- 测圆海镜卷一
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天之于日与日之于心同心之于川与川之于地同日之于心与日之于山同故以山之川为小差 川之于心与川之于月同故以月之日为大差明勾□股相得名为内率求虚积 明股□勾相得名为外率求虚积 虚勾虚股相得名为虚率求虚积凡勾股和即黄和 凡大差即股黄较 凡小差即勾黄较髙股平勾差名角差【又】名逺差此数即髙平二差共也又为明和□和较也【又】为通差内去极差【又】为极差虚差共 明□二差共名次差【又】名近差【又】名戾【音列】和此数【又】为明大差□小差较也 勾圆差之股股圆差之勾相并名混同和此数【又】为一径一虚共也 明□二差较名傍差此数又为髙平二差较【又】为极双差内减虚和【又】为极和内减城径也 虚差不及傍差名蓌差此数又为大差差内去角差【又】为极差内去二之平差【又】为次差内去小差差【又】为明股□勾共内去二之明勾也 虚差傍差共为蓌和【蓌音剉】凡大差股小差勾相乘为半段径幂 大差勾小差股相乘亦同上 虚勾乗大股得半段径幂 虚股乘大勾亦同上 边股□股相乘得半径幂明勾底勾相乘亦同上 黄广股黄长勾相乗得径幂 髙股平勾相乗得半径幂 明明股并与□□勾并相乘得半径幂 明明勾并与□□股并相乘亦同上 髙平相乘为一段皇极积 明勾□股相乘倍之为一段太虚积明股□勾相乘亦同右诸杂名目通上勾股和即一城径一通也其较即勾圆差之勾股圆差之股相较也 勾和即二勾一大差其较则大差也 股和即二股一小差其较则小差也 较和为一径三差共其较则大勾小差共也 三事和即边三事和上带大勾也【又】为底三事和上带大股也其较则城径也边上勾股和为通股平共其较则大差股内去平也 勾和即通股底勾共其较则明股明共也 股和即通股通和内少个边勾也其较则平勾也 较和为大差上股和其较则大勾也 三事和即通上股和【又】为黄广三事和上带勾圆差也其较则大差勾也【又】为平上较和【又】为太虚上股和也底上勾股和为通勾髙共其较则髙内去小差勾也 勾和为通上较较与髙股共其较则髙股也 股和为半个通上三事和其较则□上勾和也 较和为大差上勾和也其较则小差上勾和也 三事和即通上勾和【又】为黄长三事和上带股圆差其较则小差股也【又】为髙上较较【又】为太虚上勾和黄广上勾股和为大股虚股共【又】为通勾通股共内少个小差上勾股和其较则两个髙差也 勾和为二髙一圆径共其较则二明股也 股和为通上较和其较则二□股也 较和即两个大差股也其较即两个小差股也 三事和两大股也其较则两虚股也黄长上勾股和为大勾虚勾共【又】为通和内少个大差上勾股和也其较则两个平差也 勾和为通上较较其较则两个明勾也 股和为二圆径二□勾其较则二□勾也 较和为两个大差勾也其较则两个小差勾也 三事和为两大勾其较则两虚勾也髙上勾股和为髙虚股共【又】为一径及髙勾髙股差也其较则底内减大勾也【又】为边股内减底股也 勾共则底股其较则明股也 股共即边股其差则□股也 较共则大差股其较则小差股也 三事和即大股其较则虚股也【又】为小差上勾较【又】为明上较较平上勾股共即平虚勾共也其较则大股内减边也 勾共即底勾其差则明勾也 股共即边勾其较则□勾也 较共即大差勾其较则小差勾也 三事和即大勾其较则虚勾也【又】为大差上股较【又】为□上较和大差上勾股和即大股内去虚勾其差则大差内去圆径也 勾共即大股其差则大差股内去二之明勾也 股和为大股上加个大中差也【按大中差乃明股和与半径之较】其较则虚勾也 较和为两个边上勾较其较即城径也 三事和即大股与股圆差共【又】为大大较共【又】为二边股其较则太虚上较和也小差上勾股和即大勾内去虚股也其较则圆径内去小差也 勾和为大勾上减个小中差也【按小中差乃□勾和与半径之较】其较则虚股也 股共即大勾其较则小差勾内去两个□股也 较和为圆径其较则为两个底上股较【又】为两个□上勾和也 三事和即大勾与勾圆差共也又为大大较较【按即通又上较较】为二底勾其较则太虚上较较也皇极勾股和即髙平共其较则明股内去□勾也 勾共即底其较则明也 股共则边其较则□也 较和为髙明共【又】为大股内减大差勾【又】为大差其较则小差也 三事和即通其较则太虚也【又】为明勾□股共【又】为髙内减明【又】为平内减□【又】为大差勾上减虚股【又】为小差股上减虚勾也太虚勾股和即圆径内减虚【又】为虚虚黄方共【又】为皇极内去明股□勾共其差则大差勾内减个小差股也 勾共即小差股也其较则虚股内减个小黄方也 股共即大差勾其较则虚勾内减个小黄方也 较和为大差上和较【又】黄长上勾较【又】为两个明勾其较小差上黄方面也 三事和即大黄方其较则为两个明上股较【又】为□上两个勾较【又】为明上小差与□上大差共也明勾股和即大差股内减明其较则明内减虚股也 勾并即髙股其较则髙股内少二之明勾也 股和即边股内减大差勾【又】为边勾边差其较则半个虚黄方也 较和即大差上勾较其较则虚股也 三事和即股圆差其较则太虚上勾较【又】为虚股内减虚黄方也□上勾股和即小差内减□其较则虚勾内减□也 勾和即底勾内减小差股【又】为底股底差其较则半个虚黄方也 股和即平勾其较则平勾内少二个□股也 较和即虚勾其较则小差上股较也 三事和即勾圆差其较则太虚上股较【又】为虚勾内减虚黄方也前黄广勾股下 其勾股较【又】为大差股上少个小差股【又】为中差【按中差系通勾股较】内少个小差较【又】为黄广股内少一径 勾共【又】为两个底股【又】为大股与小差股共 股和【又】为大中差共【又】为两个边股 股差【又】为小差上黄方面前黄长勾股下 其勾股较【又】为大差勾上少个小差勾也【又】为圆径内少个黄长勾 勾共【又】为两个底勾【又】为大勾与小差勾共 勾较【又】为大差上黄方靣 股共【又】为两个边勾右五和五较大为大勾与股圆差共【又】为大股与勾圆差共边乃边股平勾共【又】为大股内减平上勾股较 底乃底勾髙股共【又】为大勾内加一个髙差 黄广为大股内减虚股【又】为边股□股共黄长乃大勾内减虚勾【又】为底勾明勾共髙乃大差内减明【又】为明虚共 平乃小差内减□【又】为□虚共 大差乃大股内减大差勾【又】为髙明共【又】大内去黄长 小差为大勾内减小差股【又】为平□共【又】为大内去黄广 极乃髙股平勾共【又】为平明共【又】为髙□共【又】为大差内减髙平二较【又】为小差内加髙平二较 虚乃皇极黄方靣【又】为明勾□股共【又】为髙内减明【又】为平内减□ 明乃髙内减虚 □乃平内减虚黄广黄长相并为大虚共也以此数减于大和余即虚和 若以二相减余即虚平共也【按虚平共此题数偶合当云二极差】 黄广【又】为大差虚共 黄长【又】为小差虚共 以黄长减于大勾余即虚勾 以黄广减于大股余即虚股边底相并为大皇极共也于此并数内减大和余为皇极内减圆径也 若以二相减余即皇极差也此数同者最多故【又】为皇极内少个小差【又】为髙平较【又】为明股内少□勾【又】为大差内少皇极【又】为次差虚差共也边【又】为皇极股共【又】为黄广□共底【又】为皇极勾共【又】为黄长明共也以边减大股余为半径内减平勾【又】为平内减小差勾也 底内减大勾余为髙股内减半径【又】为大差股内减髙也黄广内减边股即□股 黄长内减底勾即明勾也髙髙股共即边股 平平勾共即底勾 髙髙勾共即底股 平平股共即边勾上髙减于通股余即边股内减□股也 下平减于通勾余即边勾内减明勾也 髙平相并即大内少个皇极也若以相并数减于大和余为皇极圆径共也 髙平相减余即皇极差也【又】为皇极上减小差也若以相减数却加于相并数即黄广也髙内减明股得半径 平内减□勾亦同上皇极勾上加明为皇极 皇极股上加□亦同上皇极 得极勾即底 得极股即边 内去极勾即明 去极股即□ 减于通即极和 得虚亦同上 内去虚即明□共去虚黄即明和□和共也 去城径即傍差内加极差即大差 去极差即小差 加角差即两个髙股 减角差即二平勾太虚 加入极为极和 极内去之即明□二共 再去之则明大差□小差并也 加于大差即黄广 加于小差即黄长 内去明勾则□勾 加明勾为圆径内少虚黄□股共 加入明股为明和□股共 减于明股即明较内去□股 加入明为极股 减于明为明大差□小差内少个□ 加于明和即两个虚一个髙差共也 减于明和即髙差也 内去□勾即明勾□较共【又】为□股平差共 加于□勾即□和明勾共 加于□股为二虚内少明勾【又】为圆径内少虚黄明勾共 内减□股即明勾 内加□即极勾 减于□为明勾内少个□小差 加入□和即两个虚内少个平差也 内减□和即平差也 加入明□二和共即极和内少个虚黄也 若减于明□二和共即明股□勾共也 减于髙即明减于平即□加于角差即二明勾一极差也 减于角差即一极差二□股较也 得傍差即明股□勾共内减傍差即太虚三事和内去了极双差也【按双】【差系勾差股差】 内加虚差即二明勾 内减虚差即二□股 内加虚黄方即虚和 内减虚黄方即太虚大小差并也右诸大差小差共即两个极也以两个极差为之较 大差差小差差共即两个极差也以两个傍差为之较 大差上大差小差上大差共即两个明也以两个明差为之较 大差上小差小差上小差共即两个□也以两个□差为之较大差黄【按即二明勾】小差黄【按即二□股】数共即两个极黄【按即二虚】也以两个虚差为之较 大差勾小差勾共即两个极勾也以两个平差为之较 大差股小差股共即两个极股也以两个髙差为之较二和共为二极和以二角差为之较大差上较较即圆径 小差上较和亦同上大差上小差即虚勾 小差上大差即虚股也大差与明勾共即边股 小差与□股共即底勾也 大差内减中差即黄长勾【按勾应作股】小差内加中差即黄广股也【按股应作勾】大股内减小差股即黄广股 大勾内减大差勾即黄长勾也虚得虚股即大差勾 虚得虚勾即小差股也 明段较和即大差上勾较 明段较较即小差上勾较也 □段较和即大差上股较 □段较较即小差上股较也大差勾内减虚余即虚股 小差股内减虚余即虚勾也 以大差和减大股即虚勾 以小差和减大勾即虚股也 以大差差减圆径即明勾此差若多于圆径则内减圆径余即虚勾也【按此条因题数偶合而误若勾股差甚大甚小者皆不能合】 以小差差减圆径即小差也 大差上加一径即大股上加虚勾也 小差上加一径即大勾上加虚股也大差股内减髙余即髙股内减半径 平内减小差勾余即半径内减平勾也 大差内减虚差即二明差 小差内减虚差即二□差也大内减大差股小差勾共即圆径 三事和内减二之大差股小差勾共即三个圆径也大差勾小差股相并名混同即一圆径一虚也若以相减即虚差也大差和小差和二数相并即大虚共也 二数相减即中差虚差共也【又】半之并数即为极虚共也【又】为髙平共【又】为皇极勾股共也大差差小差差二数相并即两个皇极差【又】为大差内减小差也 二数相减而半之即是皇极上减圆径也【即傍差】右大小差大差差小差差虚差共为一个通差 髙平极三差共亦同上 明□虚三差共为一个极差也 诸黄方面亦仿此边黄内减底黄即虚差 黄广黄内减黄长黄即二虚差 髙黄内减平黄即虚差盖髙黄即虚股平黄即虚勾也 大差黄内减小差黄即二虚差盖大差黄即二明勾小差黄即二□股也 明黄内减□黄余即虚差 □上三差合成一个虚黄方髙差内减平差为傍差 边差内减底差亦同上明差内减□差亦同上 大差差内减小差差为二旁差 黄广差内减黄长差亦同上极双差即明□二共 内加虚双差即明□二和共 内减虚双差即明双差□双差共也 内加旁差即极内少个虚旁差差 内减旁差即虚和也 内加虚差即极内少二□股 内减虚差则极内少二明勾也极差内加旁差为大差差 内减旁差为小差差也内加虚差即角差 内减虚差即次差也 倍极差为大差差小差差共则倍旁差为之较 倍极为大差小差共倍极差为之较 以极差为明差平差共则以蓌差为之较 以极差为髙差□差共则以蓌和为之较 副置蓌和上加蓌差而半之即旁差也 减蓌差而半之则虚差也 极差内减二之平差得蓌差角差内加旁差为二髙差 内减旁差即二平差也内加明□二差并而半之得极差 内减明□二差而半之则虚差也 内加极差则通差 内减极差则虚差也以虚差减于明和为明□二股共 以虚差加于□和为明□二勾共也 又副置二和共上加次差而半之即明□二股共 减次差而半之即明□二勾共也 明□二股共以髙差为之较 明□二勾共以平差为之较以髙差减明和即虚 以平差加□和亦同上以髙差减髙股即半径 以平差加平勾亦同上以髙差减大差差即明差 以平差减小差差即□差也 以髙差减大差即髙 以平差加小差即平也 二之平差内去虚差余即小差差 去二虚差即两个□差髙股即半径上股方差 平勾即半径上勾方差故髙勾平股共为全径也 黄广股即全径上股方差 黄长勾即全径上勾方差 故黄广勾黄长股共数为两个全径也边内减底即皇极差 边股内减底股即髙差【又】为底内减大勾 边勾内减底勾即平差【又】为大股内减边也大勾减底余即半径为勾之中差也 大股内减边余即半径为股之中差也 边股底勾相并即大 若以相减即通中差也二髙股一虚差合成一个股圆差 二平勾一虚差合成一个勾圆差【按此二条误当云二明股一虚股合成一个股圆差 二□勾一虚勾合成一个勾圆差也】明双差亦为明□二大差其较则明差也 □双差亦为明□二小差其较则□差也 明双差内减明差即虚黄 □双差上加□差亦同上 以明双差加明和即两明 以□双差加□和则两□也 以明双差减明和而半之即明黄【又】为虚大差 以□双差减于□和而半之即□黄【又】为虚小差也 以虚大差减明和即为明 以虚小差减□和即□也 明双差□双差相较则次差也 明双差□双差相并加于明□二和共则为两个极双差 若以减于明□二和共则为两个虚双差也 明双差上加虚双差即明□二股共 □双差上加虚双即明□二勾共也以明□二股共为明□黄共则髙差虚黄共为之较【按明又□黄较】为明大小差虚大小差共则明□二股共内去两个虚双差为之较也【按明大小差虚大小差之较】以明□二勾共为□明黄共则以平差虚黄较为之较【又】为□大小差虚大小差共则明□二勾共内减两个虚大小差为之较也【按虚大小差□大小差之较】明□二和共内减旁差即二虚 虚内加旁差明股□勾共也明和内去平差即明股□勾共 □和上加髙差亦同上也 明和内去髙差即虚 □和上加平差亦同上 明内去髙差即虚勾 □上加平差即虚股也 明股内去□股即髙差 去□勾则极差也 明勾内去□股即虚差 去□勾则平差也明□二股并内减虚即明差 明□二勾并减于虚即□差明□二和共【又】为明□二共与明□二黄共数也其较则明双差□双差共数也 其明□二和共数内减旁差即二虚也 若内减虚双差即明□二共也极得极差为大差大差内减明和则髙内减虚大差也 内减极差则为小差小差内减□和则是平内减虚小差也 又大差内减明和与髙股共余则为虚勾不及明勾数 小差内减□和与平勾共余则为□股不及虚股数也右诸差边勾边股差【又】为皇极差与髙差共也【又】为边内去大勾也 边勾边共【又】为大勾边股共 边勾边较【又】为大差内减半径也 边股边较【又】为□股和底勾底股差【又】为皇极差平差共【又】为大股内去底【又】为髙股内去底小差 底勾底共为大内少个底股大勾差 底勾底较【又】为明上勾弦和 底股底共与边勾边共同 底股底较【又】为底勾内少小差股也边股内减髙余则髙股 内减大差余则明勾内减底即底股内减大勾也【又】为髙内减底勾也底勾内减平余即平勾 内减小差余即□股以底勾减于边余即大股内减边勾也【又】为边股内减平也边内减底股与底内减边勾同为皇极内减半径也皇极勾内减明勾余即平勾也若减□勾即半径也倍之则为底勾明勾共 皇极股内减□股余即髙股也若减明股余即半径也倍之则为边股□股共也明股得虚股即髙股 明勾得虚勾即半径 □股得虚股即半径 □勾得虚勾即平勾也 髙内减髙股即□股 平内减平勾即明勾也明内减明差即虚股 □内加□差即虚勾也 髙股即虚明二股共 平勾即虚□二勾共也 明明勾并数与髙股同 □□股并数与平勾同也明股□勾相倂减于极即虚和【又】为极黄虚黄共数也明□二并 内减□双差即明□二股并 内减明双差即明□二勾并 内加虚即极 内减虚即明大差□小差并也以明和为明明黄共则明双差为之较 以□和为□□黄共则□双差为之较也 明和【又】为髙差虚共【又】为极差与明□二勾共数 □和【又】为平差少于虚数【又】为极差少于明□二股数半之三事和内加半黄方即勾股共 若减之则也 半圆径内加半虚黄即虚和 减半虚黄即虚也【又】以半虚黄加明和即髙股以半虚黄加□和即平勾也 加明股则明 加□股则□也 减明勾则明黄 减□股则□黄也 以虚黄加明黄则为虚股 以加□黄则虚勾也右诸率见髙□共为极其差即虚极差共也 髙股□股共为髙其差即虚股髙差共也 髙勾□勾共为平其差即半径内减□勾也 髙和□和共为极和其差即极和内少二□和也 髙差□差共为极差其差即虚差旁差共也 髙黄□黄共为虚其差即□黄不及虚股数也【髙黄即虚股】髙大差□大差共即明其差即半虚黄不及明股数也此髙大差即明股此□大差即半虚黄也髙小差【即□股】□小差共即□其差即□小差不及□股数也 明平二共亦为极其较即虚不及极差数也 明平二股共亦为髙其较即明股内减半径也 明平二勾共亦为平其较即平差内去虚勾也 明平二和共亦为极和其较即极和内少二之平和也 明平二差共亦为极差其较即虚差不及旁差数也 明平二黄共亦为虚其较则虚勾【按虚勾即平黄】不及明黄数也 明平二大差共亦为明其较即明勾不及明大差数【平大差即明勾】 明平二小差共亦为□其较则□勾不及半虚黄数也此明小差即半虚黄此平小差即□勾右四位相套边 自减其股为平勾 自减其勾为明股明并 减于通余平 减于通股余平差 内减通勾余边差 内减底余极差 内减底股为半径旁差共【又】为极内少半径 内减底勾即大股内去边勾也 内减黄广余□ 内减黄广股即小差股内去平差 内减黄广勾即大差股内去平差 内减黄长【又】得黄长【按此条误】 内减黄长股与内减黄广勾同 内减黄长勾即大股内去极勾虚勾共 内减皇极余髙底 自减其股为□勾□并 自减其勾为髙股 减于通余髙 减于通股余底差 内减通勾余髙差 减于边余极差 减于边股即底差内去半径 内减边勾即髙差平勾共减于黄广余为明大差□小差并【按此条亦系数偶合】减于黄广股即底差内去小差股 内减黄广勾即一个明一个黄长股较 内减去黄长余明 内减黄长股与内减黄广勾同 内减黄长勾余为髙股明勾共 内减极为平减于边股【又】为底股内去大勾髙差平差共【又】为平勾髙股差 以半径减髙股即髙差 半径内减平勾即平差 明勾内减□勾与平差同 明股内减□股与髙差同 股圆差内减极股即髙差也 勾圆差减于极勾即平差正股内去边即平差也 底内去正勾即髙差也 大差勾内去极勾即平差也 极股内去小差股即髙差也 极差内去□差即髙差也内去明差即平差也旁差即城径极较也【又】为明差□差较【又】为髙差平差较 极差得之为大差差也去之则为小差差也又髙差平差下 明和内去虚即髙差 虚内去□和即平差大差内加虚差即黄广股 小差股内减虚差即黄长勾通差内去髙差即底差 内去平差即边差也虚大差得二虚勾即勾圆差之股 虚小差得二虚股即股圆差之勾也明股较与勾共即虚股也 □勾较与股共即虚勾也半虚黄 □勾得之即□也减于此数即虚黄内去□也 □股得之虚勾也去之即□黄方也□得之即平勾内去□黄也去之则□勾也明勾内得之即虚股也去之则明黄方也 明股得之即明也去之则明内去个虚黄方也明得之即髙股内去明黄也去之则明股也右拾遗按识别杂记约五百条皆随时録其所得未经审定者故难易浅深不拘先后要皆精思妙义足以开示数理之蕴奥者徐光启亟新法而于勾股义中独推是书其必有所见矣
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