- 卷十九
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<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷十九
面部九
各面形縂论
直线形
各面形总论
面之爲形成于方圜直线所成皆方之类曲线所成皆圜之类立法则方爲圜之本度圜者必以方而度方者必以矩所谓方有尽而圜无尽是也论理则圜又爲众界形之本葢众界形或函圜或函于圜其边皆当弧线之度故求众界形者必以圜界爲宗也因有方圜众界之各异是以边线等者面积不等如众界形之毎一边与圜径俱设爲一○○○○则方面积爲一○○○○○○○○而圜面积爲七八五三九八一六三等边形之面积爲四三三○一二七○五等边形之面积爲一七二○四七七四一六等边形之面积爲二五九八○七六二○七等边形之面积爲三六三三九一二四○八等边形之面积爲四八二八四二七一二九等边形之面积爲六一八一八二四二○十等边形之面积爲七六九四二○八八三此各形之面积皆以方积比例者也或以圜面积设爲一○○○○○○○○则圜径得一一二八三小余七九一六如圜径与众界形之毎一边俱设爲一一二八三小余七九一六则圜面积爲一○○○○○○○○而三等边形之面积爲五五一三二八八九方面积爲一二七三二三九五四五等边形之面积爲二一九○五七九八六六等边形之面积爲三三○七九七三三四七等边形之面积爲四六二六八四○九八八等边形之面积爲六一四七七四四三五九等边形之面积爲七八七○九四三○二十等边形之面积爲九七九六五七○九九此各形之面积皆以圜积比例者也葢因各形之边线相等面积不同故皆定爲面与面之比例也面积等者边线不等如众界形之面积与圜面积俱设爲一○○○○○○○○○○○○○○○○则方边爲一○○○○○○○○而圜径爲一一二八三七九一六三等边形之毎边爲一五一九六七一三七五等边形之毎边爲七六二三八七○五六等边形之毎边爲六二○四○三二四七等边形之毎边爲五二四五八一二六八等边形之毎边爲四五五○八九八五九等边形之毎边爲四○二一九九六三十等边形之毎边爲三六○五一○五八此各形之边线皆以方边比例者也或以圜径设爲一○○○○○○○○则圜面积爲七八五三九八一六三三九七四四八三如圜面积与众界形之面积俱设爲七八五三九八一六三三九七四四八三则圜径爲一○○○○○○○○而二等边形之毎边爲一三四六七七三六九四等边形【卽正方】之毎边爲八八六二二六九二五等边形之毎边爲六七五六四七九三六等边形之毎边爲五四九八一八○五七等边形之毎边爲四六四八九八○三八等边形之毎边爲四○三三一二八八九等边形之毎边爲三五六四四○一四十等边形之毎边爲三一九四九四一八此各形之边线皆以圜径比例者也葢因各形之面积相等边线不同故皆定爲线与线之比例也然自众界形之中心分之则又各成三角形皆以勾股爲准则故勾股三角形虽爲面而不囿于面之中却别立一章焉要之众界形边求积者归之勾股积求边者归之正方引而伸之触类而长之凡爲面形者不能违是也
直线形
设如正方形每边五十尺问对角斜线几何
法以方边五十尺自乗得二千五百尺倍之得五千尺开方得七十尺七寸一分零六豪有余即所求之对角斜线也如图甲乙丙丁正方形其甲乙乙丙丙丁丁甲每边皆五十尺甲丙为所求对角斜线甲乙为股则乙丙为勾乙丙为股则甲乙为勾因甲乙与乙丙相等皆可互为勾股故以一边自乗倍之开方得?卽如各自乗相并开方而得?也又用定率比例法以定率之方边一○○○○○○○爲一率对角斜线一四一四二一三五为二率今所设之方边五十尺为三率求得四率七十尺七寸一分零六豪有余卽所求之对角斜线也葢定率设方边为一千万其对角斜线为一千四百一十四万二千一百三十五故定率之方边一千万与定率之对角斜线一千四百一十四万二千一百三十五之比卽如今所设之方边五十尺与所求之对角斜线七十尺七寸一分零六豪有余之比也
若有对角斜线求方边则以对角斜线自乗折半开方所得为正方形之每一边也葢甲丙?自乗之方与甲乙股乙丙勾两正方相并之积等今以甲丙?自乗折半则必与甲乙或乙丙自乗之一正方相等故开方而得每一边也或用定率比例法以定率之对角斜线一四一四二一三五为一率方边一○○○○○○○为二率今所设之对角斜线为三率求得四率卽方边也
设如正方形每边二尺今将其积倍之问得方边几何
法以每边二尺自乗得四尺倍之得八尺开方得二尺八寸二分八厘四豪有余卽所求之方边数也如图甲乙丙丁正方形每边二尺其面积四尺倍之得八尺卽如戊乙己庚正方形其每边即甲乙丙丁方形之对角斜线试于戊乙己庚正方形内作甲乙丙丁正方形以乙为心戊为界作戊己弧与丁角相切则丁乙与己乙皆为半径其度相等葢丁乙对角斜线自乗之方为甲乙边自乗之方之二倍故戊乙己庚正方形卽为甲乙丙丁正方形之二倍而戊甲丁丙己庚磬折形积即与甲乙丙丁正方形积相等也
设如正方形每边二尺今将其积四倍之问得方边几何
法以每边二尺倍之得四尺卽所求之方边数也如图甲乙丙丁正方形每边二尺其面积四尺四倍之得一十六尺卽如戊乙己庚正方形之面积其每边得甲乙丙丁正方形每边之二倍是故不用四倍其积开方止以每边二尺倍之而卽得也此法葢因两方面之比例比之两界之比例为连比例隔一位相加之比例【见几何原本七卷第五节】故戊乙己庚正方面积一十六尺与甲乙丙丁正方面积之四尺相比为四分之一而戊乙己庚正方边之四尺与甲乙丙丁正方边之二尺之比为二分之一夫十六与八八与四四与二皆为二分之一之连比例而十六与四之比其间隔八之一位故为连比例隔一位相加之比例也
设如长方形长十二尺阔八尺今将其积倍之仍与原形为同式形问得长阔各几何
法以阔八尺自乗得六十四尺倍之得一百二十八尺开方得一十一尺三寸一分三厘七豪有余即所求之阔旣得阔乃以原阔八尺为一率原长十二尺为二率今所得阔一十一尺三寸一分三厘七豪有余为三率求得四率一十六尺九寸七分零五豪有余卽所求之长也或以长十二尺自乗倍之开方亦得一十六尺九寸七分零五豪有余为所求之长也如图甲乙丙丁长方形甲乙阔八尺甲丁长十二尺将其积倍之即如戊己庚辛长方形此两长方面积之比例卽同于其相当二界各作一正方面积之比例【见几何原本七卷第七节】故依甲乙丙丁长方形之丁丙阔界作丁丙壬癸正方形将其积倍之卽如戊己庚辛长方形之辛庚阔界所作之辛庚子丑正方形故开方得辛庚为所求之阔也既得辛庚之阔则以甲乙与甲丁之比卽同于戊己与戊辛之比得戊辛为所求之长也若以原长自乗倍之开方卽如以二长界各作一正方形互相为比例也
设如长方形长十二尺阔八尺今将其积四倍之仍与原形为同式形问得长阔各几何
法以阔八尺倍之得十六尺卽所求之阔又以原长十二尺倍之得二十四尺即所求之长也如图甲乙丙丁长方形甲乙阔八尺甲丁长十二尺将其积四倍之卽如戊己庚辛长方形其每边得甲乙丙丁长方形每边之二倍是故不用四倍其积开方止以各边之数倍之而即得也此法葢因两长方面之比例既同于其相当二界各作一正方面之比例而两正方面之比例比之二界之比例为连比例隔一位相加之比例故两长方面之比例较之两界之比例亦为连比例隔一位相加之比例也
设如三角形面积三千尺底阔八十尺问中长几何法以积三千尺倍之得六千尺用底阔八十尺除之得七十五尺卽所求之长也如图甲乙丙三角形其积倍之成丁乙丙戊长方形乙丙为底阔故以底阔除长方积得甲己为中长也
设如两两等边无直角斜方形【一日象目形】小边皆二十五丈大边皆三十九丈对两小角斜线五十六丈问面积防何
法以对角斜线分斜方形为两三角形算之以对角斜线五十六丈为底大边三十九丈小边二十五丈为两腰用三角形求中垂线法求得中垂线十五丈乃以对角斜线五十六丈与中垂线十五丈相乗得八百四十丈即斜方形之面积也如图甲乙丙丁斜方形甲丁乙丙二小边皆二十五丈甲乙丁丙二大边皆三十九丈甲丙对两小角斜线五十六丈今以甲丙斜线分甲乙丙丁斜方形为甲乙丙甲丁丙两三角形俱以甲丙为底甲丁与丁丙为两腰求得丁戊或乙己皆为中垂线故以甲丙斜线与丁戊垂线相乗所得甲丙庚辛长方形比甲丁丙三角形积大一倍而甲乙丙丁斜方形亦函两三角形积故所得之甲丙庚辛长方形与甲乙丙丁斜方形之面积相等也
设如不等边两直角斜方形直角之边长五十丈上阔二十丈下阔二十八丈问面积几何
法以上阔二十丈与下阔二十八丈相加得四十八丈折半得二十四丈与长五十丈相乗得一千二百丈即斜方形之积面也如图甲乙丙丁斜方形以上阔甲丁与下阔乙丙相加得乙戊折半为乙己与甲乙长相乗遂成甲乙己庚长方形其斜方外所多之丁庚辛勾股形与斜方内所少之辛己丙勾股形之
积等故所得之甲乙己庚长方形即甲乙丙丁斜方形之面积也
又法上阔下阔相并与长相乗得数折半即斜方形之面积也葢前法上阔下阔相加折半而后与长相乗此法则上阔下阔相加卽与长相乗而后折半其理一也
设如梯形长三十丈上阔十二丈下阔二十丈问面积防何
法以上阔十二丈与下阔二十丈相加得三十二丈折半得十六丈与长三十丈相乗得四百八十丈即梯形之面积也如图甲乙丙丁梯形以上阔甲丁与下阔乙丙相加得乙戊折半为乙己与丁己长相乗遂成庚乙己丁长方形其梯形外所多之甲庚乙勾股形与梯形内所少之丁己丙勾股形之面积等故所得之庚乙己丁长方形卽甲乙丙丁梯形之面积也
又法以上阔下阔相并与长相乗得数折半即梯形之面积也
设如三角形自尖至底中长二百尺底阔一百五十尺今欲自尖截长一百二十尺问截阔防何法以中长二百尺为一率底阔一百五十尺为二率截长一百二十尺为三率求得四率九十尺即所截之阔也如图甲乙丙三角形甲丁中长二百尺乙丙底阔一百五十尺甲戊为所截长一百二十尺而甲丁与乙丙之比即同于甲戊与己庚之比也如以截阔求截长则以底阔为一率中长为二率截阔为三率所得四率即所截之长也
设如不等边两直角斜方形长九十尺上阔二十尺下阔三十八尺今欲截中阔二十七尺问上下各截长防何
法以上阔二十尺与下阔三十八尺相减余一十八尺为一率长九十尺为二率以上阔二十尺与所截中阔二十七尺相减余七尺为三率求得四率三十五尺即上所截之长以上所截之长三十五尺与总长九十尺相减余五十五尺即下所截之长也如欲先得下所截之长则仍以上阔二十尺与下阔三十八尺相减余一十八尺为一率长九十尺为二率乃以所截中阔二十七尺与下阔三十八尺相减余一十一尺为三率求得四率五十五尺即下所截之长也如图甲乙丙丁斜方形甲乙为长九十尺与丁戊等乙丙为下阔三十八尺甲丁为上阔二十尺与乙戊等己庚为所截中阔二十七尺上阔与下阔相减余戊丙十八尺上阔与所截中阔相减余辛庚七尺而戊丙与丁戊之比即同于辛庚与丁辛之比也又甲乙丙丁斜方形上阔与下阔相减余戊丙十八尺所截中阔与下阔相减余壬丙十一尺而戊丙与丁戊之比又同于壬丙与庚壬之比也如有所截上长或所截下长求截阔则以总长为一率上下阔相减所余为二率截长为三率求得四率有上截长则与上阔相加有下截长则与下阔相减所得即所截之阔也
设如梯形面积一千五百尺下阔四十尺中长五十尺问上阔几何
法以积一千五百尺倍之得三千尺用长五十尺除之得六十尺为上下两阔相和之数内减下阔四十尺余二十尺即上阔也如图甲乙丙丁梯形倍之成甲乙己戊斜方形试将己角取直作己辛线则截斜方形一叚为己辛戊勾股形如以己辛戊勾股形移补于甲庚乙遂成庚乙己辛长方形其积原与甲乙己戊斜方形等今用庚乙中长除之得乙己即上下两阔相和之数内减乙丙下阔所余丙己与甲丁等即上阔也
设如不等边两直角斜方形积九千六百尺长一百二十尺上下两阔相差之较四十尺问上阔下阔各防何
法以积九千六百尺倍之得一万九千二百尺用长一百二十尺除之得一百六十尺为上下两阔相和之数内减上下两阔相差之较四十尺余一百二十尺折半得六十尺为上阔加上下两阔相差之较四十尺得一百尺即下阔也如图甲乙丙丁斜方形其甲乙长一百二十尺甲丁上阔与乙丙下阔相差戊丙四十尺试将原积倍之遂成甲乙己庚长方形故以甲乙长除之得乙己为上下阔相和之数内减戊丙上下两阔相差之较余数折半得乙戊与甲丁等
为上阔加戊丙较得乙丙为下阔也
设如梯形面积六千六百五十尺长九十五尺上下两阔相差之较二十尺问上阔下阔各几何法以积六千六百五十尺倍之得一万三千三百尺用长九十五尺除之得一百四十尺为上下两阔相和之数内减上下两阔相差之较二十尺余一百二十尺折半得六十尺为上阔加上下两阔相差之较二十尺得八十尺为下阔也如图甲乙丙丁梯形甲戊长九十五尺甲丁上阔与乙丙下阔相差乙戊与己丙共二十尺试将原积倍之成甲乙庚辛斜方形与壬乙庚癸长方形之积等故以甲戊长除壬乙庚癸长方形得乙庚为上下两阔相和之数内减乙戊与己丙上下两阔相差之较余折半得戊己与甲丁等为上阔加乙戊与己丙上下两阔相差之较得乙丙为下阔也
设如方环形外周二百八十丈内周一百二十丈求面积几何
法以外周二百八十丈四归之得七十丈自乗得四千九百丈又以内周一百二十丈四归之得三十丈自乗得九百丈两自乗数相减余四千丈卽方环之面积也如图甲乙丙丁外周二百八十丈四归之得甲乙之一边自乗得甲乙丙丁大方积戊己庚辛内周一百二十丈四归之得戊己之一边自乗得戊己庚辛小方积两方积相减所余即方环之面积也
又法以外周二百八十丈自乗得七万八千四百丈内周一百二十丈自乗得一万四千四百丈两数相减余六万四千丈以十六除之得四千丈即方环面积也前法将内外周各四归之而得内外方边故以内外方边各自乗相减而
得方环面积此法即以内外周各自乘相减以十六除之而得方环面积也葢内外周为内外方边之四倍内外周自乘之积必比内外方边自乘之积大十六倍【凡方边大一倍则面积大四倍今方边大四倍故面积大十六倍为隔一位相加之连比例也】是以两周各自乗相减之余积比两方边各自乘相减之余积亦大十六倍也
又有方环面积求外方边至内方边之阔则以外周二百八十丈与内周一百二十丈相加得四百丈折半得二百丈以除方环面积四千丈得二十丈即外方边至内方边之阔也如图自方环内边作壬癸子丑二线则甲乙癸壬子丑丙丁为外方边与阔相乘之二长方壬戊辛子己癸丑庚为内方边与阔相乘之二长方引而长之成寅夘辰己一长方其长即半外周与半内周之和其阔即外方边至内方边之阔故以外周与内周相并折半除方环面积而得外方边至内方边之阔也
又法以内方边三十丈与外方边七十丈相减余四十丈折半得二十丈亦即外方边至内方边之阔也如图甲丁为外方边减与戊辛内方边相等之壬子余甲壬与子丁折半得甲壬即方环之阔也
设如方环面积四千尺阔二十尺求内外方边各几何
法以阔二十尺自乘得四百尺四因之得一千六百尺与环积四千尺相减余二千四百尺四归之得六百尺以阔二十尺除之得三十尺即内方边又以阔二十尺倍之得四十尺加内方边三十尺得七十尺即外方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛方环形内减甲寅戊壬辰乙癸已子辛卯丁庚丑丙巳阔自乘之四正方余寅辰巳戊辛庚巳卯壬戊辛子巳癸丑庚四长方四归之得寅辰已戊一长方其阔即方环之阔其长即方环内边之长故以寅戊阔除之得戊己为内方边也
又法置环积四千尺以阔二十尺除之得二百尺四归之得五十尺加阔二十尺得七十尺即外方边于五十尺内减阔二十尺余三十尺即内方边也如图甲乙丙丁戊己庚辛方环积以阔除之即得壬癸子丑为内周外周相并折半之中数以四归之即得壬癸一边与戊寅等故加阔得外边减阔得内边也
设如勾股形股三十六尺勾二十七尺今从上叚截勾股形积五十四尺问截长阔各几何
法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积五十四尺倍之得一百零八尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺即所截之阔既得所截之阔则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之阔九尺为三率求得四率十二尺即所截之长也此法一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙勾股形甲乙为股三十六尺乙丙为勾二十七尺甲丁戊勾股形为截积五十四尺是故甲乙与乙丙之比应同于甲丁与丁戊之比然而无甲丁之数故将截积倍之为甲丁与丁戊相乘之长方则甲乙与乙丙之比必同于甲丁与丁戊相乘之长方与丁戊自乘之正方之比【葢截积倍之成己甲丁戊长方形丁戊自乘成庚丁戊辛正方形此二形为二平行线内直角方形其面之互相为比同于其底之互相为比见几何原本八卷第七节】故开方而得丁戊为所截之阔又乙丙与甲乙之比即同于丁戊与甲丁之比而得甲丁为所截之长也若先求截长则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率倍截积一百零八尺为三率求得四率一百四十四尺开方得十二尺为所截之长葢乙丙与甲乙之比同于丁戊与甲丁之比亦必同于丁戊与甲丁相乘之长方与甲丁自乘之正方之比【截积倍之成甲丁戊己长方形甲丁自乘成甲丁庚辛正方形此二形之面互相为比亦同于其底之互相为比也】故开方而得甲丁为所截之长也既得截长则用比例四率求之亦得所截之阔矣
又法以勾二十七尺与股三十六尺相乘折半得勾股积四百八十六尺为一率所截之勾股形积五十四尺为二率勾二十七尺自乘得七百二十九尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔若以股二十六尺自乘得一千二百九十六尺为三率则得四率
一百四十四尺开方得十二尺为所截之长也如图甲乙丙勾股形截甲丁戊勾股形积五十四尺此两勾股形为同式形故甲乙丙勾股积与甲丁戊勾股积之比同于乙丙勾自乘之乙己庚丙正方形与丁戊勾自乘之丁辛壬戊正方形之比亦必同于甲乙股自乗之癸子乙甲正方形与甲丁股自乗之丑寅丁甲正方形之比也
设如勾股形股三十六尺勾二十七尺今从下叚截斜方形积四百三十二尺问截长及上阔各几何法以股三十六尺为一率勾二十七尺为二率截积四百三十二尺倍之得八百六十四尺为三率求得四率六百四十八尺乃以勾二十七尺自乗得七百二十九尺内减所得四率六百四十八尺余八十一尺开方得九尺为所截之上阔既得所截之上阔则以勾二十七尺为一率股三十六尺为二率所截之上阔九尺与勾二十七尺相减余一十八尺为三率求得四率二十四尺即所截之长也此法亦系线与线为比面与面为比也如图甲乙丙勾股形甲乙为股三十六尺乙丙为勾二十七尺丁乙丙戊斜方形为截积四百三十二尺其甲乙与乙丙之比应同于戊己【即丁乙】与己丙之比然而无戊己之数故将截积倍之遂成戊己之长与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之长方形将此长方形为三率所得四率即丁戊乙丙上下两阔之较【即己丙也】与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之长方形也【葢截积倍之成庚丁乙辛长方形己丙两阔之较与两阔之和相乘成壬己丙癸长方形此二长方形同以两阔之和为长故丁乙与己丙之比即如庚丁乙辛长方形与壬己丙癸长方形之比也】又己丙上下两阔之较与丁戊乙丙上下两阔之和相乘之积与丁戊乙丙上下两阔之数各自乗相减之余积等试依乙丙度作子丑寅卯一大正方形又依丁戊度作子辰巳午一小正方形两正方形相减所余为辰丑寅卯午巳磬折形引而长之遂成辰丑申未长方形其辰丑即上下两阔之较其丑申即上下两阔之和故所得四率长方形积与辰丑寅卯午巳磬折形之积等今于乙丙自乘之子丑寅卯大正方形内减辰丑寅卯午巳磬折形所余即丁戊自乘之子辰巳午小正方形故开方而得丁戊为所截之阔也既得所截之阔则以丁戊与乙丙相减余巳丙而乙丙与甲乙之比卽同于己丙与戊己【卽丁乙】之比也
又法以勾二十七尺与股三十六尺相乘折半得勾股积四百八十六尺内减从下叚所截之斜方积四百三十二尺余五十四尺即为从上段所截之勾股形积依前法比例求之所得亦同
设如三角形中长二十尺底阔一十五尺今从上段截三角形积五十四尺问截长阔各几何
法以底阔一十五尺为一率中长二十尺为二率截积五十四尺倍之得一百零八尺为三率求得四率一百四十四尺开方得一十二尺即所截之长既得所截之长则以中长二十尺为一率底阔十五尺为二率所截之长十二尺为三率求得四率九尺卽所截之阔也此法亦一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙三角形甲丁中长二十尺乙丙底阔十五尺甲戊己三角形为截积五十四尺是故乙丙与甲丁之比应同于戊己与甲庚之比然而无戊己之数故将截积倍之为戊己与甲庚相乘之长方
则乙丙与甲丁之比必同于戊己与甲庚相乘之长方与甲庚自乘之正方之比故开方而得甲庚为所截之长又甲丁与乙丙之比同于甲庚与戊己之比而得戊己为所截之阔也若先求截阔则以中长二十尺为一率底阔一十五尺为二率倍截积一百零八尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔葢甲丁与乙丙之比同于甲庚与戊己之比亦同于甲庚与戊己相乘之长方与戊己自乘之正方之比故开方而得戊己为所截之阔也既得截阔则用比例四率求之亦得所截之长矣又法以底阔十五尺与中长二十尺相乘折半得三角积一百五十尺为一率所截之三角积五十四尺为二率以底阔十五尺自乘得二百二十五尺为三率求得四率八十一尺开方得九尺为所截之阔若以中长二十尺自乘得四百尺为三率则得四率一百四十四尺开方得十二尺为所截之长也如图甲乙丙三角形截甲戊己三角形积五十四尺此两三角形为同式形故甲乙丙三角形积与甲戊己三角形积之比同于甲丁中长自乘之甲丁辛壬正方形与甲庚截长自乘之甲庚癸子正方形之比亦同于乙丙底阔自乘之乙丙丑寅正方形与戊己截阔自乘之戊巳卯辰正方形之比也
设如三角形中长二十尺底阔十五尺今从下段截梯形积九十六尺问截长及上阔各几何
法以中长二十尺为一率底阔十五尺为二率截积九十六尺倍之得一百九十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以底阔十五尺自乘得二百二十五尺内减所得四率一百四十四尺余八十一尺开方得九尺为所截之上阔既得所截之上阔则以底阔十五尺为一率中长二十尺为二率所截之上阔九尺与底阔十五尺相减余六尺为三率求得四率八尺即所截下段之长也如图甲乙丙三角形甲丁为中长二十尺乙丙为底阔十五尺戊乙丙己梯形为截积九十六尺戊己为所截之阔庚丁【与戊辛己壬等】为所截之长乙辛壬丙两叚为截阔与底阔之较是故甲丁与乙丙之比应同于庚丁与乙辛壬丙两段之比矣【葢甲丁与乙丁之比同于等庚丁之戊辛与乙辛之比又甲丁与丁丙之比同于等庚丁之己壬与壬丙之比合之则甲丁与乙丁丁丙两叚之比亦同于庚丁与乙辛壬丙两段之比也】但今无庚丁之数故将截积倍之遂成庚丁所截之长与戊己乙丙上下两阔之和相乘之长方形将此长方形为三率所得四率即乙辛壬丙上下两阔之较与戊己乙丙上下两阔之和相乘之长方形也又乙辛壬丙上下两阔之较与戊己乙丙上下两阔之和相乘之积与戊己乙丙上下两阔之数各自乘相减之余积等故以所得四率长方形积与乙丙自乘方积相减即余戊己自乘方积开方而得戊己为所截之阔也既得戊己截阔则于乙丙底阔内减之余乙辛壬丙而乙丙与甲丁之比又同于乙辛壬丙两段与庚丁截长之比也
又法以底阔十五尺与中长二十尺相乘折半得三角形积一百五十尺内减从下段所截之梯形积九十六尺余五十四尺卽为从上段所截之三角形积依前法比例求之所得亦同
设如不等边两直角斜方形长二十四尺上阔十二尺下阔二十尺今从上段截积一百六十八尺问截长阔各几何
法以长二十四尺为一率下阔二十尺内减上阔十二尺余八尺为二率截积一百六十八尺倍之得三百三十六尺为三率求得四率一百一十二尺乃以上阔十二尺自乘得一百四十四尺与所得四率一百一十二尺相加得二百五十六尺开方得十六尺即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较八尺为一率长二十四尺为二率截阔十六尺内减上阔十二尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截之长也此法亦系一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙丁斜方形甲乙长二十四尺与丁戊等甲丁为上阔十二尺乙丙为下阔二十尺甲己庚丁斜方形为截积一百六十八尺是故丁戊与戊丙之比应同于丁辛与辛庚之比然而无丁辛
之数故将截积倍之爲丁辛截长与甲丁己庚上中两阔之和相乘之长方形为三率所得四率即辛庚上中两阔之较与甲丁己庚上中两阔之和相乘之长方形也又辛庚上中两阔之较与甲丁己庚上中两阔之和相乘之积与甲丁己庚上中两阔之数各自乘相减之余积等试依己庚度作壬癸子丑一大正方形又依甲丁度作壬寅卯辰一小正方形两正方形相减所余为寅癸子丑辰卯磬折形引而长之遂成寅癸巳午长方形其寅癸即上中两阔之较其癸己即上中两阔之和故所得四率长方形积与寅癸子丑辰卯磬折形之积等今于甲丁自乘之壬寅卯辰小正方形外加寅癸子丑辰卯磬折形即得巳庚自乘之壬癸子丑大正方形故开方而得已庚为所截之阔也既得所截之阔则以己庚与甲丁相减余辛庚而戊丙与丁戊之比卽同于辛庚与丁辛之比也
又法将斜方形增作勾股形算之以上阔十二尺与下阔二十尺相减余八尺为一率长二十四尺为二率上阔十二尺为三率求得四率三十六尺为斜方形上所增小勾股形之股与斜方形之长二十四尺相加得六十尺为斜方形与所增小勾股形相并所成之大勾股形之股乃以上阔十二尺为小勾所得三十六尺为小股相乘得四百三十二尺折半得二百一十六尺为斜方形上所增之小勾股形积与截积一百六十八尺相加得三百八十四尺为所截之勾股形积乃用勾股形从上段截勾股积法算之而得所截之阔焉如图甲乙丙丁斜方形增作勾股形为壬乙丙其
上阔甲丁与下阔乙丙相减所余为戊丙以戊丙与丁戊之比同于甲丁与壬甲之比得壬甲为小勾股形之股以壬甲与甲乙相加得壬乙为大勾股形之股又壬甲丁勾股形积与甲己庚丁斜方形截积相加得壬己庚勾股形积即壬乙丙大勾股形从上段截壬己庚勾股形积也
设如不等边两直角斜方形长二十四尺上阔十二尺下阔二十尺今从下段截积二百一十六尺求截长阔各几何
法以长二十四尺为一率下阔二十尺内减上阔十二尺余八尺为二率截积二百一十六尺倍之得四百三十二尺为三率求得四率一百四十四尺乃以下阔二十尺自乘得四百尺内减所得四率一百四十四尺余二百五十六尺开方得一十六尺为所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较八尺为一率长二十四尺为二率下阔二十尺内减截阔十六尺余四尺为三率求得四率十二尺即所截下段之长也此与勾股形从下叚截斜方形积之理同前法从上段截积所得四率为上阔与截阔各自乘相减之余积上阔小而截阔大故以上阔自乘与所得四率相加开方而得截阔此法从下段截积所得四率为下阔与截阔各自乘相减之余积下阔大而截阔小故以下阔自乘内减所得四率开方而得截阔也
设如梯形长十二丈上阔五丈下阔十一丈今从上段截积二十四丈问截长阔各几何
法以长十二丈为一率上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为二率截积二十四丈倍之得四十八丈为三率求得四率二十四丈乃以上阔五丈自乘得二十五丈与所得四率二十四丈相加得四十九丈开方得七丈即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较六丈为一率长十二丈为二率截阔七丈内减上阔五丈余二丈为三率求得四率四丈即所截之长也此法亦系一率与二率为线与线之比例三率与四率为面与面之比例也如图甲乙丙丁梯形甲戊长十二丈甲丁上阔五丈戊己庚辛俱相等乙丙下阔十一丈乙戊与己丙两段为上下两阔相减之较六丈甲壬癸丁小梯形为截积二十四丈是故甲戊总长与乙戊己丙上下两阔之较之比应同于甲庚截长与壬庚辛癸上中两阔之较之比然无甲庚之数故将截积倍之为甲庚截长与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之长方形为三率所得四率即壬庚辛癸上中两阔之较与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之长方形也又壬庚辛癸上中两阔之较与甲丁壬癸上中两阔之和相乘之积与甲丁壬癸上中两阔之数各自乘相减之余积等故以所得四率长方形积与甲丁自乘方积相加即得壬癸自乗方积开方而得壬癸为所截之阔也既得壬癸截阔则以上下两阔相减之乙戊己丙两叚与甲戊总长之比卽同于上中两阔相减之壬庚辛癸两叚与甲庚截长之比矣
又法将梯形增作三角形算之以上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为一率长十二丈为二率上阔五丈为三率求得四率十丈为梯形上所増小三角形之中长与梯形之长十二丈相加得二十二丈为梯形与所増小三角形相并所成之大三角形之中长乃以上阔
五丈为底所得十丈为中长相乗得五十丈折半得二十五丈为梯形上所増之小三角形积与截积二十四丈相加得四十九丈为所截之三角形积乃用三角形从上段截三角积法算之而得所截之阔焉如图甲乙丙丁梯形增作三角形为子乙丙其上阔甲丁与下阔乙丙相减所余为乙戊己丙而乙戊己丙与甲戊之比即同于甲丁与子丑之比得子丑为小三角形之中长以子丑与等甲戊之丑寅相加得子寅为大三角形之中长又子甲丁三角形积与甲壬癸丁斜方形截积相加得子壬癸三角形积即子乙丙大三角形从上段截子壬癸三角形积也
设如梯形长十二丈上阔五丈下阔十一丈今自下叚截积七十二丈问截长阔各几何
法以长十二丈为一率上阔五丈与下阔十一丈相减余六丈为二率以截积七十二丈倍之得一百四十四丈为三率求得四率七十二丈乃以下阔十一丈自乗得一百二十一丈内减所得四率七十二丈余四十九丈开方得七丈即所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减之较六丈为一率长十二丈为二率截阔七丈与下阔十一丈相减余四丈为三率求得四率八丈即所截之长也如图甲乙丙丁梯形甲戊长十二丈甲丁上阔五丈与戊己等乙丙下阔十一丈乙戊与己丙两段为上下两阔相减之较六丈庚乙丙辛梯形为截积七十二丈是故甲戊总长与乙戊己丙上下两阔之较之比应同于庚壬截长与乙壬癸丙中下两阔之较之比然无庚壬之数故将截积倍之为庚壬截长与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之长方形为三率所得四率卽乙壬癸丙中下两阔之较与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之长方形也又乙壬癸丙中下两阔之较与庚辛乙丙中下两阔之和相乗之积与庚辛乙丙中下两阔之数各自乗相减之余积等故以所得四率长方形积与乙丙自乗方积相减即余庚辛自乗方积开方而得庚辛为所截之阔也
设如梯形长一百二十尺上阔二十尺下阔八十尺今自一边截勾股积四百五十尺问截长阔各几何
法以长一百二十尺为一率上阔二十尺与下阔八十尺相减余六十尺折半得三十尺为二率截积四百五十尺倍之得九百尺为三率求得四率二百二十五尺开方得一十五尺为所截之阔既得所截之阔则以上下两阔相减折半之三十尺为一率长一百二十尺为二率截阔十五尺为三率求得四率六十尺为所截之长也如图甲乙丙丁梯形甲丁上阔二十尺与戊己等乙丙下阔八十尺甲戊长一百二十尺乙戊为上下阔相减折半之三十尺庚乙辛为所截勾股积四百五十尺甲乙戊勾股形与庚乙辛勾股形为同式形故立算与勾股形从上段截勾股积之法相同也
设如梯形长一百二十尺上阔四十尺下阔八十尺今自一边截斜方形积四千二百尺问截上阔下阔各几何
法以上阔四十尺与下阔八十尺相减余四十尺折半得二十尺为所截斜方形上阔与下阔之较又以截积四千二百尺倍之得八千四百尺以长一百二十尺余之得七十尺为所截斜方形上阔与下阔之和内减上阔下阔之较二十尺余五十尺折半得二十五尺为上阔加较二十尺得四十五尺为下阔也如图甲乙丙丁梯形甲丁为上阔四十尺与戊己等乙丙为下阔八十尺甲戊为长一百二十尺甲乙辛庚为所截斜方形积四千二百尺倍之成壬癸辛庚长方形乙戊为所截斜方形上下两阔之较今以甲戊长除壬癸辛庚长方积得癸辛为上下两阔之和内减乙戊上下两阔之较余癸乙与戊辛折半得戊辛与甲庚等即所截斜方形之上阔加乙戊上下两阔之较得乙辛即所截斜方形之下阔也
设如三角形小腰边二十丈大腰边三十四丈底边四十二丈面积三百三十六丈今欲平分面积一半与原三角形为同式形问所截三边各几何法以原面积三百三十六丈为一率原面积折半得一百六十八丈为二率底边四十二丈自乗得一千七百六十四丈为三率求得四率八百八十二丈开方得二十九丈六尺九寸八分四厘八豪有余为所截之底边乃以全底边四十二丈为一率大腰边三十四丈为二率所截之底边二十九丈六尺九寸八分四厘八豪有余为三率求得四率二十四丈零四寸一分六厘二豪有余为所截之大腰边仍以全底边四十二丈为一率小腰边二十丈为二率所截之底边二十九丈六尺九寸八分有余为三率求得四率十四丈一尺四寸二分一厘三豪有余即所截之小腰边也如图甲乙丙三角形平分面积一半成丁戊丙三角形此两三角形既为同式形则甲乙丙三角形之面积与丁戊丙三角形之面积之比同于各边各自乗之正方面积与所截各边各自乗之正方面积之比故以甲乙丙三角形面积为一率丁戊丙三角形面积为二率乙丙底边自乗如乙己庚丙正方面为三率所得四率即戊丙截底自乗如戊辛壬丙正方面故开方得戊丙也既得戊丙则乙丙与甲丙之比同于戊丙与丁丙之比又乙丙与甲乙之比同于戊丙与丁戊之比俱为相当比例四率也若取原积三分之一或几分之几者则将其积以其分数归之比例并同
又法以乙丙边四十二丈自乗折半开方即得戊丙边甲丙边自乗折半开方即得丁丙边甲乙边自乗折半开方即得丁戊边此即面与面比线与线比之理也
又法设全积为一尺半积为五十寸乃以五十寸开方得七寸零七厘一豪零六忽而以各边之数乗之即得各边所截之数葢全积为一尺其全边亦为一尺半积为五十寸其截边为七寸零七厘一豪零六忽今以一尺与全边之比即同于七寸零七厘一豪零六忽与截边之比又因一尺为一率故省一率之除止用乗而即得也若取几分之一者皆仿此类推之
设如大小两正方面积共四百一十尺大正方边比小正方边多六尺问两正方边及面积各几何法以两正方面积共四百一十尺倍之得八百二十尺又以多六尺自乗得三十六尺与倍共积八百二十尺相减余七百八十四尺开方得二十八尺为大小两正方边之和加大正方比小正方每边所多六尺得三十四尺折半得十七尺为大正方之边内减六尺余十一尺为小正方之边以大正方边十七尺自乗得二百八十九尺为大正方之面积以小正方边十一尺自乗得一百二十一尺为小正方之面积也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙为两正方边之较试以两正方之共积倍之则得甲辛壬庚一正方形仍余癸子丙戊两正方边之较自乗之一正方形葢癸丑壬己正方形与甲乙丙丁正方形等乙辛丑子正方形与丁戊己庚正方形等其中叠一癸子丙戊正方形即戊丙较自乗之积故以戊丙较自乗与所倍共积相减即得甲辛壬庚正方形开方得甲庚为两正方边之和加较折半得丁丙为大正方边内减戊丙较得丁戊为小正方边既得方边则各自乗即得各面积矣
又法以两正方边之较六尺自乗得三十六尺与两正方共积四百一十尺相
减余三百七十四尺折半得一百八十七尺为长方积以两正方边之较六尺为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔十一尺为小正方之边加较六尺得十七尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形戊丙为两正方边之较以戊丙边较自乗得辛壬丙戊一正方形与共积相减余甲乙壬辛己庚磬折形如以癸乙壬辛长方形移于庚己子丑即戊甲癸子丑一长方形折半得丁戊子丑一长方形庚丑与戊丙等即长阔之较故用带纵较数开方法算之得丁戊阔即小方边加庚丑较得丁丑与丁丙等即大方边也
设如大小两正方面积共六百一十七尺大小两正方边共三十五尺问大小两正方边及面积各几何
法以两正方面积共六百一十七尺倍之得一千二百三十四尺又以两正方边共三十五尺自乗得一千二百二十五尺与倍共积一千二百三十四尺相减余九尺开方得三尺为大小两正方边之较与共边三十五尺相加得三十八尺折半得十九尺为大正方之边内减两正方边之较三尺余十六尺为小正方之边以大正方边十九尺自乗得三百六十一尺为大正方之面积以小正方边十六尺自乗得二百五十六尺为小正方之面积也如图甲乙丙丁一大正方形丁戊己庚一小正方形甲庚为两正方边之和戊丙为两正方边之较试以两正方之共积倍之则得甲辛壬庚正方形而多癸子丙戊较自乗之一正方形故以甲庚共边自乗得甲辛壬庚正方形与倍共积相减卽余癸子丙戊一小正方形开方得戊丙即两正方边之较与两正方边之和相加折半得丁丙为大正方边内减戊丙较得丁戊为小正方边旣得方边则各自乗卽得各面积矣
又法以两正方边之和三十五尺自乗得一千二百二十五尺内减两正方共积六百一十七尺余六百零八尺折半得三百零四尺为长方积以两正方边之和三十五尺为长阔和用带纵和数开方法算之得阔十六尺为小正方之边与共积三十五尺相减余十九尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形以共边自乗得壬癸子丑一正方形内减与甲乙丙丁大正方形相等之寅癸卯辰一正方形又减与戊己庚辛小正方形相等之午辰己丑一正方形余壬寅辰午与辰卯子己二长方形折半得壬寅辰午一长方形其壬午长与甲乙大方边等壬寅阔与戊己小方边等两正方之共边卽长阔之和故用带纵和数开方法算之得阔为小方边得长为大方边也
设如大小两正方形大正方边比小正方边多七尺大正方积比小正方积多三百四十三尺问大小两正方边各几何
法以大正方积比小正方积所多三百四十三尺用大正方边比小正方边所多七尺除之得四十九尺为大小两正方边之和加两正方边之较七尺得五十六尺折半得二十八尺为大正方之边与共边四十九尺相减余二十一尺为小正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形则壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之积引而长之成壬乙丑寅一长方形其壬乙阔即两正方边之较乙丑长卽两正方边之和故以壬乙两正方边之较除之得乙丑两正方边之和以乙丑与丁乙相加折半得乙丙为大正方形之边将乙丙与乙丑共边相减余丙丑与子癸等卽戊己为小正方形之边也
设如大小两正方形共边三十一尺大正方积比小正方积多一百五十五尺问大小两正方边各几何
法以大正方积比小正方积所多一百五十五尺用共边三十一尺除之得五尺为大小两正方边之较与共边三十一尺相加得三十六尺折半得十八尺为大正方之边与共边三十一尺相减余十三尺为小正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方
形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之甲壬癸子小正方形则壬乙丙丁子癸磬折形即大正方比小正方所多之积引而长之成壬乙丑寅长方形其乙丑长即两正方边之和其壬乙阔即两正方边之较故以乙丑两正方边之和除之得壬乙与乙丑相加折半得乙丙为大正方形之边以乙丙与乙丑相减余丙丑与子癸等即戊己为小正方形之边也
设如大小两正方形共积一百三十尺大正方积比小正方积多三十二尺问大小两正方边各几何法以大正方积比小正方积所多三十二尺与共积一百三十尺相减余九十八尺折半得四十九尺为小正方之积开方得七尺为小正方之边又以小正方积四十九尺与大正方积比小正方积多三十二尺相加得八十一尺为大正方之积开方得九尺为大正方之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形则甲乙癸壬子丁磬折形即大正方比小正方所多之积以此磬折形积与两正方形之共积相减余壬癸丙子与戊己庚辛两小正方形折半得戊己庚辛一小正方形故开方得戊己为小方边又以戊己庚辛相等之壬癸丙子小正方形积与甲乙癸壬子丁磬折形积相加即得甲乙丙丁大正方形故开方得甲乙为大方边也
设如不等三正方形共积三百八十一尺大方边比次方边多三尺次方边比小方边多三尺问三方边各几何
法以大方边比次方边所多三尺与次方边比小方边所多三尺相加得六尺为大方边比小方边所多之较自乗得二十六尺又以次方边比小方边所多三尺自乗得九尺两数相并得四十五尺与共积三百八十一尺相减余三百三十六尺三因之得一千零八尺为长方积以大方边比小方边多六尺倍之得十二尺又以次方边比小方边多三尺倍之得六尺两数相并得十八尺为长阔之较用带纵较数开方法算之得阔二十四尺三归之得八尺为小正方形之边加次方边比小方边多三尺得十一尺为次正方形之边又加大方边比次方边多三尺得十四尺为大正方形之边也如图甲乙丙丁一大正方形戊己庚辛一次正方形壬癸子丑一小正方形试于甲乙丙丁大正方形内作与壬癸子丑相等之寅乙卯辰小正方形则辰己即大正方边比小正方边所
多之较又于戊己庚辛次正方形内作与壬癸子丑相等之午己未申小正方形则申酉即次正方边比小正方边所多之较以辰己自乗得辰己丁戌一正方形以申酉自乗得申酉辛亥一正形形以所得两正方形之共积与三正方形之共积相减则余寅乙卯辰午己未申壬癸子丑三小正方形及甲寅辰戌辰卯丙己戊午申亥申未庚酉四长方形又试将此所余三小正方形及四长方形之积共作壬癸干坎一长方形加三倍卽成艮癸干震一大长方形其艮癸阔为壬癸小方边之三倍与癸巽等巽干卽长阔之较而巽离乃辰己与甲寅相并之数为大方边比小方边所多之较之二倍离干乃申酉与戊午相并之数为次方边比小方边所多之较之二倍故以大方边与小方边之较倍之得巽离又以次方边与小方边之较亦倍之得离干巽离与离干相并得巽干为长阔之较用带纵较数开方法算之得艮癸阔三归之得壬癸为小正方形之边加次方边比小方边所多之较卽得次正方形之边又加大方边比次方边所多之较卽得大正方形之边也
设如甲乙丙丁不等边无直角四边形甲乙边十尺甲丁边十七尺丁丙边二十八尺乙丙边三十五尺自丁角至乙角斜线二十一尺问面积几何法以丁乙斜线分为甲乙丁丁乙丙两三角形算之先用甲乙丁三角形求得甲戊埀线八尺与乙丁二十一尺相乗折半得八十四尺为甲乙丁三角形之面积又用丁乙丙三角形求得丁己垂线一十六尺八寸与乙丙三十五尺相乗折半得二百九十四尺为丁乙丙三角形之面积以两三角形之面积相并得三百七十八尺卽甲乙丙丁四边形之面积也凡无法多边形皆任以两角作对角斜线分为几三角形算之旧术四不等边形分为两段一为勾股形一为斜方形葢必有二平行线然后可算若此法非二平行线者则必分为丁己丙与丁甲庚二勾股形甲乙己庚一斜方然后可算不如分为两三角形算之为简防而密合也
设如甲乙丙三角形面积三百八十四尺乙丙底边二十二尺今自甲角将原积平分为二问每分底边几何
法以乙丙底边三十二尺折半得十六尺卽每分底边之数也葢自甲至乙丙线上作甲戊垂线则甲丁乙甲丁丙两三角形同以甲戊为髙即为二平行线
【积为】内同底两三角形其面积【见几何原本三卷第十节】必等故甲丁乙甲丁丙两三角形相等而各得甲乙丙三角形积之一半也如分三分或四分者仿此类推
设如甲乙丙丁二平行线无直角四边形甲乙边八丈丙丁边十二丈面积一百六十丈今将原积分为四分问每分截边几何
法以甲乙八丈与丙丁十二丈相加得二十丈四归之得五丈即每分所截之边乃自甲量至戊得五丈自戊至丙作戊丙线成甲戊丙三角形为第一分又从丙量至己得五丈自戊至己作戊己线成丙戊己三角形为第二分又从己量至庚得五丈自戊至庚作戊庚线成己戊庚三角形为第三分又自庚至丁余二丈自戊至乙余三丈庚丁与戊乙相并亦得五丈成戊庚丁乙斜方形即为第四分也葢甲乙与丙丁二线既为平行自乙至辛作乙辛垂线则三三角形与一斜方形同以乙辛为高其边线既等则所得各形之面积亦必相等而各为四边形面积之四分之一也
设如甲乙丙丁戊不等边无直角五边形面积一十九丈九十八尺甲乙边二丈五尺乙丙边三丈九尺丙丁边六丈丁戊边一丈五尺甲戊边四丈一尺自甲角至丙角斜线五丈六尺自甲角至丁角斜线五丈二尺今自甲角将面积平分为三分问截各边几何
法以面积十九丈九十八尺三分之每分得六丈六十六尺乃以甲丙甲丁二斜线分为甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形算之用三角形求面积法求得甲乙丙三角形面积四丈二十尺甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺甲丁戊三角形面积二丈三十四尺因甲乙丙甲丁戊两三角形面积俱不足一分所应得之数而甲丙丁三角形面积又过一分所应得之数故先以甲乙丙三角形面积四丈二十尺与每分所应得六丈六十六尺相减余二丈四十六尺卽第一分应得甲乙丙三角形面积外又截甲丙丁三角形以补之之数乃以甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺为一率所应截之二丈四十六尺为二率丙丁边六丈为三率求得四率一丈零九寸八分有余为甲丙丁三角形补甲乙丙三角形分数之边如丙己乃自甲至己作甲己线成甲乙丙己不等边四边形为第一分又以甲丙丁三角形面积一十三丈四十四尺为一率每分所应得六丈六十六尺为二率丙丁边六丈为三率求得四率二丈九尺七寸三分有余为甲丙丁三角形内应得一分之边如己庚又自甲至庚作甲庚线成甲己庚三角形为第二分余甲庚丁戊不等边四边形即第三分此三分之面积俱为相等也葢两形同髙者其面积之比例同于其底边之比例故以甲丙丁三角形面积与甲丙己三角形截积之比同于丙丁与丙己之比而得甲丙己三角形面积为二丈四十六尺与甲乙丙三角形面积四丈二十尺相加得六丈六十六尺又甲丙丁三角形面积与甲己庚三角形面积之比同于丙丁与己庚之比而得甲己庚三角形面积六丈六十六尺则所余甲庚丁戊四边形面积亦必为六丈六十六尺若以甲丁戊三角形面积二丈三十四尺与每分六丈六十六尺相减余四丈三十二尺卽甲庚丁三角形面积乃以甲丙丁三角形面积与甲庚丁三角形面积之比同于丙丁与庚丁之比而得庚丁一丈九尺二寸八分有余与丙己己庚相加得六丈以合丙丁原数也
御制数理精蕴下编卷十九
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