- 卷十
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钦定四库全书
厯算全书卷十
宣城梅文鼎撰
环中黍尺卷三之四
初数次数法【加减代乗除之法从初数次数而生故先论之】
【上卷之法用角旁两正相乗今则兼用两余故别之为初数次数其法有二其一次数与对弧余相加其一相减也相加又有二一鋭角一钝角也相减有四或余内减次数或次数内减余而又各分锐角钝角也】
约法 三边求角
角求对边
余次数相加例【锐角法钝角法各一】
丁乙丙形 有三边求乙锐角 角旁大弧丁巳【正辛戊余巳戊】小弧丙乙【正丙癸余巳癸】两正相乗全数除之成初得数戊庚又以两余相乗全数除之成次得数戊丑【即卯巳】乃以次得数卯巳加对弧之余已戌成卯戌【即申戊】
一 初得数 戊庚
二 【次得数与对弧余相并】申戊
三 半径 亥已
四 角之余 已干
【以余检表得乙锐角之度】
若先有角求对边则反之
一 半径 亥巳
二 角之余 巳干
三 初得数 戊庚
四 【次得数与对弧余相并】申戊【以次得数戊丑减之得对弧余丑申即巳戌】
论曰辛戊正与亥巳半径同为乙丁弧所分则辛戊全与丁戊分若亥巳全与干巳分也而辛戊与丁戊小又若戊庚句与申戊小句也故戊庚与申戊必若亥巳与干巳
若用丁甲丙形其算并同何以明之甲丁者乙丁半周之余甲丙者乙丙半周之余其所用正并同又同用丁丙为对角之弧甲角又同乙角皆以干已为余故也
右系对边小于象限角旁弧异类故其法用加而为锐角
仍用前图取丁甲寅三角形 有三边求甲钝角 角两旁弧同类 对角边大为寅丁其正酉戌余戌已 旁弧丁甲其正辛戊余已戊 又旁弧寅甲其正寅壬余壬已 初得数戊庚【半径除两正矩】 次得数卯巳【半径除两余矩】
所用三率与前锐角形并同亦以卯已加已戌成申戊为三率所得四率干已亦为甲角之余【末以余检表得度以减半周余为甲钝角之度】
若先有甲钝角求对边丁寅则反用其率一半径亥已二甲角余干已三初数戊庚四申庚末以次数戊丑去减得数甲戊余丑申为对弧余
论曰对弧寅丁系过弧与锐角形对弧丁丙相与为半周之正余度同用酉戌为正戌已为余角旁弧丁甲即乙丁半周之余度同用辛戊为正戊已为余甲寅弧又与乙丙弧等度其正壬寅同癸丙余壬巳同癸巳故加减数并同所异者对弧大而两旁弧又同类故为钝角
若用寅乙丁形其算并同以同用丁寅对弧而两弧在角旁者寅乙为寅甲半周之余丁乙为丁甲半周之余所用之正余并同故也甲角同乙角皆以干已余度转减半周为其度
右系对边大于象限而角旁两弧同类故其法用加而为钝角
正余交变例
若角旁两边以象限相加减而用其余弧则正余之名互易而所得初数次数不变三率之用亦不变解曰弧小以减象限得余弧弧大以象限减之而用其余亦余弧也其故何也凡过弧与其减半周之余度同用一正故过弧内减象限之余即反为过弧之余弧亦曰剰弧而此剰弧之正即过弧之余也
若两弧内一用余度则其初数次数皆为正乘余半径除之之数然其数不变何也一弧既用余度则本弧之正变为余弧之余而其又一弧仍系本度则正不变然则先所用两正相乗为初数者今不变而为余乘正乎次数仿此
试仍以前图明之丁乙丙形任以乙角旁之乙丁弧【即辛乙】内减去亥乙象弧其剰弧亥辛之正戊已即乙辛过弧之余也又亥辛之余辛戊即过弧乙辛之正也然则先以辛戊正乗丙癸正者今不变为辛戊余乘丙癸正乎然但变其名为余乘正而辛戊之数不变则其所得之初数戊庚亦不变也次数仿论【按此法即测星时第二法所用】
若角旁两弧俱改用余弧则初数变为两余相乘次数变为两正相乗盖以正变余余变正而所得之初数次数不变
试仍以前图明之丁乙丙形乙角旁两弧乙丁改用辛亥【义见前】乙丙改用丙亥皆余弧也则丙癸辛戊两正皆变余【丙癸为丙亥弧余辛戊为辛亥弧余】癸已戊已两余皆变正【癸已为丙亥弧正戊巳为辛亥弧正】然则先以两正相乘者今为两余然虽变两余而其为丙癸与辛戊者不变故其所得之初数戊庚亦不变也次数仿论
总例
凡弧度与半周相减之余则所用之正同余亦同
凡弧度与象限相减之余则所用之正变余余变正
余内减次数例【钝角法锐角法各一】
丁乙丙弧三角形有三边
求乙钝角 丙乙小弧其
正丙辰余辰巳 丁
乙大弧其正癸甲余
甲已 是为角旁之两弧
不同类 癸干初得数【两正】
【乗半径除之数】 午已次得数【两余乗半径除之数】 丁丙对边大其正壬卯余卯已 对边大于象限而角旁弧不同类宜相减 对弧余大于次数法当于余卯巳内减去次得数午已余午卯【即艮丁】为二率
一 初得数 癸干
二 【次得数减余】 艮丁
三 半径 辛已
四 角余 寅已
对边大角旁弧异类而次数小减对弧余其角为钝宜以四率寅已捡余表得度以减半周度其余即为乙钝角之度【即寅酉大矢之度】
若先有乙钝角求对弧则反用其率
一 半径 辛巳
二 角余 寅已
三 初得数 癸干
四 【次得数减余】 艮丁
既得艮丁乃以次数加之成卯已余检表得度以减半周得丁丙对边之度
凡过弧与其减半周之余度同用一余故以余检表得度以减半周即得过弧
仍用前图取锐角
丁戊庚三角形【系锐角○此形有三锐角】有三边求戊角 戊庚小边其正庚丑余丑巳 丁戊次小边其正癸甲余甲巳 是为角旁弧同类 初得数癸干【半径除两正矩】 次得数午已【半径除两余矩】 丁庚对边小其正壬卯余卯巳 对边小于象限而角旁弧同类宜相减次数午已小于对弧余卯已以午已去减卯已余
卯午【即艮丁】
一 初得数 癸干
二 【次得数减余】 艮丁
三 半径 辛已
四 角余 寅已
对边小角旁弧同类而次数小去减余其角为锐宜以四率寅已检余表得戊锐角之度
若先有戊锐角度求对边丁度则反用其度
一 半径 辛巳
二 角余 寅已
三 初得数 癸干
四 【次得数减余】 艮丁
以所得艮丁加次数午已检余表得丁庚对边之度因锐角角旁弧同类次数小于余得数后宜加次数为对边余
论曰丁戊庚形与丁乙丙形为相易之形故丁戊为丁乙减半周之余戊庚等乙丙此两弧所用之正余并同则初数次数亦同矣而丁庚对弧亦丁丙对弧减半周之余则所用余边又同加减安得不同
次数内转减余例【锐角法钝角法各一】
丁乙丙形三边求乙角【系锐角】 丙乙小边正辰丙余辰已 丁乙大边正癸甲余甲已 是为角旁之两边不同类 初得数甲干【半径除两正矩】 次得数午
已【半径除两余矩】 丁丙对边
大正壬卯余卯已
对边大而角旁弧不同类
宜相减 次数午已大于
对弧余卯已法当于午
己内减卯巳余午卯【即甲艮】
为二率
一 初得数 甲干
二 【余减次数之余】 甲艮
三 半径 辛巳
四 角余 寅已
对边大角旁弧异类而次数大受对弧余之减其角为锐宜以四率寅已检余表得乙鋭角之度【即寅辛矢度】若先有乙角而求对边丁丙则反用其率
一 半径 辛巳
二 角余 寅己
三 初得数 甲干
四 【余减次数之余】 甲艮
末以所得甲艮转减次数午已得对弧余卯巳检表得度以减半周为对弧丁丙度
前图取钝角
丁戊庚形三边求戊角【系锐角】 戊庚小边正丑庚余丑巳 丁戊次小边正癸甲余甲巳 是为角旁两弧同类 初数甲干【半径除两正矩】 次数午已【半径除两余矩】 丁庚对边小正壬卯余卯巳 对边小而角旁两弧同类宜相减 次数午巳大于对边余卯巳当于午巳内减卯已余午卯【即甲艮】
一 初得数 甲干
二 【余减次数之余】 甲艮
三 半径 辛巳
四 角余 寅已
对边小角旁弧同类而次数大内减去余其角为钝宜以四率寅巳检余表得度以减半周得戊钝角之度
若先有戊钝角而求对边丁庚则反用其率
一 半径 辛已
二 角余 寅巳
三 初得数 甲干
四 【余减次数之余】 甲艮
末以所得甲艮转减次数午巳得对弧余卯已检表得对弧丁庚之度
一系 半浑员面所成斜三角形左右皆相对如左锐角者右必钝也对边左小者右必大也角旁之边左为同类者右必异类也【角旁两弧一居员周一居圆面此员面弧线左右所同用也而员周之弧左右有大小故同于左者不同于右】
加减法【以代乗除】
初数次数并以乘除而得今以总弧存弧之余相加减而半之即与乗除之所得脗合法简而妙而甲数乙数之用亦从此生矣
总法曰凡两弧相并为总弧相减为存弧【存弧一曰较弧】总弧存弧各取其余以相加减成初数次数 法曰视总弧过弧限则总存两余相加总弧不过象限则相减皆折半为初数【即原设两弧之正相乗半径除之之数】以初数转减存弧余即为次数【即原设两弧之余相乗半径除之之数】又法【总弧过象限两余相减不过象限则相加并折半为次数】又法【初数以相加成者以总弧余减初数以相减成者以总弧余加并加减初数为次数亦同】
又取总弧存弧之正相加减成甲数乙数 法曰以总存两正相加折半为甲数【即原设大弧正乗小弧余半径除之之数】总存两正相减折半为乙数【即原设小弧正乘大弧余半径除之之数】又法【以存弧正减甲数其余为乙数亦同】又法【以甲数减总弧正即得乙数】
总弧在象限内两余相减
大弧丙寅 小弧辰丙【即丑丙】 二弧相加为总弧辰寅相减得存弧丑寅 丑寅存弧之余丑癸【亦即丁乙】
辰寅总弧之余卯辰【即癸子亦即乙午】 两余相减【丑癸内减
子癸存丑子或乙丁内减乙午存午丁】其余
半之【丑子半之于壬成壬丑即亥丁】为【丙寅
辰丙】二弧两正相乗半径
除之之数即初得数也
以初得数转减存弧之余
【以壬丑减丑癸其余癸壬亦即亥乙】其余
为大小二弧两余相乗半径除之之数即次得数也论曰丙辛大弧之正也丑戊小之正也以句股形相似之故乙丙半径【】与丙辛正【股】若丑戊正【小】与丑壬初得数也【小股】其半而得者何也曰辰戊同丑戊则戊巳亦同丑壬而壬子即已戊则子丑者初得数【壬丑】之倍数故半之即得 辛乙大弧之余也戊乙小弧之余也乙丙半径【】与辛乙余【句】若戊乙余【小】与亥乙次得数也【小句】又以存弧余内兼有初得次得两数故减初得次也【丑癸余内有丑壬初数癸壬次数故减丑壬即得癸壬也或于乙丁内减亥丁得亥乙并同】
以上用总存两余加减
又丑寅存弧之正丑丁【即午子或癸乙】辰寅总弧之正辰午【即卯乙】两正相加半之为大弧正乗小弧余半径除之之数即甲数也 以甲数转减总弧之正【以午已减辰午其余巳辰亦即卯未】是为大弧余乗小弧正半径除之之数即乙数也
论曰乙辛大弧之余也辰戊小弧之正也以两句股形同比例之故丙乙半径【】与乙辛余【句】若辰戊正【小】与辰已乙数也【小句】
又丙辛大弧之正也戊乙小弧之余也而丙乙半径【】与丙辛正【股】若戊乙余【小】与戊亥甲数【小句】也又以总弧正内兼有甲乙两数故减乙得甲减甲亦得乙矣【辰午正内有辰巳乙数巳午甲数故减辰巳得巳午若减巳午亦必得辰巳】
以上用总存两正加减
若以酉丙为大弧丙丑为小弧则其总弧酉丑【正丑丁余丑癸】其存弧辰酉【正辰午余卯辰】但互易存总之名其他并同论曰凡过象限之弧与其减半周之余弧同用一正如丙酉过弧以减半周得丙寅所用正【丙辛】余【辛乙】皆丙酉弧与丙寅弧之所同也故但易总存之名而正余加减之用不变又法 凡过象限之弧即截去象限用其余度如法加减但以总弧为存弧存弧为总弧而总存之余为正正为余如酉丙过弧截去酉甲象限只用丙甲为大弧与丙丑小弧相加减则丑甲为总弧其正丑癸余丑丁而辰甲为存弧其正卯辰余辰午是总存正余名皆互易也法以总存两正相减而其余折半为甲数【丑癸内减卯辰余丑子半之得丑壬为甲数】仍以甲数转减总弧正【甲数丑壬转减丑癸其余癸壬即乙数】是其名虽易而其实不易也但横易为直
论曰去过弧之象限而用之则过弧之正为余余为正矣故加减而得之数皆两弧之正乘余余乘正之数而非复正乗正余乘余之数也何也过弧之正余互易而小弧之正余如故也
如丙酉过弧去象限为丙甲则其正丙庚即过弧之余也【丙庚即辛乙故】其余庚乙即过弧之正也【庚乙即丙辛故】而小弧丙丑之正丑戊余戊乙皆如旧故先得之丑壬为大弧余丙辛乘小弧正丑戊而丙乙半径除之也非两正相乘也乙数转减正而得之亥乙【即癸壬亦即戊未】为大弧正辛乙乘小弧余戊乙而半径除之也非两余相乘也
又论曰又法即测夜时篇中测星距午之第二法也加减代乗除只此一例而絶不与七卷八卷之乘除求初数次数者相虽有学者何从悟入乎愚故为之详説以发其覆
又论曰元法依图直看直者正横者余又法正余互易则图当横看变立体为眠体本以总存两余加减者变为两正加减然其数并同
又论曰又法是用大之余度而小弧则用元度何以言之测星条用星之赤纬即去极之余度也其用赤道髙则极去天顶之元度也然而赤纬在南者则是于星去极度截去象限之数也何以亦为余度曰过弧既与其减半周之余度同一正则此减半周之余度亦即正弧也然则此截去象限而余者非即正弧之余度乎大弧过象限若干度与不及象限若干度其正并同故加减可通为一法【此又测星条用法之意】
约法
两弧俱用本度或俱用余度相加减以取总存二弧是两正或两余也则用总存两余加减法取初得数惟视总存二弧俱在一象限则相减或分跨两象限则相加皆以初数减存弧之余为次得数
若两弧内有一过弧则总弧之正小于存弧而余反大当以初数减总弧之余为次数
若一弧用本度一弧用余度相加减以取总存之弧是一正一余也则用总存两正加减法其加减皆眎两正原法或加或减取甲数即以甲数减总弧正余为乙数
若过弧节去象限而用其剰度与余度同法【凡余度是以本度减象限而得名今反以象限减过弧故别之曰剰】
若两俱剰弧与两余弧同法
若只一剰弧与一正一余同法
论曰过弧用剰度为余弧其法甚简快凡过弧皆当用之可不用本度矣【算普天星经纬岁差宜此】
又按凡存弧之余内兼有两正相乗两余相乗两数即初次两得数也凡总弧之正内兼有此正乗彼余彼正乗此余之数即甲乙两数也故易其名以别之也
大弧寅丙正丙辛余
辛乙 小弧辰丙【即丑丙】正
辰戊【即丑戊】余戊乙
二弧相加为总弧辰寅正
辰午余午乙 相减
为存弧丑寅正丑丁余
丁乙 存总两余【午乙丁乙】相并成午丁半之于亥成亥丁即初得数大小二弧两正【丙辛辰戊】相乗半径除之之数也 以初得数亥丁转减存弧之余丁乙余亥乙即次得数大小二弧两余【辛乙戊乙】相乗半径除之之数也
论曰以句股形相似之故丙乙半径与丙辛正若戊丑正与初数丑壬【即亥丁】也皆比股也
又丙乙半径与辛乙余若戊乙余与次数亥乙也皆比句也
以上用总存两余加减因总弧跨过象限故相加
又存弧正丑丁与总弧正辰午相加成辰干【以午干等丁艮亦即丑丁也】折半得巳午【即戊亥 辰子折半为巳子子干折半为午子合之成巳午】为甲数大弧正丙辛乗小弧余戊乙半径丙乙除之也
以甲数已午转减总弧正辰午余辰巳为乙数大弧余辛乙乗小弧正辰戊半径丙乙除之也
以上用总存两正加减
若用酉丙过弧为大弧丙丑为小弧则其总弧酉丑存弧酉辰但互易存总之名其它并同以过弧酉丙所用之正丙辛余辛乙即丙寅弧所同用故也
又法
于酉丙过弧内截去象限酉甲只用其剰弧甲丙则甲丙反为小弧丙丑反为大弧【説见前条】
图式三
总弧在象限内两余相
减 乙丙小弧其正丙
辰余辰已 丁乙稍大
弧其正丁甲余甲巳
戊壬初得数【两正相乗半径除】
【也即庚甲或戊卯】 午戊次得数
【两余相乗半径除也即巳癸】 今改用加减以省乗除 以二弧相加成总弧丁丙其正子丁余子巳 又二弧相较成存弧壬丙其正壬辛【卽午巳】余辛巳【卽壬午】
于存弧之余辛巳内减去总之余巳子存子辛半之于癸得子癸及辛癸皆初得数也亦卽戊壬也【或于壬午丙减午卯半之于戊得卯戊及戊壬亦同亦即庚甲也】 又于存弧余辛已内仍减去初得数辛癸存癸已即次得数也【壬午内减戊壬存午戊亦同】
此因总弧在象限内故以总弧余减存弧余求初数是初数小于次数
解曰以句股形相似之故己丙半径【】与丙辰正【句】若丁甲正【】与甲庚初数也又壬甲等甲丁故庚甲亦等戊壬而戊卯即庚甲故可以半而得之也
又已丙半径【】与辰已余【股】若甲已余【】与巳癸次数【股】也
右系总存两余用法
又丁庚为甲数【丁甲大弧正乗辰巳小弧余半径除之也亦即庚卯即甲戊】 子庚为乙数【辰丙小弧正乗甲巳大弧余半径除之也即癸甲】
今改用加减法以存弧正子卯【即辛壬】加总弧正子丁成卯丁而半之于庚得丁庚为甲数【亦即庚卯即戊甲】 仍于总弧正丁子内减去甲数丁庚存子庚【即癸甲】为乙数
此亦总弧在象限内亦总存两正相加求甲数是甲数大于乙数
解曰以句股形相似之故已丙半径与辰巳小弧余若丁甲大弧正与甲数丁庚皆与股之比例也又丁甲等壬甲故戊甲亦等丁庚而戊甲即庚卯故可以半而得之也
又巳丙半径与丙辰小弧正若甲已大弧余与乙数甲癸【即子庚】皆与句之比例也
右系总存两正用法
一系 凡两弧内无过弧则存弧之余大故其中有初次两数而总弧则正大故其中有甲乙两数虽两数相加能令总弧跨过象限此理不变余仍系存弧大正仍系总弧大
总弧过象限两余相加
乙丙小弧正辰丙余
辰已 乙丁过弧正
丁甲余甲已 初得数
戊丁【半径除两正矩即子癸亦即癸辛亦即
庚甲】 次得数癸巳【半径除两余矩】
今用加减代乗除以二弧相加成总弧丁丙正丁子余子已 又二弧相较成存弧壬丙正壬辛余辛巳 乃以总存两余相加成子辛【子巳加辛巳】而半之于癸得子癸及癸辛【亦即丁戊即庚甲】初得数也 又以初数子癸转减总弧之余子已余癸巳次得数也【此因总弧跨过象限故两余相加求初数是初数大于次数】
解曰以句股形相似故半径已丙与正丙辰若正丁甲与初数丁戊皆与股之比例也 又半径丙已与余辰已若余甲巳与次数癸已皆与句之比例也 又壬甲等丁甲则庚甲亦等戊丁而辛癸亦等子癸故半而得
右用总存两余加减
又甲数丑甲小弧余辰已乗过弧正丁甲半径除之也 乙数癸甲小弧正辰丙乗过弧余甲巳半径除之也
今用加减搃存两正相加成丑戊【癸戊与正丁子等丑癸与正辛壬等故以相加即成丑戊】半之于甲得丑甲【亦即甲戊】为甲数 仍以甲数丑甲转减存弧正丑癸余癸甲为乙数【或以总弧正癸戊减甲数甲戊亦即得乙数癸甲】
此亦总弧跨象限外仍系总存两正相加求甲数【甲数仍大于乙数】
解曰半径丙已与小弧余辰已若大弧正丁甲与甲数丑甲皆以比句也 又半径丙已与小弧正辰丙若大弧余甲巳与乙数癸甲皆以比股也又壬甲等丁甲则甲戊亦等壬庚而壬庚即丑甲故半之而得
右用总存两正加减
一系 凡两弧内有过弧者总弧之余反大故初次两数皆在总弧余内而总弧之正反小故甲乙两数皆在存弧正内也【此必原有一过弧始用此例非谓总弧过象限也观图自明】
甲数乙数用法【黄赤道经纬相求】
黄赤二道经纬相求用斜弧三角形以星距黄极为一边星距北极为一边并两极之距为三边此本法也今不用距极度而用其余度【距极度本为纬度之余今用三角形以距极度为边故纬度皆为余度】径取黄纬为一边【此先有黄纬而求赤纬也若先有赤道而求黄道即用赤纬为边】二至之黄赤大距为一边【黄赤大距原与两极之距等】而取二边之总存两正为用以加减省乘除故在本法为初数次数者别之为甲乙数焉甲数乙数不止为求黄赤而举此为式其理特着故命之曰甲数乙数用法实黄赤相求简法矣
第一图 黄纬小于黄赤大距甲数大乙数小
甲丙亢危大圈为过
两极之经圈【即二至经圈】心乙亢轴即黄道
二分经线 丙乙室
为黄道 心为黄极
寅乙危为赤道
甲为北极 辰胃娄
为黄道北纬【即丙辰之度】 丑尾奎为黄道南纬【即丙丑之度】星在箕 箕心为星距黄极纬度 箕女为星距黄道纬【即丙辰之度】 甲心箕锐角为黄道经度其余女乙甲心为两极相距【二十三度三十一分半】 寅丙为夏至距纬【同甲心之度】
今求甲箕为星距北极纬度 其余弧箕翌为星距赤道纬【即氐危之度】
用甲心箕三角形有心角【黄道经】有心箕弧【星距黄极纬】有甲心弧【为两极之距】而求对角弧甲箕【星赤道北极纬】
依加减代乗除改用寅丙夏至距【即心甲】辰丙黄道纬【即心箕之余箕女又即丙丑度】 寅丙辰丙相加为总弧辰寅其正辰午 又相减为较弧丑寅其正丑丁【亦即丁井亦即午昴亦即子午】以丑丁正【即午昴】加辰午正成辰昴折半得巳午
甲数【巳子为辰子之半子午为子昴之半合之成巳午】甲数【巳午】转减正【辰午】余【巳辰】为乙数
或以丑丁正【即子午】减辰午正余辰子折半得辰巳为乙数以乙数转减总弧正辰午得已午为甲数亦同
法为黄道半径【丙乙】与心角之余【女乙】若甲数【巳午】与四率【斗未】也
一 黄道半径 丙乙
二 心角余 女乙
三 甲数 巳午【即戊酉】
四 【减过乙数之赤纬正】斗未【即虚栁】
论曰丙乙半径与女乙余原若辰胃与箕胃【辰胃者箕心黄纬之正即距等圏半径因箕心角线过箕至女分辰胃正于箕亦分丙乙半径于女故丙乙与女乙若辰胃与箕胃皆全与分比例】而辰胃同戊乙箕胃同斗乙皆也【戊酉乙大句股以戊乙为戊酉为句斗未乙小句股以斗乙为斗未为句】戊酉【同巳午】斗未皆句也则其比例等故丙乙与女乙能若戊乙与斗乙亦即若已午与斗未
以乙数【辰巳即箕虚】加四率【斗未即虚栁】成箕栁即所求赤道纬度正检表得赤纬在北【即箕翌亦即氐危】
若先有赤纬黄纬而求黄经则互用其率以三四为一二法为甲数【戊酉】与赤纬正内减乙数之斗未若黄道半径【丙乙】与心角黄经度之余【女乙】也
一 甲数 戊酉【即午巳】
二 【乙数箕虚减赤纬正】半未【即虚栁】
三 黄道半径 丙乙
四 心角余 女乙 检余表得心角之度假如前图星在尾为黄道南纬则所用之甲数乙数并同所得之四率亦无不同而赤纬逈异
何以言之曰心不在箕而在尾则心
甲弧【两极距度】心角【黄道经度】皆不变唯尾心
弧大于箕心故甲心箕三角形变为
甲心尾三角而所求对角之甲尾弧
亦大于甲箕故赤纬异也
然则所用之甲数乙数又同何也曰尾心为过弧则用在女尾【尾心内减去女心象限】女尾为黄道南纬与箕女北纬同度亦即同正则相加为总弧相减为较弧亦同而甲乙数不得不同矣而三率算法亦必同矣但所得四率在北纬则用加在南纬则用减纬度迥异理势自然也一 黄道半径 丙乙
二 心角余 女乙 以乙数【辰巳】减四率斗未减尽三 甲数 已午 无余为星在赤道无纬度四 【加过乙数之赤纬正】斗未
论曰此因乙数与四率同大故减尽也减尽则甲尾正九十度而星在赤道无纬也
亦有四率小于乙数者则当以四率转减乙数用其余为纬度正在赤道南
又论曰星在箕为黄道北在尾为黄道南然所得赤纬皆在北者以箕尾经度皆在夏至前后两象限中也故所得四率在赤道北而加乙数则北纬大减乙数则北纬小皆北纬也惟四率转减乙数则变为南纬【此亦惟黄南纬星又近二分则虽在夏至前后象限中而有南纬】
亦有无四率者心角必九十度其星必在黄道二分经度无角度余为次率故亦无第四率可求但以乙数为用视星在南北即以乙数命为南北纬度之正假如前图中有星在胃是在北也即以乙数胃张【即辰巳】命为赤道北纬之正若星在房是在南也即以乙数乙癸【亦即辰巳】命为赤道南纬之正
又有所得四率北反用减南反用加者心角必为钝角其星必在冬至前后两象限其角度余必为大矢内减仪象限之余则所得第四率在赤道之外【外即南也】而加减后所得皆赤道之南纬也故加减皆反【求北纬以加而南纬必减者星在北也求北纬以减而南纬必加者星在南也盖所得第四率原系在北在南两星纬度之中数 星在北在南皆主黄道言】假如前图中有星在兑为黄道北而甲心兑三角形心
为钝角其余艮乙为艮丙大矢内
减象限之余故所得第四率未斗在
赤道之外为赤道南纬【此南纬是黄道轴距赤道
轴】而兑星在黄道之北则其南纬正
小于未斗故必以乙数牛斗【即辰己亦即奎巳】减之其余牛未【同兑庚】即兑星赤道南纬之正
若星在巽亦同用心钝角为甲心巽三角形艮乙余四率未斗在赤道外并同但巽星又在黄道之南则其南纬大于未斗四率故必以乙数虚巽【即辰巳亦即牛斗】加之成巽栁即巽星南纬之正
亦有四率小于乙数者则以四率转减乙数用其余为纬度在赤道北
又论曰星在兑为黄道北在巽为黄道南然所得赤纬皆在南者以兑巽经度皆在冬至前后两象限中也故所得四率在赤道南而以乙数减则南纬小以乙数加则南纬大皆南纬也惟四率转减乙数者则变为北纬【此亦必黄北纬星又近二分故虽在冬至前后象限中而仍有北纬 凡以乙数及四率相加减成纬度者并主纬度之正而言后仿此】
总论曰凡乙数皆南北两赤纬度相减折半之数甲数则两纬度之中数也【如箕女与女尾两黄纬同度而不能以女庚为两赤纬之中数者弧度有斜正故也】而所得四率即所求星南北两纬正中数故与甲数为比例
凡所得四率星在夏至前后两象限四率在赤道北星在冬至前后两象限四率在赤道南
凡总弧正内兼有甲数乙数【不论黄南黄北并同一法】但视黄纬之大小若黄纬小于黄赤大距则以总存两正相并而半之为甲数若黄纬大于黄赤大距则以总存两正相减而半之为甲数并以甲数转减总弧正为乙数又法
黄纬小于黄赤大距以总存两正相减而半之则先得乙数黄纬大于黄赤大距以总存两正相并而半之亦先得乙数并以乙数转减总弧正为甲数求赤纬约法
凡星有黄纬之南北有黄经之南北【黄经南北即南六宫北六宫 星在夏至前后先得之黄经为鋭角是经在北也 星在冬至前后先得之黄经为钝角是经在南也】若星之黄纬南北与黄经同者其赤纬南北亦与黄纬同法用四率乙数相加为纬度正加惟一法
星在黄道北又系夏至前后两象限先得黄经鋭角是经纬同在北则赤纬亦在北 星在黄道南又系冬至前后两象限先得黄经钝角是经纬同在南则赤纬亦在南
若星之黄纬南北与黄经异者赤纬有同有异皆四率乙数相减为赤纬正减有二法
但视乙数大受四率转减者赤纬之南北与黄纬同如星在黄道北而在冬至前后两象限黄经角钝是纬北而经南也而乙数大受四率转减则赤纬仍在北星在黄道南而在夏至前后两象限黄经角鋭是纬南而经北也而乙数大受四率转减则赤纬仍在南若乙数小去减四率者赤纬之南北与黄纬异 如星在黄道北而在冬至前后黄经角钝为纬北经南而乙数又小去减四率则赤纬变而南 星在黄道南而在夏至前后黄经角鋭为纬南经北而乙数又小去减四率则赤纬变而北
若星在黄道轴线是正当二分经度也其角必九十度无余亦无四率但以乙数为用 星在北即以乙数命为赤道北纬之正 星在南即以乙数命为南纬之正
若遇乙数四率相减至尽者其星正当赤道无纬度第二图 黄纬大于黄赤大距甲数小乙数反大【有黄道经纬求赤纬】
甲北极 心黄极
甲心为两极之距
丙室黄道 寅危赤
道 寅丙为夏至大
距【同甲心】 乙为二分
以上并与前图无
二 所异者黄纬丙
丑【即丙辰】大于寅丙故
乙数亦大于甲数 寅丙之正丙辛余辛乙 丙丑之正辰戊【或戊丑】余戊乙
甲数戊酉乃寅丙正乗丙丑余半径除之也法为丙乙半径与正丙辛若戊乙余与甲数戊酉乙数辰巳【或巳子或戊壬】乃辛乙余乗辰戊正半径除之也法为丙乙半径与余辛乙若辰戊正与乙数辰巳
假如星在箕为在黄道北箕心为距黄极之度其余箕女黄道北纬也有箕心甲心【两极距】二边有心锐角【黄经】用甲心箕三锐角弧形求赤纬甲箕为对角之弧
依加减代乗除改用寅丙辰丙二弧相加为总弧辰寅其正辰午 又相减成较弧寅丑其正丑丁【即午子】以丑丁正加辰午正成辰子折半于巳为乙数【辰巳及巳子】 乙数辰已转减总弧正辰午得已午为甲数【即戊酉】
本法以丑丁减辰午折半得已午为甲数 甲数巳午转减辰午得辰巳为乙数
法为黄道半径丙乙与余女乙若甲数戊酉与四率斗未也【理见前式论见】
一 黄道半径 丙乙 既得斗未以乙数箕
二 心角余 女乙 虚加之成箕栁为赤
三 甲数 戊酉 纬正查表得箕翌四 【以乙数减赤纬正】 斗未【即虚栁】 赤纬度在赤道北右系黄纬在北而心为锐角黄经亦在北故法用加而赤纬仍在北
若先有黄赤纬度而求黄经则互用其率亦同前式一 甲数 戊酉
二 【乙数减赤纬正】 斗未
三 黄道半径 丙乙
四 心角余 女乙 查余表得心角之度假如前图星在尾为在黄道南则所用之甲数乙数及所得之四率并同惟赤纬异
论曰星不在箕而在尾则甲心箕三
锐角形变为甲心尾三角形而心尾
弧大于心箕故所求对角之甲尾弧
亦大于甲箕而赤纬大异
心尾大于心箕而甲数乙数悉同者因用余弧则女尾南纬与女箕北纬同度故也
一 黄道半径 丙乙 既得斗未以转减乙数斗二 心角余 女乙 牛得余未牛【即尾申】为赤纬三 甲数 戊酉 正查表得尾卯纬度在四 【乙数内减赤纬正】 斗未 赤道南
论曰此系乙数跨赤道故乙数内兼有赤纬及四率之数而减赤纬得四率以四率转减亦得赤纬
右系黄纬在南而心为锐角是纬南而经北法当用减而乙数大受四率反减故赤纬仍在南
假如前图星在巽则所用之甲数乙数亦同惟四率异【因巽艮黄纬即室奎之度与丙丑同故甲数酉戊与戊酉同大而乙数斗牛兊干并同辰巳】
又巽星在黄道南而心为钝角星在
秋分后春分前黄经亦在南则赤纬
亦在南法当用加
一 黄道半径 丙乙【即室乙】
二 【钝角余即大矢减半径之余】 艮乙【艮丙为心钝角大矢内减丙乙得艮乙】
三 甲数 酉戊
四 【赤纬正内减乙数】 未斗
既得未斗以乙数斗牛【即辰巳】加之成未牛为赤纬正【即栁巽】查表得震巽纬度在赤道南
假如前图星在兑为黄道北所用之
甲数乙数四率并同惟赤纬异【兑艮北纬
与巽艮南纬并同丙丑之度故甲数乙数同甲心巽与甲心兊两钝角形
同用心钝角故四率亦同惟心兊弧小于心巽故所求对角弧甲兊亦小】
【于甲巽而赤纬异】
一 黄道半径 丙乙 既得未斗以转减乙数二 钝角余 艮乙 兊干得余兊离为赤纬三 甲数 酉戊 正查表得兊坎纬度四 【乙数内减赤纬正】 未斗【即离干】 在赤道北
右系黄纬在北而心为钝角是秋分后春分前为纬北而经南法当用减而乙数大受四率转减故赤纬仍在北
第三图 赤纬大于二极距甲数小乙数大
心甲箕三鋭角形 星在箕 有黄极纬心箕有北极
赤纬甲箕有黄赤极
距心甲【即室危】求甲角
为赤经 辰危赤纬
大于危室大距【即心甲】与前图略同故乙数
亦大于甲数 所异
者此求赤经故诸数
皆生于赤纬谓总弧
较弧皆用赤纬也而加减正反在黄道矣
室危两极距之正室辛余辛乙
辰危赤纬【即箕女为甲箕距比极之余】之正辰酉余酉乙甲数戊酉法为半径室乙与辛室正若酉乙余与甲数戊酉也
乙数辰已法为半径室乙与辛乙余若辰酉正与乙数辰已【或娄酉正与乙数酉壬】也
依加减代乗除改用辰危室危相加为总弧辰室其正辰午又相减为较弧娄室其正娄丁【即午昴】
又以较弧正午昴减总弧正辰午余数半之得已午为甲数【即戊酉也法于辰午内截减辰坤如午昴其余坤午半之于已即得已午】
甲数已午转减辰午正余辰巳为乙数【或以甲数已午加较午昴成巳昴乙数亦同】箕虚及未牛并同【皆乙数也】
又以箕翼黄纬之正箕柳与乙数箕虚相减得虚柳【即未斗】以为次率【因箕栁黄纬大乙数箕虚小故于黄纬正内减乙数得未斗】
法为甲数戊酉与未斗若酉乙与未乙亦即若危乙半径与甲角之余女乙也
一 甲数 戊酉
二 【黄纬正内减去乙数】 未斗
三 赤道半径 危乙
四 甲角余 女乙
论曰赤道经度春分至秋分【北六宫】为钝角秋分至春分【南六宫】为锐角其角与黄经正相反此条星在箕是赤纬在北也而黄纬亦北两纬同向宜相减成次率而乙数小于黄纬必以乙数减黄纬而得未斗乙数减黄纬而纬在北赤经必南六宫为锐角查表得度为甲角度即赤经也在秋分后以所得减三象限在冬至后以所得加三象限皆命为其星距春分赤道经度
若星在尾用甲心尾三角形则以黄
纬正反减乙数为次率【未牛乙数大于黄纬
斗牛故以斗牛反减未牛得未斗】余率并同
论曰此条星在尾是赤纬在南也而黄纬亦并在南两纬同向宜相减而成次率而乙数大于黄纬宜于乙数内转减去黄纬成未斗也乙数大受黄纬转减而纬在南赤经必亦在南六宫为锐角
一 甲数 戊酉
二 【乙数内减黄纬】 未斗
三 赤道半径 危乙
四 甲角余 女乙
假如前图星在兊用心甲兊三角形
有心兑边【星距黄极】有甲兑边【星距北极】有心
甲边【两极距】求甲钝角为赤道经度
因赤纬同故甲数乙数同
星在兊赤纬在北黄纬亦在北纬同向北宜相减而成次率而乙数大以黄纬减之得斗未【乙数兊干内减去黄纬兊离余离干即斗未】
乙数大受黄纬转减而赤纬在北必赤经亦在北六宫为钝角
一 甲数 酉戊
二 【乙数内减去黄纬】 斗未
三 赤道半径 寅乙
四 甲角余 艮乙
以艮乙查余表得度用减半周为甲钝角即赤经也在春分后以象限减钝角度在夏至后以钝角度与三象限相减皆命为星距春分赤道经度
假如星在巽用心甲巽三角形有心巽边【距黄极】有甲巽边【距北极】有甲心边【两极距】求甲钝角为赤经
甲数乙数并同
惟心在巽是赤纬南也黄纬亦南也两纬并南宜相减
成次率 乙数小黄纬大故以乙数
减黄纬得斗未【斗牛黄纬即栁巽也内减乙数未牛余即
斗未矣】 乙数小去减黄纬而赤纬在
南赤经必在北六宫为钝角
一 甲数 酉戊
二 【黄纬内减乙数】 斗未
三 赤道半径 寅乙
四 甲角余 艮乙
以艮乙余查度春分后用余度减象限夏至后加象限皆命为距春分赤经
第四图 赤纬小于二极距甲数大乙数小
假如星在箕用心甲
箕钝角形有心箕过
【距黄极对角边也其余箕翼即黄纬】有
甲箕边【距北极即辰危之余】有
心甲边【两极距寅丙及危室并同】求甲钝角赤道经
两极距危室之正
危辛余辛乙 赤纬危辰之正辰戊余戊乙甲数戊酉【为半径危乙与二极距之正危辛若赤纬余戊乙与甲数戊酉也】
乙数辰巳【或戊壬 为半径危乙与二极距之余辛乙若赤纬正辰戊与乙数辰巳也】依加减代乗除以辰危危室两弧相加为总弧辰室其正辰午
又相减为较弧娄室其正娄丁【或丁井即午昴】
以总弧正辰午加较弧正午昴成辰昴而半之为甲数巳午【巳坤为辰坤之半坤午为坤昴之半合之为巳午】即戊酉
又以甲数己午转减正辰午得辰巳为乙数【亦即戊壬】星在箕为赤纬北而黄纬亦在北两纬同向宜相减而成次率而乙数大当以黄纬转减之成斗未【牛未乙数内减牛斗黄纬余斗未】
乙数大受黄纬反减而纬在北赤经在北六宫为钝角一 甲数 酉戊 以艮乙余查度春分后二 【乙数内减黄纬正】 斗未 用减象限夏至后加象限三 赤道半径 寅乙 命为距春分经度
四 甲角余 艮乙
若星在尾用心甲尾三角形则为南纬而黄纬亦南两
纬同向宜相减成次率而乙数小于
黄纬故以乙数减黄纬成斗未【虚尾黄纬
内减乙数氐尾余虚氐即斗未】 其甲数乙数等算
并同 乙数小去减黄纬而纬在南
赤经必在北六宫为钝角
一 甲数 酉戊
二 【黄纬正内减乙数】 斗未
三 赤道半径 寅乙
四 甲角余 艮乙
若星在兑用心甲兑三角形兑为北纬而黄纬亦北两
纬同向宜相减成次率而乙数小于
黄纬故以乙数减黄纬成未斗【兊干黄纬
内减乙数兊离余余离干即未斗】甲数乙数并同
乙数小去减黄纬而纬在北赤经反
在南六宫为锐角
一 甲数 戊酉 以女乙余度秋分后减二 【黄纬正内减乙数】 未斗 三象限冬至后加三象限三 赤道半径 危乙 命为距春分赤经【下同】四 甲角余 女乙
若星在巽用心甲巽三角形赤纬南黄纬亦南两纬同向宜相减成次率而乙数大以黄纬转减之成未斗【未牛乙数内减黄纬斗牛即栁巽其余即未斗】
乙数大受黄纬转减而纬在南赤经
即在南六宫为锐角
一 甲数 戊酉
二 【乙数内减黄纬正】 未斗
三 赤道半径 危乙
四 甲角余 女乙
第五图 赤纬小于二极距甲数大乙数小
黄纬乙数相加成次
率【黄纬在南角鋭钝黄纬在北角】星在巽用心甲巽三
角形有心甲边【二极距】有巽甲边【距北极度为过弧其
赤纬女巽在南】有巽心边【距黄
极度其余巽为黄纬在北】 求对
巽心弧之甲角 心甲两极距即危室【或寅丙】其正危辛余辛乙 女巽赤纬即危娄【或辰危即丑寅】其正辰戊余戊乙
甲数戊酉【两极距正危辛乗赤纬余戊乙半径危乙除之之数也法为危乙与危辛若戊乙与戊酉】乙数辰巳【两极距余辛乙乗赤纬正辰戊半径危乙除之之数也法为危乙与辛乙若辰戊与辰巳】依加减代乗除改用辰危危室相加为总弧辰室其正辰午又相减为较弧娄室其正娄丁【即午昴及丁井】以总较两正相加成辰昴折半得巳午为甲数即戊酉【巳坤为辰坤之半坤午为坤昴之半合之成己午】
甲数巳午转减总弧正辰午得辰巳为乙数即戊壬黄纬巽氐在北赤纬女巽在南两纬异向宜以乙数与黄纬正相加成次率【以同黄纬正巽栁之牛斗加同乙数戊壬之未牛成未斗】乙数黄纬正相加而黄纬在北其赤经必在南六宫为锐角法为甲数戊酉与未斗若戊乙与未乙亦即若危乙与女乙
一 甲数 戊酉 以女乙查余表得度二 【乙数加黄纬正】 未斗 秋分后减冬至后加皆与三 赤道半径 危乙 三象限相加减命为其星四 甲角余 女乙 距春分赤道经度
又如星在箕用心甲箕三角形有心甲边【二极距】有箕甲边【距北极度其余箕艮赤纬在北】有箕心边【距黄极度为过弧其黄纬翼箕在南】求对箕心弧之甲角
甲数乙数同上
惟黄纬翼箕在南赤纬箕艮在北两纬异向宜以乙数
与黄纬正相加成次率【以黄纬正箕张相
同之牛斗加乙数辰巳相同之牛未成斗未】
乙数与黄纬相加而黄纬在南其
赤经必在北六宫为钝角法为甲数
酉戊与斗未若戊乙与未乙亦即若寅乙与艮乙一 甲数 戊酉 以艮乙查余表得度春二 【乙数加黄纬正】 斗未 分后减夏至后加皆加减三 赤道半径 寅乙 象限命为其星距春分赤四 甲角余 艮乙 赤道经度
求赤道经度约法
用三边求角【两极距为一边距北极为一边此二边为角两旁之弧距黄极为一边此为对角之弧】以求到钝角赤道经度在北六宫锐角赤道经度在南六宫
法为甲数与次率若赤道半径与所求角之余其枢纽在次率也
凡黄纬南北与赤纬同向者并以乙数与黄纬相减而成次率减有二法
凡黄纬南北与赤纬异向者并以乙数与黄纬相加而成次率
加惟一法
厯算全书卷十
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