二百八十分之三百七十七是也【归整为一又二百八十分之九十七】
右法亦有可省者如甲数五分之四乙数三分之一丙数一十五分之七即以丙母一十五为共母而以甲子乗乙母得一十二为甲子以乙子乗甲母得五为乙子【丙子即用原数】并之得二十四为子凡得一十五分之二十四仍约为五分之八是也【归整为一又五分之三】
零分相减法 零分相减者依并分法累乗为共母为诸子而减之为子如甲数五分之二乙数七分之四内减丙数八分之三得二百八十分之一百六十七是也
零分与整相乗法 零分数整数相乗者以原母为母以原子乗整得数为子如甲数七乙数五分之三相乗得五分之二十一是也【归整为四又五分之一】
零分除整法 以零分数为法除整数者以原子为母以原母乗整得数为子如乙数五分之三除甲数七得三分之三十五是也【归整为一十一又三分之二】
整除零分法 以整数为法除零分数者以整乗原母得数为母以原子为子如甲数七除乙数五分之三得三十五分之三是也
零分相乗法 两零分数相乗者以两母相乗得数为母以两子相乗得数为子如甲数九分之八乙数五分之三相乗得四十五分之二十四仍约为一十五分之八是也【或两母同或两子同者亦必相乗】
右法亦有可省者以两母相乗以甲子除之为母即竟以乙子为子如右例两母相乗以乙子除之为母则以甲子为子得一十五分之八不须更约是也
零分除零分法 以法除实而法实两数俱系零分者以法子乗实母得数为母以法母乗实子得数为子如甲数九分之八除乙数五分之三得四十分之二十七是也【若两母相同者竟以法子为母实子为子两子相同者反以实母为母法母为子也】右法亦有可省者以法子乗实母以法母除之为母即竟以实子为子如甲数九分之八除乙数二十七分之一十三得二十四分之一十三是也
零分自乗法 零分数自乗者以母自乗得数为母以子自乗得数为子如有数三分之五自乗得九分之二十五是也【归整为二又九分之七】
零分开方法 零分开平方除者以母自开得数为母以子自开得数为子如有数九分之二十五开方得三分之五是也【归整为一又三分之二 按此因论零分法而及开方故聊举大畧而已其详在少广章中】
零分求分厘小整数法 实少于法除之不足不能成整而为零分若求分厘小整数则以母除子即得如八分两之三除得三钱七分五厘一十六分两之一除得六分二厘五毫是也葢其初以两计故三不可以八除而析为钱为分厘则可除矣至除尽而止亦有终不可尽者仍当就最后小数命分如七分石之二除得二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟又七分粟之四是也【或欲还原子即以原母乗之如八乗三钱七分五厘得三两为八分两之三七乗二斗八升五合七勺一抄四撮二圭八粟并七分粟之四得二石为七分石之二是也】
分厘数命分法 据分厘小整数欲以大数命分者法以分厘数依其下最小数化之为子以所用大数亦依最小数化之置一算为母【其为伯千及万亿则因乎所化之数而只置一算也】乃以法约之如六钱六分二厘五毫欲以两命分则以六千六百二十五为子【六千六百二十五毫也】以一万分为母【一两为一万毫也】乃约为八十分两之五十三是也亦有不可约者即以所立之母子命分
九章録要卷二
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