测圆海镜 四库本

    《测圆海镜》所讨论的问题大都是已知勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问题。勾股形的解法中国古代数学的重要内容之一。

    此外，在中国古代数学的发展中，天元术起着重要的作用。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用以布列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。李冶在《测圆海镜》中系统而概括地总结了天元术，使文词代数开始演变成符号代数。

    所谓天元术，就是设“天元一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项式，经相减后得出一个高次方程式，称为天元开方式，这与现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家，只有到了16世纪以后才完全作到这一点。《测圆海镜》全书170 题，基本上都是（依据《识别杂记》）列出天元式，求出勾股容圆问题的解。

    李冶在40岁时便放弃功名，终生从事数学研究。他反对象数神秘主义，认为数学来自客观的自然界，这些观点反映在他自己写的“《测圆海镜》”序中，这在当时是十分可贵的，也是他在数学上取得重大成就的主要因素之一。 清代阮元认为《测圆海镜》是“中土数学之宝书”，李善兰称赞它是“中华算书实无有胜于此者”。

    《测圆海镜》不仅保留了洞渊九容公式，即9种求直角三角形内切圆直径的方法，而且给出一批新的求圆径公式。卷一的"识别杂记"阐明了圆城图式中各勾股形边长之间的关系以及它们与圆径的关系，共六百余条，每条可看作一个定理（或公式），这部分内容是对中国古代关于勾股容圆问题的总结。后面各卷的习题，都可以在“识别杂记”的基础上以天元术为工具推导出来。李冶总结出一套简明实用的天元术程序，并给出化分式方程为整式方程的方法。他发明了负号和一套先进的小数记法，采用了从零到九的完整数码。除O以外的数码古已有之，是筹式的反映。但筹式中遇O空位，没有符号O。从现存古算书来看，李冶的《测圆海镜》和秦九韶《数书九章》是较早使用O的两本书，它们成书的时间相差不过一年。《测圆海镜》重在列方程，对方程的解法涉及不多。但书中用天元术导出许多高次方程（最高为六次），给出的根全部准确无误，可见李冶是掌握高次方程数值解法的。

    《测圆海镜》数学上的成就有三点：“天元术”，即列方程解决问题的一种“机械化”程序，相当于现代设x为未知数列方程的方法，这是一项具有世界意义的创举；勾股形解法，把传统的勾股形研究推进到一个新的层次；数学抽象化的新起点：此书虽然形式上仍采用问题集的表述方式，但问题显然已不是从实际生活中得来的，而是出于数学研究的需要产生的，只是出于传统，披上了“实用”的外衣，这对汉族古代数学无疑是一种重要的突破和补充，就内容看，给出了一些专门的概念和公式(“识别杂记”)，采用了演绎推理的方法等，在中国数学思想发展中占有重要的地位。