- 卷三十八
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钦定四库全书
厯算全书巻三十八
宣城梅文鼎撰
笔算巻五
开平方法
测量句股全恃开方开方有平有立而平之用博以其有实无法故别为一术以佐乘除之所穷
平方者面羃也其形正方故亦为自乘之积开平方者以自乘之积求正方之邉故西法谓之测面其邉谓之方根法先列实 依除法作两直线以所用方积列于右直线之右自上而下至单位止无单作○
次作防定位 自单位作一防起毎隔一位防之有一防则商一位【如有二防则商数有十有三防则商数有百】
次定初商 皆自原实最上一防截定为初商之实【如防在首位即以一位为初商实防在次位即合两位为初商实】以自乘数约而商之皆以防处为本位防上一位为进位【本位者单数也如一商一四商二九商三其自乘皆本位不论百与万以上皆作单数用进位者十数也如一六商四二五商五以至八一商九其自乘皆有进位不论千与万以上上皆作十数用】
又法 以初商实入表皆视初商实有与表同数或稍大于表数者用之以命初商【如一商一四商二此与表数相同也如二三亦商一五六七八皆商二此比表数稍大也若至九则商三又为相同之数矣十至十五皆商三皆比表数稍大至十六商四又为相同之数他皆仿此】初商表【凡初商三以下减积在本位四以上减积合两位此表明之】
用表防法【但视初商实不满表上自乘积者退一格即商数如不满○四即商一不满○九即商二他仿此】既得商数即书于左直线之右皆对初防之进位书之【凡商得一二三四书于防之上一位】五以上又进一位【凡商得五六七八九书于防之上两位】次减实 以初商数自乘书于左直线之左皆以本位对初防【如初商一二三自乘一四九皆本位即对初防书之如初商四五六七八九其自乘皆有进位则以下一字对初防】就以此命为减数以对减右直线所列方积如减积不尽则有次商次商之法 倍初商得数为次商亷法对原实位书于右直线之左【视实冇二防则初商是十有三防初商是百四防初商是千各取倍数对原列方积千百十零之位书之倍而言十者亦进位对之】截原实第二防为次商之实【次商减积至此防止】以廉法约实为次商数【并依除法约之】挨书于初商之下即用次商数为隅法亦书于廉法之下为次商廉隅共法【省曰次商法】以与次商数相乘书其数于左直线之左【皆以法首位所乘之进位对次商数书之若言如之数亦以○位对之法有几位徧乘而挨书之 至次防止 又法先以法尾位隅法乘次商数以本位对次防书之进位上一字书之依乘法例自下而上法有几位皆徧乘而迭进书之至次商数止亦同】命为次商减积数以对减右直线余积而定次商【皆减积至次防止】如减数大于余积则改次商【亦改隅法】如上乘减及减而止次商减积不尽则有三商
三商之法 合初商次商数倍之为廉法【简法只以隅法加倍増入次商法内即三商廉法】截原实第三防为三商之实【三商减积至三防而止】余并同次商如减积不尽则有四商
四商以上并同三商法
审○位之法 若次商廉法大于苐二防以上余积或数适相同是商得○位也【凡商得一数者其减积必与廉法同而多一数以为隅故仅同者无隅积也即不能商一数而成○位】则书○于初商之下以当次商亦增○于亷法之下为三商亷法三商以上有○并同【若应商几位而于初商或次商即已减积至尽是末几位皆商得○也俱补作○】命分之法 若已商得单数而仍有余积当以法命之【以商得方根倍之加隅一为分母不尽之数为分子命为几分之几】虽未商得单数而余积甚少不能成单一数亦以法命之【前审○位云亷法大于余积者但取第二防以上相较不论千百十零其所谓不能商一数者或是一千或是一百不拘定是单一也故商○之后仍有所商与此不同】
还原法以商得方根自之有不尽者以不尽之数加入之即得原实又简法作直线于左方以应减之积依并法并之必合原实有不尽数亦加入之并同除法还原
初商本位式【凡初商一二三者减积言如在本位 初商一二三四者书商数于防之上一位然以书商数之位言之亦本位也两本位法此一式中皆可明之】
假如有方田积二百五十六步问每面方若干
答曰每面方十六步
列实【作两直线列方积于右直线之右】作防定位【自单位起毎隔一位作一防共两防宜商两次 初商是十】
初商【防在实首位即以实首位○二为初商实以自乘数约之得一为初商初商是一宜对防上一位书于左直线之右有两防初商是一十自乘一百为减数书左线之左遥对右行初防○二百书之就以对减初商实于二百内减一百仍余余一百改书之初商减积未尽有次商】
次商【倍初商一十作二十对原列方积十步位书于右线之左为亷法 以第二防余实一五六为次商实用亷法约实可商七步因无隅积只约六步为次商以书于初商之下即用六步为隅法以书于亷法之下合亷隅共二十六步为次商法以乘次商六步得亷积一百二十步隅积三十六步皆对次商位书起每挨一位书之至次防止共得次商减数一百五十六以对减余实恰尽】共开得平方根一十六步合问
甲乙丙丁四形合为正方形【四面皆一十六步】甲分形正方【四而皆十步积一百步即初商积】丙丁二分形皆长方【广六步长十步积六十步两形共积
一百二十步即次商廉积】
乙小分形亦正方【面皆六步积三十六步即次商隅积】自乘还原法置方一十六步为实即以
十六步为法乘之得二百五十六步合
原数
初商进位式【凡初商四五六七八九减积言十在进位初商五六七八九书商数于防之上两位凡书商数以防上一位为本位则此其进位也两进位法此一式中皆有之】
假如方积三十五万八千八百零一尺问方若干答曰方五百九十九步
列位【同前】
作防定位【有三防宜商三次初商是百】
初商【防在实次位即合两位三五为初商实入表表中有小于三五者是二五其方根五即以五为初商数对实初防上两位书左直线之右又即以表中自乘数二五遥对实三五书于左直线之左就以对减初商实余一○改书之以待次商】
次商【倍初商五百作一千○百对实千百位书于右直线之左为亷法 以第二防上余实一○八八为次商实用亷法约之得九为次商续书于初商之下即以次商九为隅法书亷法之下合亷隅共一○九为次商法以乘次商九得亷积九隅积八一对次商位书起至次防止共得减数九万八千一百以减次商实余一○七改书之以待三商】三商【以次商隅法九十倍作一百八十于次商法一千之下抹去○九改书一八共一一入为亷法 以第三防上余积一○七○一为三商实用亷法约之得九为三商续书于次商下即以三商九为隅法书于亷法之下合亷隅共一一八九为三商法以乘三商九步得亷积一万○六百二十隅积八十一对三商位书起至第三防止共得减数一万○七百○一以对减三商实恰尽】凡开得方根五百九十九尺
初商甲【方五百尺积二十五万尺】次商【丁戊】二亷【各长五百尺濶九十尺共积九万尺】隅乙【方九十尺积八千一百尺】
三商【已庚】二亷【各长五百九十尺濶九尺共积一万○六
百二十尺】隅丙【方九尺积八十一尺】七形合成正方共积【三十五万八千八百○一○】
商○位式
假如方积八十二万六千二百八十一尺问方若干答曰九百○九尺
列位
作防定位【并同前条】
初商【防在次位合两位八二为初商实表入表得八一小于八二其方根九即为初商在五以上对初防上两位书之亦以表数八一对实八二书于左线之左以减初商实余○一改书之以待次商】
次商【倍初商九百作一千八百对原实位书之为亷法以第三防上余实○一六二为次商实以亷法约之法大实小不能商一数是商得○位也纪○于初商之下即于实首位销去一○余俟三商】
三商【因次商是○增○于廉法之下共一八○为亷法以第三防上余实一六二八一为三商实用亷法约实得九尺为三商书于次商○之下即以九为隅法书于亷法之下共亷隅法一八○九以乘三商九得亷积一万六千二百隅积八十一减三商实恰尽】凡开得方根九百○九尺
计开
初商方九百尺 积八十一万尺
续商亷【各濶九尺长九百尺】共积【一万六千二百尺】 隅方九尺积【八十一尺】通共八十二万六千二百八十一尺
假如方积二十五亿○七百○○万四千九百尺问方若干答曰五万○七十尺
列位【原积尾位是百补作两○列之】作定位【有五防当商五次 初商是万】
初商【以实首两位二五为初商实入表得五为初商书于防上两位次以自乘数对实列之相减尽】次商【倍初商五万尺得一十○万为亷法对原实位书之以第二防上余实○○○七为次商实实有三○无可商是次商○也书○于初商五之下亦于实首销去一○以待三商】
三商【因次商○增○于亷法下得一○○为亷法 以第三防上余实○○七○○为三商实实仍有两○位是三商亦○也又书○于次商○之下于实首复销去一○以待四商】
四商【因三商亦○又增○于亷法之下得一○○○为亷法以第四防上○七○○四九为四商实用亷法约之得七十尺书于三商○之下即以七为隅法增于亷法下共亷隅法一○○○七以乘四商七得亷积七百万隅积四千九百以对减四商实恰尽】
五商【五防宜有五商而四商已减实尽无可商作○于四商】
凡开得方根五万○○七十○尺
命分式
假如方积五百七十六万四千八百尺问方根若干答曰二千四百尺【又四千八百○一分尺之四千八百】
列位【实尽于百位如前法补作两圏列之】作防定位【有四防宜商四次初商是千】
初商【以实首○五为初商实入表得二为初商以自乘数○四减实○五改书余一以待次商】次商【倍初商二千得四千为亷法 以第二防上余实一七六为次商实用廉法约之得四为次商即以为隅法书廉法下共亷隅法四四以乘次商四得亷积一百六十万隅积一十六万共减积一百七十六万次商实减尽】
三商【倍次商隅法四作八增入次商法共四八为三商亷法以第三防上余实○○四八为三商实有两○无可商作○于三商位消去实首一○以待四商】
四商【三商○亦增○于亷法下共四八○为亷法以第四防上余实○四八○○为四商实仅与亷法相同是无隅积也不能商一数作○于四商位其不尽之数以法命之法以亷法四千八百○加隅一共四千八百○一为命分之母以不尽之数四千八百为分子命为四千八百○一分尺之四千八百即一尺弱也】
共开得平方二千四百尺又四千八百○一之四千八百
此虽未开至单尺之位而余实甚少不能成一单尺故即以法命之若余实是四千八百○一尺则商得平方二千四百○一尺矣今止四千八百尺是少一尺故不能成一单尺也
开方分秒【凡开方欲知分秒法于余实下毎増两○位则多开一位为分秒之数 平方之积尺有百寸寸有百分皆以百为母故增两○】
假如有平方积二十四尺平方开之得方四尺不尽八尺问分秒若干 答曰方四尺零八寸九分八厘九毫有竒
如常列位作防防在次位即以
二四两位合商得方四尺减其
自乘一十六尺余八尺用命分
法以商四尺倍作八尺又加隅
一得九为命分母不尽为分子
命为方四尺又九分尺之八
今欲知其寸【九分尺之八者是以尺作九分而今有其八言毎方四尺之外仍此畸零是其中有寸】法于余实下加两○化八尺为八百寸【毎尺纵横十寸故其积百寸】用为次商实以初商四尺倍之得八尺亦化八十寸【商数是毎邉之数故尺只十寸】对余实十寸位书之【即第一○位】为亷法用廉法约实可商九寸因恐无隅积只商八寸书于初商四尺之下亦即以次商八寸为隅法书于廉法八十寸之下共亷隅八十八寸以乘次商八寸得亷积六百四十寸隅积六十四寸共亷隅积七百○四寸自次商位书起至第二○位止以对减余实仍余九十六寸命为竒数
凡商得毎方四尺八寸有奇
再求其分
法于实下又加两○以余九十六寸化九千六百分【解见上】为三商实 商数四尺八寸亦化四百八十分倍之为九百六十分移对余实百分十分之位书之为亷法以亷法约实商得九分为三商书次商之下亦即以三商九分为隅法书于亷法九百六十分之下共亷隅九百六十九分以乘三商九分得亷积八千六百四十分隅积八十一分共积八千七百二十一分自三商位书起至第四○位止以对减余实仍余八百七十九分命为竒数
凡商得每方四尺八寸九分有竒
再求其厘
法于余实下又加两○以余八百七十九分化八万七千九百厘为四商实 次倍商数四尺八寸九分作九尺七寸八分化为九千七百八十厘移对余实依千百十之位书之为亷法 用亷法约实得八厘为四商书于三商之下即以四商八为隅法增于亷法末共亷隅法九千七百八十八厘以乘四商八厘得亷积七万八千二百四十厘隅积六十四厘自四商位书起至第六○位止以减余实仍余九千五百九十六厘
凡商得每方四尺八寸九分八厘有竒
再求其毫
如法于余实下又加两○化余实为九十五万九千六百毫为五商实 次倍商数四八九八作九尺七寸九分六厘化为九万七千九百六十毫为亷法移对余实万千百十之位书之用亷法约实得九毫为五商书四商下亦即以五商九为隅法增入亷法下共亷隅九万七千九百六十九毫以乘五商九毫得亷积八十八万一千六百四十毫隅积八十一毫对五商位书起至第八○位止以减余实仍余七万七千八百七十九毫
凡商得方四尺八寸九分八厘九毫又九万七千九百七十九之七万七千八百七十九即竒数也
右单数下已开四位【尺为单位析为寸分厘毫凡四位】其不尽者是不满一毫之数于单数为十万分之一【如欲再求忽微亦如上法】
开方纵【纵者长方形也以方为濶加纵数为长其法与方无异但须以商得数乘纵数为纵积并入方积以减原积不及减者改商之其次商亦倍初商加纵为亷法但倍方而不倍纵 三商以上并同】
假如有长田积六百二十四步濶不及长二步问长濶各若干答曰长二十六步濶二十四步
列位【以实列右线之右 以纵二步列右线之左对实步位列之】
如常作防定位
初商【以○六为初商实商得二十步自乘应减方积四百步又以商数乘纵二步得纵积四十步如法列之以减原实仍余一百八十四步】
次商【倍初商二十步作四十步加纵二步共四十二歩为亷法以约余实得商四步即以为隅法合亷隅纵共四十六用乘次商四得亷积一百六十步隅积十六步纵积八步共减积一百八十四步恰尽】命为濶二十四步 加纵二步为长二十六步
合问
以图明之
甲为初商方形【长濶各二十步积四十步】已初商纵形【濶二步 长亦二十步积四十步】戊丙并次商廉【长各二十步 濶四步 积八十步】乙次商隅【方四步 积一十六步】丁次商纵亷【长四步 濶二步 积八步
以上五者合之为一长方形共长二十六步 濶二十四步
积六百二十四步合原数】
若纵数有比例可求者先以比例分其积平方开之得濶因以知长
假如有直田积四百五十步但云长多濶一倍问长濶若干
答曰濶十五步 长三十步
法平分其积得二百二十五步平方开之得濶十五步
置濶十五步倍之得长三十步合问
假如有长田积二百五十二步但云长比濶多四分之三问长若干
答曰 濶一十二步长二十一步
法以多三分加分母四共七为法以分母四乘积为实法除实得一百四十四步开方得濶一十二步置濶一十二步七因四除之得二十一步为长【长比濶多九步于十二步为四分之三】
开立方法
平方者方田之属也但取面羃之积立方者方仓之属也必求其内容之积故平方曰面立方曰体有面而后有体有线而后有面故皆以线为根
假如长二尺者线数也线有长短而无广狭若以此线横展之长亦二尺濶亦二尺则其积四尺为面面者平方形也面有濶狭而无厚薄又以此面层累而厚之长濶皆二尺高亦二尺则其积八尺为体体者立方形也立方有虚有实如筑方台则实凿方池作方窖则虚然其立方之积数一也
法先立位【同平方】 作防【自单位起每隔二位防之以最上一防为初商实】 定位【视有若干防则商几位如有二防则商数有十有五防则商数有百并同平方】
初商法 以自乘再乘数约而商之【如一商一八商二二七商三之类】书商数于左线之右【凡商得一数者书于防上一位商得二三四五者书于防上两位商得六七八九者书于防上三位】即以自乘再乘数书于左线之左以对减初商实【初商减积至初防止】
次商法 以初商自乘而三之为平亷法【亦曰方法】 以初商三之为长亷法【亦曰亷法】皆对原实千百位书之 截第二防上余实为次商实【次商减积至次防止】以平亷法约实得次商【列初商下】即以次商为隅法列长亷次【亦按千百位列之】乃以次商乘平亷法为平亷积又以次商自乘以乘长亷及隅法为长亷小隅积俱挨书之以减余积不及减者改商
三商法 以余实另列之 合初商次商自乘而三之为平亷法 合初商次商三之为长亷法 截第三防上余实为三商实【三商减积至此防止】 亦即以三商为隅法【余并同前】
四商以上并同三商
命分法 合平亷长亷法再加隅一为命分母不尽之数为命分子【并同平方】
还原法 置商数自乘得数再以商数乘之即合原实【有不尽者以不尽之数加入之】
初商表【用法与平方表同】
假如立方积五千八百三十二尺问方若干
答曰方一十八尺
列实
作防定位【有两防初商是十】
初商【以五千为初商实约商一十自乘再乘得一千为应减积减原实余四千】
次商【以初商自乘而三之得三百为平亷法 又以初商三之得三十为长亷法 以平亷法约第二防上余实得八尺为次商即以为隅法并如法列之乃以次商乘平亷法得二千四百为平亷积又以次商自乘得六十四以乘长亷及隅法得长廉一千九百二十隅积五百一十二共减积四千八百三十二恰尽】
以图明之
甲为初商方形【长濶皆十尺积一千尺】乙为次商平亷凡三以辅于
方之三面【长濶皆十尺厚八尺积八百尺共积
二千四百尺】
丙为次商长亷亦三以辅三
平亷之隙【长十尺濶与厚皆八尺积六百四十
尺共积一千九百二十尺】
丁为次商隅如小立方以补三长亷之隙【长濶高皆八尺积五百一十二尺】
假如立方积二千二百五十九亿七千七百八十一万一千五百七十尺问方根若干答曰方六千零九十尺【又一亿一千一百二十八万二千五百七十一之一亿一千一百二十八万二千五百七十】
列实【实尾无单位补作○】作防定位【有四防初
商是】
千
初商【合实三位约之商六千对初防上三位列之以六千自乘再乘得减积二千一百六十亿其余积改书以待次商】
次商【日乘初商而三之得一亿○八百万为平亷法以初商三之得一万八千为长亷法各对原实位列之 以第二防上余实为次商实实首有两○无可商是次商○也作○于初商之下即于实首消去两○余俟三商】
三商【次商○即以次商法为三商法 以第三防上余实为三商实以平亷法约之商九十尺即以为隅法对实十位列之乃以九十乘平亷法得平亷积九十七亿二千万又以九十自乘得八千一百以乘长亷及隅法得长亷积一亿四千五百八十万隅积七十二万九千共减积九十八亿六千六百五十二万九千】
四商【以第四防上余实另列之 合三次商数六○九自乘而三之得一亿一千一百二十六万四千三百为平亷
法 又以六○九三之得一万八千二百
七十为长亷法 以法约实仅与两亷法
之数相同无隅积不能成一单数以法命
之合平廉长亷数加隅一为命分母余实
为命分子】
命为立方六千○九十尺又【一亿一千一百二十八万二千五百七十一尺之一亿一千一百二十八万二千五百七十】
自乘 再乘
厯算全书卷三十八
<子部,天文算法类,推步之属,历算全书>
比例规用法假如原序
康熙癸未季弟尔素有比例规用法假如之作又五年丁亥重加挍録示予属为序序曰形而上者不可得而数有数可数即有象可见故算法量法理本相通而尺可为算器也厯书中有书一卷耑明尺算谓之比例规觧比例云者谓以尺中原有之两数求今所问之两数以例相比如古者异乗同除及西人三率之法而有尺以着其象则不烦言説乃作者之意也规云者谓以铜铁为规器两髀翕张用其末鋭分指两尺上同数以得横距而命得数则用尺之法也规本画圆之器于尺为借用故仍其名曰规本觧有作法用法惜无设例罕能用者携李陈献可荩谟补作例祗平分一线而已龙舒方位白中通作数度衍以横尺取数而不用规亦惟平分一线夫平分用止乘除聊足以明异乗同除之理而尺算之善不尽于是若乃平方立方分圆轻重诸术其求法多不以异乗同除为用而数变为线爰生比例即尽归于异乗同除此其所长也又规端取数毫牦可辨而防移进退简快灵妙横距虽无数而取诸本尺其则不逺固胜横尺矣吾弟此书仍其用规本法自平分以下十线一一为之用例以明之原书谬误稍为刋正然后其书可得而用为功于度数之学不小也忆嵗乙夘余始购得厯书抄本于吴门姚氏偶缺是觧至戊午秋介亡友黄俞邰太史虞稷借到皖江刘潜柱先生本抄补之葢逾时而后能通其条贯以是正其讹阙又次年己未始为山隂友人何奕美作尺亦稍以己意増损推广之而未暇为立假如今得尔素是书可以无作矣勿庵兄文鼎序
【方尔素撰此书时安溪相国以冢宰开府上谷公子世得钟伦鋭意厯算之学余兄弟及儿以燕下榻芝轩与诸同学晨夕问难甚相得也无何尔素挈儿燕南归相国入参密勿而世得亡儿相继化去余亦大病滨死然犹能偷视息至今日为尔素序此书不可谓非不幸中幸也忆尔素六十时余有句云如稼观登塲如行将百里何以収桑榆无为所生耻今当相与念兹弗替尔勿庵又识】
凡例
按西士罗雅谷自序谓译书草创润色之増补之必有其时今之释例不嫌小有同异所以相成当亦作书者之所欲得也
比例规觧原列十线为十种比例之法今仍之比例既有十种可各为一尺今总归一尺者便携也一尺中列十线则一尺而有十尺之用恐其不清故各线之端书某线以别之
各线并从心起数惟立方线初防最大割线亦然又五金线之用近尺末故俱不到心以便他线之书字然其实并从心起算用者详之【尺心即尺端也两尺端聫于枢心成一防故从兹起算】
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