- 卷四十一
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钦定四库全书
厯算全书卷四十一
宣城梅文鼎撰
方程论卷二
极数
吾论方程至和较之杂之变尽矣虽然不知带分叠脚重审之法无以穷其致故极数次之
极数有三一带分二叠脚三重审皆不离乎和较之四术带分方程例
法曰视原问中有云防分之防者则以分母通其全数而列之或云有物防数又防分之防者以分母通其全数而纳其子如法列位遍乗减并以求一法一实既得法以除实而得者即所求物之一分也以所得一分之数分母乗之则为物之全数矣
或云防分之防又防分之防者以两分母相乗为全数而列之又以两分母互乗其子为所用之分而列之所用之分同在一行者并而列之分用于两行者不并也并之而所用之分反大于全数者以全数除之命为几全数又几分之几其入算乗除仍用所并之分得数后则只以全数之分乗之为全数【以上两法皆化整为零乗除竟用零分故先得一分之数】
又法
凡较数有以此之全数当彼之防分之防者则通其一行之内皆以分母乗之而后列焉则其所得即为全数而非其一分也【如云乙得甲三分之二则以分母三乗乙全数得全乙者三乗甲之二分得六分是为全甲者二则以三乙当二甲而列之骤视之如倒列其子母其实皆全数耳】若有正负之数亦以分母乗而列之【亦全数非零分也是为以零变整与化整为零之法不同故径得其全数所用乗除皆整数非分故也】得即为整【其所用分母只在本一行中如一物有两分母又分用于各行则各以其行中分母为用】凡和数中有一位带分而余只全数者亦可以分母通乗而列之其所得亦为全数而非分【如甲三乙二又三之一共十六则以分母三乗甲得九乗一二得六乗乙之一得三亦整一也并得整七乗共十六得四十八是为甲九乙七共四十八变零为整径以整数乗除所得即为整数】
又法
凡带分之法或化整为零或变零为整取其画一也此外又有杂用零整之法亦所当知【如行中有几位或原带有零分者以化整为零法列之其原未带分者只以整数列之但乗除得数后整列者所得即为整数零分列者所得只为零分之数仍须以分母乗之为全数】
又法
视所带之分有可以分母除之而尽者则以所除分秒附于整数而列之则其乗除后得数亦为所求之全数【若分母除其子不能尽者则不用此法】
今有甲字库贮金丁字库贮银各不知总但云取甲四之三加丁五之二则一百一十万若以甲加丁之倍数则四百四十万问各若干
畣曰甲库金四十万 丁库银二百万
法以分子甲之三分丁之二分列右
以分母四通甲整一得四分以分母五通丁整二得十分列左
依和数法互乗对减余丁之分二十二为法余八百八十万为实
法除实得四十万为丁之一分以丁之分母五乗丁之一分得二百万为丁库银数 乃以丁库数倍之得四百万减四百四十万余四十万为甲库金数此化整从零法也【原列零分故得亦零分之数】
又法以丁分母五互甲之三得十五以甲分母四互丁之二得八列右乂以两分母【五四】相乗得二十为甲丁共母以乗一甲得二十乗倍丁得四十列左 乃以甲丁共母乗一百一十万得二千二百万列右乗四百四十万得八千八百万列左【分母相乗为母母互乗子只是通分之法妙在以分共母乗其和数而零数皆为整用矣此用法之妙】
上 中 下
依法乗减余丁四百四十为法 八亿八千万为实以法除实得二百万为丁数以丁四十计八千万减八千八百万余八百万以甲二十除之得四十万为甲数此变零为整法也【原列整数故所得即为整数】
又法以甲分母四除之三得七分五秒以丁分母五除之二得四分列之则其余数皆不变
左甲一乗右行皆如原数 右甲○七分五秒乗左行各得四分之三甲各○七分五秒尽减 丁余一一【上一整数下一一分乃十分之一】为法共数减余二百二十万为实 法除实得二百万为丁数 以丁数倍之减共数余四十万即为甲数
此除零附整法也【零分既除为分秒则乗除之际皆以整数为主故所得亦即为整数】
今有甲乙二数不知总但云取乙五之三又取乙四之一以益甲则甲之数倍取甲三之二又取甲七之二以与乙较则乙多数二百四十问甲乙本数各防何畣曰甲本数一千○七十一 乙本数一千二百六十
法以较数带分取之 本二色也却有三位以分母通之仍二位也 先以乙分母【五四】相乗得二十以当乙之全数 又以分母五互乗分子一得五以分母四互乗分子三得十二并之得十七以当乙所益甲之分 是为乙二十分之十七以益甲也
次以甲分母【三七】相乗得二十一以当甲之全数 又以分母三互乗分子二得六以分母七互乗分子二得十四并之共二十以当甲所与乙较之分 是为甲二十一分之二十以与乙较也
于是分正负列位
依较数法乗减 乙余八十分为法 负数无减就以五千○四十为实 法除实得六十三为乙之一分 以乙全分二十乗之得一千二百六十为乙本数 乙本数同减负二百四十余一千○二十即甲与乙较之分也以左行甲之二十分除之得五十一为甲之一分以甲全分二十一乗之得一千○七十一为甲本数
乃细攷之 置乙本数【三】因【五】除之得七百五十六为五之三 又置一本数【四】除之得三百一十五为四之一 并两数共一千○七十一则与甲数同故以此益甲而甲倍也 置甲本数【二】因【三】除之得七百一十四为三之二 又置甲本数【二】因【七】除之得三百○六为七之二 并两数共一千○二十以此较乙则不及二百四十
此只是以乙之分与甲较又以甲之分与乙较也末卷所列诸率则是以乙之分益甲而转与乙所存之分相较又以甲之分益乙而转与甲所存之数相较故自不同合而观之则见
今有寳泉寳源二局铸钱不知总但云取寳源五之四又四之三以益寳泉则寳泉之数倍 若取寳泉三之二以与寳源较则多于寳源四十二贯
畣曰寳泉原数一千九百五十三贯 寳源原数一千二百六十贯
法先以寳源分母【五四】相乗得二十分为全数 又以分母五互乗分子【三】得十五分母【四】互乗分子【四】得十六并之共三十一分为寳源所以益寳泉之分 全数二十分所用以益寳泉者反有三十一分是为以寳源全数又二十分之十一以益寳泉也 其寳泉只一分母故不用乗并
乃列位
如法乗减 中位余二分为法 下位余一百二十六贯为实
法除实得六十三贯为寳源局二十分之一分 以分母二十乗之得一千二百六十贯为寳源数 以寳源数异加正四十二贯共一千三百○二贯即寳泉局三分之二也于是以分子之二除以分母三乗得一千九百五十三贯为宝泉数【置寳源数四因五除之得一千○八为五分之四又置宝源数三因四除之得九百四十五为四之三并两数亦恰得一千九百五十三贯如寳泉数以加寳泉是为宝泉者倍也】
论曰乗得数后宝泉分数同惟右行之寳源多于左行者二分而遂能与寳泉等若左行之寳源少此二分而其少于寳泉者遂一百二十六贯然则此一百二十六贯者正是寳源之二分矣【知分数即知全数知寳源即知寳泉】此二则皆化整为零而分母不同也
今有货泉刀贝四种之币各不知数但云泉八之一兼刀布七之二则如货数也 若刀布七之三兼贝六之四则其数如泉也若贝六之五又外加数八千九百七十则如刀布也 若货数自加九之一则其数如贝也问本数各防何
畣曰货五千一百三十 泉九千六百八十
刀布一万三千七百二十 贝五千七百
法以各分母通其原数然后以正负列之 货分母九泉分母八 刀布分母七 贝分母六 【丁行货合数一】
【又九分之一共十是为九分之十凡全数帯分者准此】
先以甲行货正九分为法徧乗丁行得数 又以丁行货负十分为法徧乗甲行得数【因首位异名故变一行以相从而以丁从甲】乃以甲丁两行得数相减 货同减尽 甲行泉负十分刀布负二十分皆无对不减 丁行贝负五十四分亦无对不减 下适足无乗无减仍为适足
乃以泉刀同名在甲行者为一类 贝同名在丁行者为一类分正负重列而求之【丁行之负甲行之正也】
因余行已无货位当以泉为乗法寻乙行中有泉径用与减余相对
如法徧乗得数乃相减并 泉同减尽 刀布异并得【正】一百九十分 贝同减余负三百九十二分以减余为主命其正负而重列之
因余行又已无泉当以刀布为乗法寻丙行有刀布径用与减余相对
上 中 下
如法徧乗得数 刀布同减尽贝同减余一千七百九十四分为法正一百七十万四千三百无减就为实 法除实得九百五十为负之一分 以丙行贝之五分该四千七百五十异加正八千九百七十共一万三千七百二十为刀布原数 以刀布分母七除原数得一千九百六十为刀布之一分 以刀布之三分该五千八百八十贝之四分该三千八百并之得九千六百八十为泉数【用乙行也】以泉分母八除泉数得一千二百一十为泉之一分 以泉之一分加刀布之二分三千九百二十共五千一百三十为货数【用甲行也】以货分母九除货数得五百七十为货之一分以货数加一分共五千七百为贝数【用丁行也】
甲丁两行乗减论曰既互乗则甲丁之货等而甲行之泉若刀布及丁行之贝又各与其首位之货等则甲之泉若刀布必与丁之贝等也故对减去货而径以甲之泉若刀布与丁之贝分正负而命之适足也此即西学中比例之理然方程中自有之且简快如此
乙行减并论曰左右两行之正负皆适足若于右正数内减左正右负数内减左负其所余者亦必适足也今右正内既减去同名之泉右负内又减去同名之贝而左负内有刀布不与右同名不能相减故反用以加加则正数多正数多则负数少而其数亦必适足矣
又论曰隔行之异名乃同名也今两行之正与负既皆适足若以左之正【泉】益右之负【贝】而共为负以左之负【刀布贝】益右之正【泉刀布】而共为正则亦适足也于是以两者【右泉刀布左刀布贝为一类左泉右贝为一类】对减其相同之物【泉各减八十分贝各减四十分】则其所余之物必亦适足也【左右刀布为正右贝减余为负】
又论曰右行刀布正数也正多于负之数也左行刀布负数也正少于负之数也合此二数则是右正之多于左正者此两行之刀布也然刀布之数右正虽多于左正而贝之数右负亦多于左负故两行皆适足也然则右正之所多与右负之所多亦必相当适足矣
丙行乗减论曰刀布本同惟右之贝多于左右之贝多则左之贝少左之贝少则刀布多矣然则左之刀布布独有盈数者正是此相差之贝也
此亦化整为零而又有整帯零【四色有空之例也】
问品官月俸六品为五品八之五七品为六品四之三八品为七品十五之十三九品为七品十五之十一倍九品加八品六品七品各一则如五品之倍数而多三石各若干
法以分母各通其原数而正负列之 五品通为八六品通为四 七品通为十五 八品九品以全数原无分母故也【五品倍则为十六】
先以甲行五品十六分遍乗乙行五品六品得数【余空位无乗】 次以乙行五品五分遍乗甲行得数 乃对减 五品各八十分同名对减尽 六品同名对减余四十四分乙行之负物也为乙类
七品八品九品并禄米较数皆无对不减皆甲行之负物负数也为一类 分正负列之与丙行相对
如法以减余六品分遍乗丙行六品七品分得数【余空无乗】
又以丙行六品分遍乗减余得数 乃以对减 六品得数各一百三十二分同名减尽 七品同名减余四百三十五分丙行之负物也自为一类 其余三位无减皆减余之负物负数也共为一类 分正负列之与丁行相对
又因丁戊两行皆有七品是多一算也乃更置之以八品列首位
上 中 下
如法以丁行八品负一遍乗减余皆如故【首行同名故两行之正负亦皆不变】又以减余八品负十五分遍乗丁行八品七品得数 乃对减 八品同减尽 七品同减余二百四十分右行之正物也为一类 九品三十无减禄米四十五石亦无减皆右行之负物负数也同
名共为一类 乃分正负重列之与戊行相对
如法以左右七品分互遍乗得数【首行同名故两行之正负皆不变】七品同减尽 九品同减余九十为法 禄米四
百九十五石无减就为实 法除实得五石五斗为九品月俸 置九品俸以相当之七品之十一分除之得五斗为七品月俸十五分之一而以与八品相当之十三乗之得六石五斗为八品月俸 又以七品之分母十五乗其一分得七石五斗为七品月俸又置七品俸以相当之六品之三分除之得二石
五斗为六品四之一而以其分母四乗之得十石为六品月俸 置六品俸以相当之五品之五分除之得二石为五品八之一而以其分母八乗之得十六石为五品月俸
计开 五品毎月十六石 六品毎月十石 七品毎月七石五斗 八品毎月六石五斗 九品毎月五石五斗
论曰此所列有二种 六品通为四分者问原云四之三是可以四分者也七品通为十五分者原云十五之十三之十一是可以十五分者也五品通为十六分者原云八之五是可以八分者也又倍之而十六则为八分者二矣此皆以分立算化整从零之法也八品则只是原数九品亦是原数而又有倍数然
只是原数之倍非如五品倍其分也此两者皆不用分只用整 合而言之乃零整杂用之法也 零与整杂似不伦矣然乗除得数则同 但用分者所得数亦为一分之数故必以分母乗之乃合原数而其原不用分者得即原数更不湏乗能知此理则用分无误矣
甲乙两行论曰两行正数内五品本同而甲有负多于正之较乙则无有是此较数乃甲负多于乙负之较也于是以两负相减以去其同之分而观其所不同之处则甲有诸品而乙惟六品之减余然则甲负之独多此较者乃甲诸品多于乙六品减余之较矣
丙行乗减论曰两得数对减而六品减尽是其数同也其与六品为正负者又减去相同之七品分而左仍余七品之余分右仍余诸品之全分则是两行诸数皆同而惟此二者有差也然则右之独有盈于六品之较者正此二者之差数也
丁行论曰两行对减而于负数内减去相同之八品惟余九品于正数内减去相同之七品分惟余七品之余分然则右行负数独有盈于正数者正是右行九品与其七品余分之较也何也与之对减者乃左行适足之数故于较数无闗也【重列三次皆然】
戊行论曰右行内减去左行适足数惟余九品数则其下盈数必所余九品之数也 此条逓减归一其理较明学者翫之
此零整杂列也亦五色方程有空例也有减无并可悟偶加竒减之非
问有物一百七十四以三人分之乙所分如甲七之三仍不足单六丙所分如乙七之三而多二数各几何畣曰甲数一百一十二 乙数四十二 丙数二十【甲数三因七除得四十八多于乙数六乙数三因七除之得十八少于丙数二】
法列位 以甲乙分母七化整为零 丙无分仍用整
【○】 乙之三分【正】 丙一【负】负二【此行无甲数存与减余重列】
此三色有空先以和较杂法用两行甲互遍乗之和数甲全分七乗较行得数【依其正负】以较数甲正三分乗和行得数【从乗法皆命为正】 甲各二十一分同减尽乙异并七十分【正】丙三无减【正】下数同减余四百八十【正】皆同名不分正负以和数重列与第三行较数求之
上 中 下
如法互乗减并 乙同减尽 丙异并七十九为法下数异并一千五百八十为实 法除实得二十
为丙数 丙数同减负二得一十八为乙七之三乃以三分除之得六为乙七之一以分母七乗之得四十二为乙数 乙数异加正六共四十八当甲七之三乃以三分除之得十六为甲七之一以甲分母七乗之得一百一十二为甲数 此亦零整杂用之法也
若依变零从整法则以分子母倒位列之其正负以分母乗之乃与和数列而求之
论曰倒位何也非倒位也分母遍乗则然也以分母七乗子三而皆七之则为三分者七为三分七是为全全数者三矣而其所当者全数也七之则为全数者七矣是乙以全数当甲七之三者七乗之则七乙当三甲也故如倒位然皆全数也非分也故非倒位正负亦分母乗何也乙一当甲七之三而少六则七乙当三甲而共少七个六为四十二也丙一当乙七之三而多二则七丙当三乙而共多七个二为十四也
如法以前两行遍乗减并又重列之与第三行遍乗减并 乙减尽丙异并七十九为法 下数异并一千五百八十为实 法除实得二十为丙数
七因丙数得一百四十同减负十四余一百二十六以乙三除之得四十二为乙数
七因乙数得二百九十四异加正四十二共三百三十六以甲三除之得一百一十二为甲数
此变零从整而分母同者也亦有分母不同但取其本一行中所用之分母遍乗本行以为用不必齐同如后条
问有数不知总以三人分之亦不知各所分之数但云甲如乙丙共数二之一乙如甲丙三之二丙如甲乙四之三而不足四又四分之一总数分数各几何畣曰总数十五 甲五 乙六 丙四 乙丙共十其二之一则五如甲 甲丙共九其三之二则六如乙 甲乙共十一其四之三则八义四之一以丙相较不足四又四之一也
法曰此各行分母不同【如甲有三之二又有四之三乙有二之一又有四之三丙有二之一又有三之二皆有两分母】宜用变零从整之法以不同同之【用分则不同变而用整则不同而同矣】以分母各遍乗其本行而列之右行分母二 中行三左行四
如法互乗减并以三色较数变为二色而重列之【虽减并不同皆仍为较数不变宜翫】
如法互乗 乙同减尽 丙同减余负三十四为法正一百三十六无减就为实 法除实得四为丙
数 六乗丙数得二十四以相当适足之四乙除之得六为乙数 以原列右行乙丙各一共十以相当适足之甲二除之得五为甲数
论曰甲为乙丙二之一则是二甲当一乙一丙也皆二因之也 乙为甲丙三之二则是三乙当二甲二丙也皆三因之也 丙为甲乙四之三而不足四又四之一则是四丙以当三甲三乙而不足十七也皆四因之也【甲乙丙各有两分母若化整为零当以分母相乗为原数母互乗子为所用之分殊多事矣】二因甲得二二因乙丙二之一得乙丙各一
三因乙得三三因甲丙三之二得甲丙各二
四因丙得四四因甲乙四之三得甲乙各三四因正四又四之一得正十七【以一丙与甲乙四之三较不足四又四之一若以四丙与四个甲乙四之三较亦不足四个四又四个四之一是为十七】
问有数九百六十以四人差等分之乙与甲如二与八丙与乙如三与七丁与丙如四与六各几何
畣曰甲六百七十二 乙一百六十八 丙七十二丁四十八
法以共数命为和相当数命为较依和较襍法列之乙二而甲八是乙得甲八之二故八乙可当二甲也丙三而乙七是丙得乙七之三故七丙可当三乙也丁四而丙六是丁得丙六之四故六丁可当四丙也【推此知二八三七四六各种差分皆可以方程御之】
首次两行如法互乗减并讫重列之取出第三行与之为耦
如法减并讫又重列之【两次减余皆和数可见立负之非】
又取末行与之为耦而列之
如法乗 丙减尽 丁并得四百八十为法 正二万三千○四十无减就为实 法除实得四十八为丁数 六因丁数得二百八十八以相当之四丙除之得七十二为丙数 七因丙数得五百○四以相当之三乙除之得一百六十八为乙数 八因乙数得一千三百四十四以相当之二甲除之得六百七十二为甲数
试以甲并乙共八百四十以八因之得甲数若二因亦得乙数是乙数甲二八差分也 试以丙并乙共二百四十以七因之得乙数若三因亦得丙数是丙与乙三七差分也 并丙丁共一百二十以六因之得丙数若四因亦得丁数是丁与丙四六差分也
又试以八除甲数得八十四以二除乙数亦得八十四若以八十四除甲数必得八以八十四除乙数必得二也 又试以七除乙数以三除丙数皆得二十四若以二十四除乙数必得七除丙数必得三也 以六除丙数以四除丁数皆得十二若以十二除丙数必得六除丁数必得四也
问有数七百四十一以四人分之乙于甲为三之二丙于乙为五之三丁于丙为七之五各防何
畣曰甲三百一十五 乙二百一十 丙一百二十六 丁九十
法曰乙得甲三之二是三乙当二甲也丙得乙五之三是五丙当三乙也丁得丙七之五是七丁当五丙也故皆命以适足而列之
先以孟仲两行如法互乗减并讫列其余数取出叔行相对
如法减并又列其余与季行相较
如法减并 丁二百四十七为法 正二万二千二百三十为实 法除实得九十为丁数
七因丁数五除之得一百二十六为丙数 五因丙数三除之得二百一十为乙数 三因乙数二除之得三百一十五为甲数
问有数七百四十一以四人分之乙如甲三之二丙如甲五之二丁如甲七之二各几何
因前问中有疉数故作此问以互明之
乙三当甲二而丙五又当乙三是丙五亦当甲二也丙五当甲二而丁七又当丙五是丁七亦当甲二也【又丁七亦当乙三今云两者以甲为主也】
在西法谓之连比例
上 中 下
首行互乗次行如故 次行乗首行皆二之甲减尽乙异并得五【正】丙二【正】丁二【正】正一千四百八十
二皆无减【皆仍为和同名在一行故也】
次行乗三行因两首位同不用乗竟以对减 甲减尽乙三【次行负也】丙五【三行负也】皆无减命为正负适足【同名在两行故为较数】三行末行首位亦同亦径减 甲减尽 乙空 丙五【三行负也】丁七【末行负也】皆亦无减命为正负适足【亦同名在两行】乃以减余重列之如三色有空之法
如法减并得二百四十七为法二万二千二百三十为实 法除实得丁数以次求得甲乙丙数皆如前问之数
问有米三百八十五石五斗二升令二等人户以四六差分出之甲上等二十六户乙下等四十户下户出率则如上户六之四
畣曰上户各七百三斗二升 二十六户共一百九十石○三斗二升 下户各四石八斗八升 四十户共一百九十五石二斗
法以和较列位
如法互乗得四 甲同减尽 乙异并三百一十六户为法 米一千五百四十二石○八升无减就为实 法除实得四石八斗八升为下等戸则例 以下等六户乗其则例得二十九石二斗八升以相当之上等四户除之得七石三斗二升为上等户则例
问有米三百一十七石给与四色人户甲二十户乙三十户丙四十户丁五十户丁每户如丙户七之三丙每户如乙户六之四乙毎户如甲户八之二各几何畣曰甲每户八石四斗 二十户共一百六十八石乙每户二石一斗 三十户共六十三石丙每户一石四斗 四十户共五十六石丁每户六斗 五十户共三十石
法列位
首行甲二十户十倍于次行甲正二但以首行甲退一位作二则齐同矣甲退十为单其下各位皆退十为单即如互遍乗而可以对减矣
乃以减并之余重与第三行列之
又以减并之余重与第四行列之
依法求得六百三十四为法 三百八十石○四斗为实 法除实得六斗为丁户则例 七因丁则得四石二斗丙三除之得一石四斗为丙则 六因丙则四除之得二石一斗为乙则 四因乙则得八石四斗为甲则
【此条有省算法说见后卷】
此上数条皆变零从整法也
有两数相较而为十之八十之七者即非二八三七差分也有二例见末卷
璎珞方程例
璎珞者言其聨缀而垂象璎珞也谓之疉脚
凡算方程皆以多色逓减至一法一实以先知一色之数然此所先求之一色却原带有不同之数则法一而实非一故以一总法而除多实非疉脚之法不可也【亦有以下为法上为实者则实一而法有多名在合问者之所求而定之详刋误条】
今有大江南北两处粮艘载米不同因氷程逺近给耗米亦不等但云南船三只北船两只共运米一千九百七十石外给耗米共六百六十八石又南船一只北船四只共运米一千九百九十石外给耗米五百五十六石问各船正耗米数以便稽核
畣曰北船每只正运米四百石 给耗米一百石共正耗米五百石 每正米一石耗米二斗五升南船每只正运米三百九十石 给耗米一百五十六石 共正耗米五百四十六石
每正米一石给耗米四斗
法各列位
先以左行南船一遍乗右行各得原数
次以右行南船三遍乗左行得数 南船三与右减尽 北船十二减去右二余十只为总法
正运米五千九百七十石减去右一千九百七十石余四千石为运米实
耗米一千六百六十八石减去六百六十八石余一千石为耗米实
以总法除正运米实得四百石为北船每只运数以总法除耗米实得一百石为北船每只耗米数【总计正耗得北船毎只米五百石】
任于左行总运米一千九百九十石内减北船四只该运米一千六百石余三百九十石为南船一只运数【一故不除 或于右行运一千九百七十石内减北船二只运八百石余一千一百七十石以南船三只除之亦得三百九十石】
于左行总耗米五百五十六名内减北船四只该耗四百石余一百五十六石为南船一只运数【或于右行耗六百六十八石内减北船二只耗二百石余四百六十八石以南船三只除之亦得一百五十六石】总计正耗得南船每只米五百四十六石
以北船四百石除其耗米一百石得每石给耗米二斗五升以南船三百九十石除其耗米一百五十六石得每石给耗四斗
此问每船米数故以船为法米为实
若问每米一万石该用几船则以减余船十只用异乗同除以一万乗得十万为总船实 以运米减余四千石为法 法除实得二十五为每运米一万石用北船之数 于是任以右行北船二只亦用异乗同除以一万石乗之二十五船除之得八百石以减共米一千九百七十石余一千一百七十石又用为法以右行原列南船三乗一万石得三万石为实法除实得二十五只又三十九分之二十五为每米一万石用南船之数
若问耗米给过五千石该得几船者则亦用异乘同除以五千石乘减余十只为北船实 以减余耗米一千石为法除实得五十只为每耗米五千石给北船之数 任以右行北船二只五千石乘之五十只除之得二百石以减共耗六百六十八石余四百六十八石又用为法以原列南船三乘五千石为实法除实得三十二只又三十九分之二为每耗米五千石给南船之数
假如有南运艘二只以比北三只则南船运米不及北四百二十石其南船带耗米反多于北一十二石若以南船三当北船五则南船运米不及北八百三十石其耗米亦不及北三十二石问各几何
法以正负列位
上 中 下
如法乗减余北船一只为总法
运米同减余四百石为运米实即为北船每只运数【总法一故不除下同】耗米异并得一百石为耗米实即为北船每只耗数
任以右行北船三乗其运数得一千二百石同减负四百二十石余七百八十石以南船二除之得三百九十石为南船运数
以右行北船三乗其耗数得三百石异加正十二石共三百一十二石以南船二除之得一百五十六石为南船耗数
若问毎米一万石须几船运者则以减余北船一以一万石乘之为船实 以减余四百石为运米法法除实得二十五只为北船每运一万石之数 又以一万石任乗右行北船三以二十五只除之得一千二百石同减负四百二十石余七百八十石又为法以一万石乘南船二为实法除实得二十五只又三十九分船之二十五为南船毎运一万石之数
若问耗米五千石该给几船者则亦以五千石乘减余北船一只为船实 以减余一百石为耗米法法除实得五十只为北船耗米五千石之船数 又以五千石乗右行北船三以五十只除之得三百石异加正十二石共三百一十二石又为法以五千石乗南船二为实实如法而一得三十二只又三十九分船之二为南船耗米五千石之船数
此因耗米与正运不同故也若耗米亦以一万石为问则北船之实皆同
今有墨一百二十七锭研六十六枚给与修史局六十人校书局六十三人又有墨五十八锭研三十二枚给与修史局二十四人校书局四十二人问各防何畣曰史局每人墨一锭又六分之四【六人十锭也】研四分之三【四人共三研】校书局毎人墨七分之三【七人共三锭】研三分之一【三人共一研】
法各列位
如法乗减余校书一千○○八人为总法
墨余四百三十二为墨实
研余三百三十六为研实
以总法除墨实得七分之三为校书局给墨数【七人得墨三锭】 就以七人除右行校书六十三人以墨三锭乘之得二十七锭以减总给一百二十七锭余一百锭以史局六十人除之得一锭又六分之四【六人得四锭并整数为六人十锭】为史局给墨数
又以总法除研实得三分之一为校书局给研数【三人共一】 就以三除校书六十三人得二十一研以减总给研六十六余四十五研以史局六十人除之得四分之三【四人三研】为史局给研数
问修艌船只内有旧船二只新船一只共用桐油二百六十斤麻一百三十斤钉十七斤石灰二百一十斤计工两月有半又旧船一只新船三只共用桐油二百八十斤麻一百四十斤钉十六斤灰二百三十斤工两月有半其新旧船各防何
畣曰每新船一只 用桐油六十斤 麻三十斤钉三斤 灰五十斤 每工一月修两只
每旧船一只 用桐油一百斤 麻五十斤 钉七斤 灰八十斤 每工一月修一只
法各列位
先以左旧船一遍乗右行如故
次以右旧船二遍乗左行得数 乃相减 上位旧船对减尽中位新船减余五为总法
下位油相减余三百斤为新船油实【以总法除之得六十斤为新船油数】麻相减余一百五十斤为新船麻实【以总法除之得三十斤为新船麻数】钉相减余一十五斤为新船钉实【以总法除之得三斤为新船钉数】灰相减余二百五十斤为新船灰实【以总法除之得五十斤为新船灰数】
任以左行新船三只乗其油数得一百八十斤以减总油二百八十斤余一百斤为旧船一只油数
以新船三只乗其麻数得九十斤以减总麻一百四十斤余五十斤为旧船一只麻数
以新船三只乘其钉数得九斤以减总钉一十六斤余七斤为旧船一只钉数
以新船三只乘灰数得一百五十斤以减总灰二百三十斤余八十斤为旧船一只灰数
此为以船求油麻等故以船为法以麻油等为实
乃以减余新船五只为总实
以减余工两月半为法 法除实得二只为每工一月修新船之数就以二只除左行新船三只得一月有半以减总工两月半余一月以除旧船一只如故得每工一月修旧船一只
此以工求船故以工为法船为实与前相反
重审方程例
凡算方程皆以有总数无各数故逓减以求之然有并其总数亦隠者此当用两次求之故曰重审
假如品官禄米不知数但云甲支三品俸四个月又带支四品俸五个月乙支三品俸六个月又带支四品俸五个月亦不知甲乙各得数但云以甲十三分之一益乙则三百五十石若以乙十一分之三益甲亦三百五十石问两品禄米各几何
荅曰三品毎月俸三十五石
四品每月俸二十四石
法曰此当先求出甲乙两家支过禄米再求各品月俸谓之重审先以带分法列位
上 中 下
左甲之一分遍乗右行如故
右甲之十三分遍乗左行得数
甲减尽 乙减余一百四十分为法 余俸四千二百石为实 法除实得三十石为乙之一分 以乙分母十一乗其一分得三百三十石为乙支过米数以乙支过米数减总三百五十石余二十石为甲之一分 以甲分母十三乗其一分得二百六十石为甲支过米数
既得两家支过米数乃重列之以求品俸
如法左右乗减 余四品十月为法 余俸米二百四十石为实 法除实得二十四石为四品每月俸以四品五月计一百二十石减甲支二百六十石
余一百四十石以甲支三品四月除之得三十五石为三品每月俸
假如品官支俸本折兼支不知数但云甲支一品俸四个月又带支二品俸五个月乙支一品俸六个月又带支二品俸十个月亦不知甲乙支过数但云取乙本色三分之一以益甲共五百六十六石若取甲本色三分之二以益乙则八百六十五石 取乙折色五分之二以益甲共四百九十八石若取甲四分之一以益乙则五百七十九石问各几何
畣曰一品月俸八十七石
内实支本色一半四十三石五斗 折色钞一半数同二品月俸六十一石
内实支本色六分三十六石六斗 折钞四分二十四石四斗
法当重审 先求本色依带分法列位
上 中 下
如法乗减 余乙之七分为法 余本色一千四百六十三石为实实如法而一得二百○九石为乙本色之一分以减右行共本色五百六十六石余三百五十七石为甲支过本色数 又以乙分母三乗其一分得六百二十七石为乙支过本色数
计开
甲支过本色三百五十七石【内一品俸四个月二品俸五个月】乙支过本色六百二十七石【内一品俸六个月二品俸十个月】
次求折色 亦依带分列位
如法左右乗减 乙余十八分为法 余折色一千八百一十八石为实 法除实得一百○一石为乙折色之一分以乙分母五乗之得五百○五石为乙支过折色数 以乙之二分乗其一分得二百○二石以减共折色四百九十八石余二百九十六石为甲支过折色数
计开 甲支过折色二百九十六石【内亦一品俸四个月二品
俸五个月】
乙支过折色五百○五石【内亦一品俸六个月二品俸十个月】
既得甲乙两家支过本折然后乃求各品月俸
依叠脚法列其所得本折而重测之
如法遍乗得数 上位一品减尽 中位二品余十个月为总法 下位本色余三百六十六石为本色实
折色余二百四十四石为折色实
乃以总法除本色实得三十六石六斗为二品毎月俸本色数 以乙二品十个月计三百六十六石减乙共本色六百二十七石余二百六十一石以乙一品六个月除之得四十三石五斗为一品月俸本色
又以总法除折色实得二十四石四斗为二品月俸折色 以乙二品十个月计二百四十四石减乙共折色五百○五石余二百六十一石以乙一品六个月除之亦得四十三石五斗为一品月俸折色【其右行亦可互求则先得甲数也】
于是以一品本色折色并之得每月俸八十七石【本折各半支】
以二品本折并之得毎月俸六十一石【四六支本色六分折色四分】
厯算全书卷四十一
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