- 卷三十
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<子部,天文算法类,算书之属,御制数理精蕴>
钦定四库全书
御制数理精蕴下编卷三十
体部八
各体权度比例
堆垜
各体权度比例
数学至体而备以其综线面之全而尽度量衡之用也葢线面存乎度体则存乎量求轻重则存乎衡是以又有权度之比例其法防以诸物制爲正方其边一寸其积千分较量豪厘俾有定率然后凡物知其体积即知其重轻知其重轻即知其体积而权度无遁情也且体之爲质不一边积等者轻重不同轻重等者边积不同皆有互相比例之法而各体无混淆也
赤金十六两八钱
纹银九两
水银十二两二钱八分
红铜七两五钱
白铜六两九钱八分
黄铜六两八钱
纲六两七钱三分
生铁六两七钱
熟铁六两七钱三分
高锡六两三钱
六锡七两六钱
倭铅六两
黑铅九两九钱三分
白玉二两六钱
金珀八钱
白玛瑙二两三钱
红玛瑙二两二钱
砗磲一两五钱二分
青石二两八钱八分
白石二两五钱
红石二两五钱六分
象牙一两五钱四分
牛角一两九钱
沉香八钱二分
白檀八钱三分
紫檀一两零二分
花梨八钱七分
楠木四钱八分
黄杨七钱五分
乌木一两一钱
油八钱三分
水九钱三分
设如有金一方每边三寸问重几何
法以一寸爲一率金寸方重一十六两八钱爲二率今所设之金方每边三寸自乘再乘得二十七寸爲三率求得四率四百五十三两六钱即金之重数也此法葢因金方每边三寸则体积爲二十七寸以一寸与一十六两八钱之比同于二十七寸与四百五十三两六钱之比也
设如有银一方每边二寸问重几何
法以一寸爲一率银寸方重九两爲二率今所设之银方每边二寸自乘再乘得八寸爲三率求得四率七十二两即银之重数也此法葢因银方每边二寸则体积爲八寸以一寸与九两之比同于八寸与七十二两之比也
设如黄铜一条重三百七十四两问积几何
法以黄铜寸方重六两八钱为一率一寸爲二率今所设黄铜重三百七十四两爲三率求得四率五十五寸即黄铜之积也
设如熟铁一块重十六两欲镕爲正方体问毎边几何
法以熟铁寸方重六两七钱三分爲一率一寸爲二率今铁重十六两爲三率求得四率二寸三百七十七分四百一十四厘有余开立方得一寸三分三厘有余即每边之数也
设如水银一匣但知匣阔四寸长六寸高三寸五分问内水银重数几何
法以匣阔四寸与长六寸相乘得二十四寸又以高三寸五分再乘得八十四寸爲水银一匣之积数爰以一寸爲一率水银寸方重一十二两二钱八分爲二率今所得之水银一匣之积数八十四寸爲三率求得四率一千零三十一两五钱二分即水银之重数也
设如白玉一方重九十三两六钱但知阔比高多一寸长比阔多三寸问高阔长各几何
法以玉寸方重二两六钱爲一率一寸爲二率今所设玉重九十三两六钱爲三率求得四率三十六寸爲长方体积乃以阔比高多一寸长比阔多三寸爲带两纵之较用带两纵不同较数开立方法算之得高二寸加阔比高多一寸得三寸爲阔再加长比阔多三寸得六寸爲长也
设如金与银镕于一处共得正方体积二十七寸重二百七十四两二钱问金与银各几何
法以共积二十七寸以银寸方重九两乘之得二百四十三两与共重二百七十四两二钱相减余三十一两二钱乃以银寸方重九两与金寸方重十六两八钱相减余七两八钱爲一率金一寸爲二率今相减所余之三十一两二钱爲三率求得四率四寸即金之寸数于共积二十七寸内减去四寸余二十三寸即银之寸数也以金四寸与金寸方重十六两八钱相乘得六十七两二钱以银二十三寸与银寸方重九两相乘得二百零七两两数相并得二百七十四两二钱仍与原数相合也此即和较比例之法葢银二十七寸则其重数应得二百四十三两与共重二百七十四两二钱相减余三十一两二钱即金重于银之数而金每寸比银毎寸多七两八钱故多七两八钱则金有一寸今多三十一两二钱则知金有四寸也若欲先得银数则仍以七两八钱爲一率一寸爲二率将共积二十七寸以金寸方重十六两八钱乘之得四百五十三两六钱内减共重二百七十四两二钱余一百七十九两四钱爲三率求得四率二十三寸即银之寸数与共积二十七寸相减余四寸即金之寸数葢少七两八钱则银有一寸今少一百七十九两四钱则知银有二十三寸也
设如金镶玉炉一座共重四十六两七钱问金玉各几何
法用盛水器皿一件置炉其中实之以水取出炉看水浅几何设如盛水器皿系正方形每边五寸取出炉水浅五分即以毎边五寸自乘得二十五寸以水浅五分爲高再乘得一十二寸五百分爲炉之体积即金玉之共积爰以共积一十二寸五百分以玉寸方重二两六钱乘之得三十二两五钱与共重四十六两七钱相减余一十四两二钱乃以玉寸方重二两六钱与金重一十六两八钱相减余一十四两二钱爲一率金一寸爲二率今相减所余一十四两二钱爲三率求得四率一寸爲金之寸数于共积一十二寸五百分内减去一寸余十一寸五百分爲玉之寸数金一寸重得十六两八钱玉十一寸五百分与玉寸方重二两六钱相乘得二十九两九钱爲玉之重数两数相并共得四十六两七钱仍与原数相合也如欲先得玉数则仍以一十四两二钱爲一率一寸爲二率将所得共积一十二寸五百分以金寸方重十六两八钱乘之得二百一十两内减共重四十六两七钱余一百六十三两三钱爲三率求得四率一十一寸五百分爲玉之寸数与共积一十二寸五百分相减余一寸即金之寸数也
设如空心金 【率】球一个外径一尺二寸厚三分问重几
何法以 【球】金球外径一尺二寸自乘再
乘得一尺七百二十八寸乃用 【积】方边球径相等方积球积不同之定率比例
以方积一○○○○○○○○○ 【五】爲
一率球积五二三五九八七七五 【二】爲二率今球径自乘再乘之正方体积一尺七百二十八寸爲三率求得四率九百零四寸七百七十八分六百八十【三】三厘有余爲球之全体积又以厚三分倍之得六分与外径一尺二寸相减余一尺一寸四分爲空心径自乘再乘得一尺四百八十一寸五百四十四分仍以方积一○○○○○○○○○爲一五九八七七五爲二率今空心径自乘再乘之正方体积一尺四百八十一寸五百四十四分爲三率求得四率七百七十五寸七百三十四分六百二十三
厘有余爲 【边】球内空心虚积两积相减余一百二十九寸零四十四分零六十
厘有余爲空 【较】心球体积乃以一寸爲一率金寸方重十六两八钱爲二率空心球体积一百二十九寸零四十四分零六十厘有余爲三率求得四率二千一百六十七两九钱四分有余即空【二】心金球体之
重数也设如正方青石一块红石一块红石比青石毎边多二寸体积多五十六寸问二石之边数及重数
各几何法以红石比青石每边多二寸爲边较体积多五十六寸爲积较用大小二立方有边较积较求边法算之以寸自乘再乘得八寸与积较五十六寸相减余四十八寸三归之得一十六寸以边较二寸除之得八寸爲长方面积以边较二寸爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔二寸即青石之边数加红石比青石每边多二寸得四寸即红石之边数乃以一寸爲一率红石寸方重二两五钱六分爲二率红石毎边四寸自乘再乘得六十四寸爲三率求得四率一百六十三两八钱四分即红石之重数也又以一寸爲一率青石寸方重二两八钱八分爲二率青石每边二寸自乘再乘得八寸爲三率求得四率二十三两零四分即青石之重数也此法因二石皆爲正方体故用大小二立方有边较积较求边之法求得二石之边自乘再乘即得二石之体积用寸方重数定率以比例之即得二石之重数也
设如有正方水桶三个第一桶每边一尺第三桶比第二桶每边多二寸第三桶体积与第一桶第二桶两桶之共积相等问三桶水之重数各几何法以一寸爲一率水寸方重九钱三分为二率第一桶正方每边一尺自乘再乘得一千寸爲三率求得四率九百三十两爲第一桶水之重数又以第三桶比第二桶每边多二寸爲边较以第一桶体积一千寸爲第三桶比第二桶所多之积较用大小二立方有边较积较求边法算之以边较二寸自乘再乘得八寸与积较一千寸相减余九百九十二寸三归之得三百三十寸六百六十六分六百六十六厘有余以边较二寸除之得一尺六十五寸三十三分三十三厘有余爲长方面积以边较二寸爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔一尺一寸八分九厘有余爲第二桶之边数加较二寸得一尺三寸八分九厘有余爲第三桶之边数乃以一寸爲一率水寸方重九钱三分爲二率第二桶每边一尺一寸八分九厘有余自乘再乘得一尺六百八十寸九百二十四分有余爲三率求得四率一千五百七十两九钱九分三厘有余即第二桶水之重数又以一寸爲一率水寸方重九钱三分爲二率第三桶每边一尺三寸八分九厘有余自乘再乘得二尺六百七十九寸八百二十六分有余爲三率求得四率二千四百九十二两二钱三分八厘有余即第三桶水之重数也此法葢因第三桶之体积与第一第二两桶之共积相等则第一桶体积一千寸即第三桶体积比第二桶体积所多之较也而第三桶比第二桶每边多二寸故用大小二立方有边较积较求边法求得二桶之边数自乘再乘即得二桶之体积用寸方重数定率以比例之即得二桶水之重数也
设如金 【二】球一个径二寸二分六厘今欲作一 【寸】银
球其重 【七】与金球等问
径几何法以金方边一寸爲一率银方边一寸二分三厘爲二率今所设之金球径二寸二分六厘爲三率求得四率
二寸七分七厘有 【分】余即银球之径数也此法葢因各色俱爲正方体其重数俱设爲十六两八钱与金寸方等故金方边爲一寸银方边爲一寸二分三厘水银方边爲一寸一分一厘铅方边爲一寸一分九厘铜方边爲一寸三分一厘铁方边爲一寸三分六厘锡方边爲一寸三分九厘石方边爲一寸八分九厘水方边爲二寸六分四厘油方边爲
四厘皆系边与边之比例故 【数】球径【也】与球径之比同于方边与方边之比而爲相当比例四
率也设如青石一块正方一尺二寸重四千九百七十六两六钱四分今欲作与青石一样大熟铁一块问重
几何法以青石寸方重二两八钱八分爲一率熟铁寸方重六两七钱三分爲二率今所设之青石重四千九百七十六两六钱四分爲三率求得四率一万一千六百二十九两四钱四分即与青石一样大熟铁之重
堆垜
堆垜之法虽爲体属而一面平堆与方圆束形实与面同方者即平方法其余则用梯形法以其每层皆递加之数也束形亦与一面平堆同法葢圆者以六包一方者以八包一三角者以九包一有边求积有周求积其理皆相通也若夫以方面层累者则爲四角尖堆以三角面层累者则爲三角尖堆此二者每层之边皆同爲递加一数每层之面积则三角爲按位相加之数四角爲按位自乘相加之数其傍皆崚嶒不平故与体亦微异也至于以长方面层累者则爲长方堆以全堆而减去上截者则爲半堆总以尖堆之法御之分之以立其法合之以明其理一一按法解之于后
设如一面直角尖堆底十二求积几何
法以底十二加尖上一得十三与层数十二相乘得一百五十六折半得七十八即一面直角尖堆之积也如图甲乙丙一面直角尖堆乙丙爲底十二其甲乙高亦即爲十二层其每层皆加一爲挨次递加之数成直角三角形试另作一丁戊己直角三角形合于原形之侧则成甲乙丁戊长方形其高即层数其底即首数与末数相加之数其积即总数加一倍之数【见算法原本二卷第三十二节】故以底十二与上尖一相加与层数十二相乘得长方积析半即得一面直角尖堆之积也此法与勾股求积之法异者葢勾股之上尖爲一防无数可纪此上尖一即其上之阔成斜方形故用斜方求积之法以上阔与下阔相加以高数乘之折半而得积也
设如一面直角尖堆积二十八求底几何
法以一面直角尖堆积二十八倍之得五十六爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔七即一面直角尖堆之底数也如图甲乙丙一面直角尖堆积倍之则成甲乙丁戊长方形积其乙丁长比甲乙阔多一故用带纵较数开平方法算之得甲乙与乙丙等爲一面直角尖堆之底阔也
设如一面三角尖堆底七求积几何
法以底七加上尖一得八与层数七相乘得五十六折半得二十八即一面三角尖堆之积也如图甲乙丙一面三角尖堆乙丙爲底七其甲乙高亦即爲七层其每层皆加一爲挨次递加之数成等边三角形试另作一丁戊巳等边三角形合于原形之侧则成甲乙丁戊斜方形其高即层数其底即首数与末数相加之数其积即总数加一倍之数故以底七与上尖一相加与层数七相乘得斜方积折半得一面三角尖堆之积也
设如一面三角尖堆积三十六求每边几何
法以一面三角尖堆积三十六倍之得七十二爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔八即一面三角尖堆每一边之数也如图甲乙丙一面三角尖堆积倍之则成甲乙丁戊斜长方积若直排之即与直角长方积等故其求边之法亦与前直角尖堆求边之法同也
设如一面梯形堆上五下九求积几何
法以上五与下九相加得十四又视上五以上至一虚四位即以所虚之四与下九相减余五爲层数与上下相加之十四相乘得七十折半得三十五即一面梯形堆之积也如图甲乙丙丁一面梯形堆甲丁爲上五乙丙爲下九甲乙爲层数五【凡自一递加之数其末数即位数今首数爲五计自一己截去四位故于末数内减去所少之位即爲今之所有之位见算法原本二巻第三十二节】试另作一戊己庚辛梯形合于原形之侧则成甲乙己庚斜方形其底即上数与下数相加之数其高即层数其积即总数加一倍之数故以上数与下数相加与层数相乘折半即得一面梯形堆之积也
又法以底九用一面三角尖堆求积法求得总积四十五又以上五内减一余四爲上虚小一面三角尖堆之底亦用三角尖堆求积法求得上虚小一面三角尖堆积十两积相减余三十五即一面梯形堆之积也如图甲乙丙丁一面梯形堆先求得戊乙丙三角尖堆总积又求得戊己庚上虚小三角尖堆积相减即得甲乙丙丁梯形堆之积也如有上阔或下阔与层数求积者则于层数内减一余爲上下阔之较与上阔相加则得下阔与下阔相减则得上阔皆用有上下阔之法算之而得积也
设如一面梯形堆积三十五下九问上几何
法以下九用一面三角尖堆求积法求得总积四十五内减梯形积三十五余十爲上虚小一面三角尖堆积用一面三角尖堆有积求边法求得每边四加一得五即一面梯形堆之上阔也如图甲乙丙丁一面梯形堆先以乙丙下九求得戊乙丙三角尖堆总积内减甲乙丙丁梯形堆积余戊己庚上虚小一面三角尖堆积乃用有积求边法求得己庚四因每层埃次递加一故加一即得甲丁五爲上阔也如有上阔求下阔者则以上阔内减一爲上虚小三角尖堆之底求得上虚小三角尖堆积与梯形积相加爲三角尖堆总积亦用有积求边法算之即得下阔也
设如一面梯形堆积三十五上阔比下阔少四问上下阔各几何
法以梯形堆积三十五倍之得七十又以上下阔之较四加一得五爲层数以除倍积七十得十四爲上下阔之和加较四得十八折半得九爲下阔内减较四余五爲上阔也如图甲乙丙丁一面梯形堆积每层挨次加一今甲丁上阔比乙丙下阔少四即知甲乙爲五层矣故以甲乙丙丁梯形积倍之则成甲乙戊己斜方积以甲乙五层除之得乙戊爲上下阔之和加上下阔之较折半即得下阔于下阔内减上下阔之较即得上阔也如有积与上下阔之和求上下阔者则将积数加一倍以上下阔之和除之即得层数内减一即得上下阔之较或有积与层数求上下阔者则于层数内减一即得上下阔之较以层数除倍积即得上下阔之和既有较有和即得上下阔矣
设如一面六角堆每边六求积几何
法以一面六角堆分作六三角尖堆算之以每边六减一余五爲每一面三角尖堆之底与毎边六【即底加一也】相乘得三十折半得十五爲每一面三角尖堆积六因之得九十加中心一得九十一即一面六角堆之积也如图甲乙丙丁戊己一面六角堆六分之则成甲庚辛类六三角尖堆而余中心一其每一三角尖堆之甲庚一边比六角堆之甲己一边少一故以六角堆之每一边内减一即得三角尖堆之每一边而求得一面三角尖堆积六因之再加中心一即得一面六角堆之总积也
设如一面六角堆积九十一求每边几何
法以一面六角堆积九十一减中心一余九十六归之得十五爲一面三角尖堆积用一面三角尖堆有积求边法算之得每边五加一得六即六角堆之每一边也如图甲乙丙丁戊己一面六角堆积先减去中心一以六归之则得甲庚辛一三角尖堆积其三角尖堆之甲庚一边比六角堆之甲己一边少一故用一面三角尖堆有积求边法求得一边再加一爲一面六角堆之每一边也此即算书所谓圆束也本以六包一不能成圆凡云圆者皆六边也
周四十求积几何
法以外周四十加四得四十四四归之得十一爲方束每一边之数自乘得一百二十一即方束之积也如图甲乙丙丁方束其四隅之四各爲两边所同用故必以外周加四以四归之始得甲乙每一边之数以一边自乘即爲方束之积数也
又法以外周四十加八得四十八与外周四十相乘得一千九百二十十六除之得一百二十加中心一得一百二十一爲方束之积也葢方束以八包一其外周所包之数亦必以八递加爲超位平加之数如甲乙丙丁方束除却中心之一最内一层爲八第二层爲十六第三层爲二十四第四层爲三十二第五层爲四十毎层皆加八爲超位平加之数引而长之成戊己庚辛梯形外周四十即梯形之底内周八即梯形之上阔如以首数八与末数四十相加得四十八用层数五乘之折半即得总数【见算法原本二卷第三十二节】然其层数之五乃系外周四十用八归所得之数今以内周八与外周四十相加即与外周四十栒乘是未用八归故将相乘所得之数必以八归又以二归【即折半】始得总数夫先用八归后用二归即与用十六归除等【二与八相因得一十六合两次除爲一次除】故以十六归除得总数再加中心一即得方束之积也又按第一法以外周四十加四以四归之得方束之每一边是外周加四则得每边之四倍若以外周加四自乘必得方束积之十六倍而以十六归除亦即得方束之积今以外周加八与外周相乘成长方形则其长比毎边之四倍多四其阔比每边之四倍少四其积必爲方束积之十六倍而少十六以十六归除则得方束积而少一故加一而得方束积也此方束毎边十一系奇数故有中心之一若方束毎边系偶数者则无中心之一详见下法
设如方束外周三十六求积几何
法以外周三十六加四得四十四归之得一十爲方束毎一边之数自乘得一百即方束之积也
又法以外周三十六加八得四十四与外周三十六相乘得一千五百八十四十六除之得九十九加一得一百爲方束之积也此方束每边系偶数无中心一其最内一层爲四其外周三十六用八归之则得四层半然其立法亦与前法同乘除得数仍加一者葢以外周加四则得每边之四倍若以外周加四自乘必得方束积之十六倍而以十六归除亦即得方束之积今以外周加八与外周相乘成长方形则其长比每边之四倍多四其阔比每边之四倍少四其积必爲方束积之十六倍而少十六以十六归除则得方束积而少一故加一而得方束积也
设如方束积一百求外周几何
法以方束积一百开平方得一十四因之得四十内减四余三十六即方束外周之数也如图甲乙丙丁方束开方则得甲乙一边前法以外周加四四归之而得一边此法以一边四因之减四而即得外周也
又法以方束积一百内减一余九十九以十六乘之得一千五百八十四爲长方积以八爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十六即方束之外周数也此即方束有外周求积之法而转用之前法以外周加八与外周相乘十六除之再加一而得积此法则以积数减一余用十六乘之以八爲长阔之较用带纵开方得阔而爲外周也
设如三棱束外周二十七求积几何
法以外周二十七加三得三十三归之得一十爲三棱束每一边之数用一面三角尖堆有边求积法以每边一十加一得一十一与每边一十相乘得一百一十折半得五十五即三棱束之积也如图甲乙丙三棱束其三角之三各爲两边所同用故必以外周加三以三归之始得甲乙每一边之数即如一面三角尖堆之每一边故用一面三角尖堆有边求积法算之即得三棱束之积也又法以外周二十七加九得三十六与外周二十七相乘得九百七十二以十八归除得五十四加中心一得五十五爲三棱束之积也葢三棱束以九包一其外周所包之数亦必以九递加爲超位平加之数如甲乙丙三棱束除却中心之一最内一层爲九第二层爲十八第三层爲二十七每层皆加九爲超位平加之数引而长之成丁戊己庚梯形外周二十七即梯形之底内周九即梯形之上阔如以首数九与末数二十七相加得三十六用层数三乘之折半即得总数【见算法原本二卷第三十二节】然其层数之三乃系外周二十七用九归所得之数今以内周九与外周二十七相加即与外周二十七相乘是未用九归故将相乘所得之数必以九归又以二归【即折半】始得总数夫先用九归后用二归即与十八归除等【二与九相乘得一十八合两次除爲一次除】故以十八归除得总数再加中心一即得三棱束之积也又按第一法以外周二十七加三以三归之得一面三角尖堆之每一边是外周加三则得每边之三倍若以毎边之三倍再加三与每边之三倍相乘必得一面三角尖堆积之十八倍【葢以一面三角尖堆之毎一边加一与每边之数相乘则得一面三角尖堆积之二倍今以毎边之三倍加三与每边之三倍相乘是边加三倍则积加九倍彼旣爲一面三角尖堆积之二倍故此即爲十八倍也】而以十八归除亦即得三棱束之积今以外周加九与外周相乘成长方形则其长比每边之三倍加三者尚多三其阔比每边之三倍少三其积必爲一面三角尖堆积之十八倍而少十八以十八归除则得一面三角尖堆积而少一故加一而得三棱束之积也此三棱束亦有无中心之一者葢缘三棱束包中心一爲一层者周围九其底则四包中心一爲二层者周围十八其底则七凡如此类周递加九边递加三者皆有中心之一其余皆无中心之一详见下法
设如三棱束外周三十求积几何
法以外周三十加三得三十三三归之得十一爲三棱束每一边之数用一面三角尖堆有边求积法以每边十一加一得十二与每边十一相乘得一百三十二折半得六十六即三棱束之积也又法以外周三十加九得三十九与外周三十相乘得一千一百七十十八除之得六十五加一得六十六爲三棱束之积也此三棱束无中心其最内一层爲三其外周三十用九归之则得三层又三分之一然其立法亦与前法同乘除得数仍加一者葢以外周加三则得每边之三倍若以每边之三倍再加三与每边之三倍相乘必得一面三角尖堆积之十八倍而以十八归除亦即得三棱束之积今以外周加九与外周相乘成长方形则其长比每边之三倍加三者尚多三其阔比每边之三倍少三其积必爲一面三角尖堆积之十八倍而少十八以十八归除则得一面三角尖堆积而少一故加一而得三棱束之积也
设如三棱束积六十六求外周几何
法以三棱束积六十六倍之得一百三十二爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔十一爲三棱束之每一边三因之得三十三内减三余三十即三棱束之外周数也如图甲乙丙三棱束用一面三角尖堆有积求边法求得甲乙一边前法以外周加三三归之而得一边此法以一边三因之减三而即得外周也
又法以三棱束积六十六内减一余六十五以十八乘之得一千一百七十爲长方积以九爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十即三棱束之外周数也此即三棱束有外周求积之法而转用之前法以外周加九与外周相乘十八除之再加一而得积此法则以积数减一余用十八乘之以九爲长阔之较用带纵开方得阔而爲外周也
设如圆束外周三十求积几何
法以外周三十六归之得五爲一面三角尖堆之每一边用一面三角尖堆有边求积法以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五爲每一三角尖堆积六因之得九十加中心一得九十一即圆束之积也如图甲乙丙丁戊己圆束六分之则成甲庚辛类六三角尖堆形而余中心一故以外周六分之而得甲庚每一边之数即如一面三角尖堆之每一边而求得一三角尖堆积六因之得六三角尖堆积加中心一即爲圆束之积数也
又法以外周三十加六得三十六与外周三十相乘得一千零八十十二除之得九十加中心一得九十一爲圆束之积也葢圆束以六包一其外周所包之数亦必以六递加爲超位平加之数如甲乙丙丁戊己圆束除却中心之一最内一层爲六第二层爲十二第三层爲十八第四层爲二十四第五层爲三十每层皆加六爲超位平加之数引而长之成庚辛壬癸梯形外周三十即梯形之底内周六即梯形之上阔如以首数六与末数三十相加得三十六用层数五乘之折半即得总数【见算法厚本二卷第三十二节】然其层数之五乃系外周三十用六归所得之数今以内周六与外周三十相加即与外周三十相乘是未用六归故将相乘所得之数必以六归又以二归【即析半】始得总数夫先用六归后用二归即与十二归除等【二与六相因得一十二合两次除爲一次除】故以十二归除得总数再加中心一即得圆束之积也又按第一法以外周三十六归之得一面三角尖堆之每一边是圆束之外周爲一面三角尖堆每边之六倍若以外周加六与外周相乘则必得一面三角尖堆积之七十二倍【葢以一面三角尖堆之毎一边加一与每一边之数相乘则得一面三角尖堆积之二倍今以每边之六倍加六与毎边之六倍相乘是边加六倍则积加三十六倍彼既爲一面三角尖堆积之二倍故此即爲七十二倍也】以一面三角尖堆积六倍之加中心一则得圆束积今将七十二倍积以十二除之亦得一面三角尖堆积之六倍故加中心一而得圆束之积也凡圆束皆有中心设此解与前法相通耳
设如圆束积九十一求外周几何
法以圆束积九十一减中心一余九十六归之得一十五倍之得三十【或即以九十三归之所得亦同葢六归二因与三归所得之数同也】爲长方积以一爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔五又以六因之得三十即圆束之外周数也如图甲乙丙丁戊己圆束减去中心一以六归之则得甲庚辛一面三角尖堆形故用一面三角尖堆有积求边法求得甲庚一边以六因之而得外周也
又法以圆束积九十一减一余九十以十二乘之得一千零八十爲长方积以六爲长阔之较用带纵较数开平方法算之得阔三十即圆束之外周数也此即圆束有外周求积之法而转用之前法以外周加六与外周相乘十二除之再加一而得积此法则将积数减一余用十二乘之以六爲长阔之较用带纵开方得阔而爲外周也
设如堑堵堆底五求积几何
法以底五自乘得二十五爲底面积又以位数五加一得六与底面积二十五相乘得一百五十折半得七十五即堑堵堆之积也如图甲乙丙丁戊堑堵堆即一面直角尖堆累积之体也两直角面相合成长方面形比原位数多一行而两堑堵体相合成长方体形比原位数亦必多一面故以位数加一与底面积相乘所以增其一面之数成长方体形爲堑堵堆之二倍折半而得堑堵堆之积也
设如三角尖堆每边五求积几何
法以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五爲底面积再以每边五加二得七与底面积十五相乘得一百零五三归之得三十五即三角尖堆之积也如图甲乙丙丁三角尖堆每面皆一面三角尖堆累积成等边三角体形其每边之数即位数也试按位作防排之第一层爲一第二层爲三第三层爲六第四层爲十第五层爲十五爲每次按位相加之数如以位数加二与末数相乘取其三分之一即得总数【见算法原本二卷第三十四节】今以每边加一与每边之数相乘折半即得底面积再以位数加二爲高与底面积相乘成平行面之三棱体是爲三角尖体之三倍故以三除之而得也然必以位数加二爲高者葢以三三角尖体相凑乃成上下相等之平行面体其高必比原有之位数多二层【两相角面相合比原位数多一行今三三角体相合故必比原位数多二面也】又以一平行面三棱体分爲三三角尖体其二面爲两体所同用今以位数加二爲高与底数相乘所以增其二面之分也
又法以每边五加一得六与每边五相乘得三十爲倍底积再以位数加二得七与倍底积三十相乘得二百一十六归之亦得三十五爲三角尖堆之积也此法与前法同葢以每边加一与每边之数相乘则得底面积之二倍前法以位数加二与底数相乘既爲三角尖堆积之三倍此法以位数加二与倍底积相乘即爲三角尖堆积之六倍矣故以六归之得积也
又法以每边五自乘再乘得一百二十五爲第一数再以每边五自乘得二十五爲第二数又以每边五加一得六与每边五相乘得三十倍之得六十爲第三数三数相加共得二百一十六归之得三十五即三角尖堆之积也此法与第二法同葢以每边自乘再乘爲第一数是未以每边加一相乘亦未以位数加二再乘也因未以每边加一相乘则其所成之正方形必比前所得之长少一层之数故又以每边自乘爲第二数也因未以位数加二再乘则其高必比前所得之高少二层之数故又以每边加一与每边相乘【即如前之倍底积】又倍之爲第三数也三数相加始爲三角尖堆积之六倍故以六归之而得积也
设如三角尖堆积一百二十求每边几何
法以三角尖堆积一百二十六因之得七百二十爲长方体积以一爲长与阔之较以二爲高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八即三角尖堆之每一边也此法即三角尖堆有边求积之法而转用之葢有边求积则以每边加一与每边相乘又以每边加二再乘得长方体积爲三角尖堆积之六倍是长比阔多一高比阔多二今以三角尖堆积六因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔爲每边之数也
设如四角尖堆每边五求积几何
法以每边五加半得五个半与每边五相乘得二十七个半又以每边五加一得六与二十七个半相乘得一百六十五三归之得五十五即四角尖堆之积数也如图甲乙丙丁四角尖堆底面爲正方傍四面皆一面三角尖堆累积成方底四角尖体形其每边之数即位数也试按位作防排之第一层爲一第二层爲四第三层爲九第四层爲十六第五层爲二十五爲每次按位自乘相加之数如以每边加半与每边相乘复以位数加一乘之取其三分之一即得总数【见算法原本二卷第三十五节】今以每边加半与每边相乘是得长方面积复以位数加一爲高乘之是得长方体积爲四角尖体之三倍故以三除之即得也然以边数加半爲长以位数加一爲高者葢以三四角尖体相凑乃成上下相等之长方体其底必比正方面多半行其高必比原有之位数多一层【三角体以边数加一与边数相乘四角体以边数加半与边数相乘三角体以位数加二爲高四角体以位数加一爲高总以四角体比三角体底式大一倍故三角体爲长方体六分之一四角体爲长方体三分之一三角体加数几何而此四角体皆用其半也】又以一长方体分爲三四角尖体其三面爲两体所同用而少一行之数试以甲乙丙丁四角尖体作爲戊己庚辛阳马尖体形爲长方体三分之一所余爲三分之二其戊己庚戊庚辛两面爲两体所同用而戊庚一行又爲两面所同用是此两面爲两体所同用而少一行之数也又以其所余三分之二平分之必有一面爲两体所同用是以长方体分爲三四角尖体有三面爲两体所同用而少一行之数也今以每边加半与每边之数相乘又以位数加一乘之所以增其三面少一行之分也【葢其高既比原位数多一则其傍面一层宜爲一面三角尖堆之倍数而其傍面只比毎边多半是傍面只爲一面三角尖堆之数也又其高旣比原位多一则其上面一层爲毎边自乘之数即爲一面三角尖堆之倍数而少一行共之爲三面少一行之数也】又法以每边五自乘再乘得一百二十五爲第一数再以每边五自乘得二十五爲第二数又以每边五加一得六与每边五相乘得三十折半得十五爲第三数三数相加共得一百六十五三归之得五十五即四角尖堆之积也此法与第一法同葢以每边自乘再乘爲第一数是未以每边加半与每边相乘亦未以位数加一再乘也因未以位数加一再乘则其上层即少一每边自乘之数故以每边自乘爲第二数也因未以每边加半相乘则其傍面即少一面三角尖堆之数故以每边加一与每边相乘折半爲第三数也三数相加始爲四角尖堆积之三倍故以三归之而得积也
又法以每边五加一得六与每边五相乘得三十又以每边五加二得七乘之得二百一十三归之得七十爲三角尖堆之倍积又以每边五求得一面三角尖堆积十五与倍三角尖堆积七十相减亦得五十五爲四角尖堆之积也如图甲乙丙丁四角尖堆爲戊己庚辛三角尖堆积之一倍而少一面之数葢四角尖堆底面积爲三角尖堆底面积之一倍而少一行故四角尖堆体积爲三角尖堆体积之一倍而少一面是以求得倍三角尖堆积内减一面三角尖堆积即得四角尖堆积也
又法以每边五用堑堵堆求积法求得堑堵堆积七十五又以每边五用三角尖堆求积法求得三角尖堆积三十五两数相加得一百一十折半得五十五即四角尖堆之积也如图甲乙丙丁四角尖堆先以乙丙一边求得戊己庚辛壬堑堵堆积四角尖体爲堑堵体三分之二三角尖体爲堑堵体三分之一故又求得癸子丑寅三角尖堆积与堑堵堆积相加即与二方底四角尖堆之积等故折半而得四角尖堆之积也
设如四角尖堆积二百零四求每边几何
法以四角尖堆积二百零四三因之得六百一十二爲长方体积以半爲长与阔之较以一爲高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八即四角尖堆之每一边也此法即四角尖堆有边求积之法而转用之葢四角尖堆有边求积则以每边加半与毎边相乘又以毎边加一再乘得长方体积爲四角尖堆积之三倍是长比阔多半高比阔多一今以四角尖堆积三因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔爲每边之数也
设如长方堆底长九阔七上一行收顶求积几何法以底阔七爲方堆之底用四角尖堆有边求积法求得四角尖堆积一百四十又以底阔七与长九相减余二爲两一面三角尖堆即以底阔七用一面三角尖堆有边求积法求得一面三角尖堆积二十八二因之得五十六爲两一面三角尖堆积与前所得四角尖堆积一百四十相加得一百九十六即长方堆之积也如图甲乙丙丁戊长方堆丙丁长比乙丙阔多庚丁二试自己至庚截去二面则成甲乙丙庚一四角尖堆形己庚丁戊两一面三角尖堆形其乙丙阔与丙庚等即四角尖堆之毎一边亦即一面三角尖堆之毎一边故以一边求得四角尖堆积又求得两一面三角尖堆积相加即得长方堆之积也又法以阔七与长九相减余二折半得一又加半得一个半与长九相加得十个半与底阔七相乘得七十三个半又以底阔七【即层数】加一得八再乘得五百八十八三归之得一百九十六即长方堆之积也此法与前法之理同如甲乙丙丁戊长方堆既分爲一四角尖堆两一面三角尖堆其甲乙丙庚四角尖堆固当以丙庚加半与乙丙相乘以甲乙加一再乘得一长方体形爲一四角尖堆之三倍其己庚丁戊两一面三角尖堆当以庚丁与乙丙相乘以戊丁【同甲乙】加一再乘得二长方面形爲两一面三角尖堆之二倍因一爲三倍一爲二倍其倍数不同故又以庚丁折半与庚丁相加即增其一长方面之分得三长方面形亦爲两一面三角尖堆之三倍故以三归之得一四角尖堆两一面三角尖堆合之与甲乙丙丁戊一长方堆之积相等也
又法以底阔七与长九相减余二再加一得三爲顶上之长乃以底长九倍之得十八加顶长三得二十一与底阔七相乘得一百四十七再以高数七加一得八再乘【阔数即高数也】得一千一百七十六六归之得一百九十六即长方堆之积也此法与第二法同葢前法以长阔相减折半加半与长相加此法以长阔相减不折半加一与倍长相加则其长比前法多一倍阔与高皆与前数同而体积亦必比前数大一倍故前法用三归此法用六归也
设如长方堆积二百七十六长比阔多二求每边几何
法以长方堆积二百七十六三因之得八百二十八爲长方体积以长比阔多二折半又加半得一个半与二相加得三个半爲长与阔之较以一爲高与阔之较用带两纵不同较数开立方法算之得阔八爲底阔加长比阔多二得十爲长也此法即长方堆有边求积之法而转用之葢长方堆有边求积则以原长阔之较折半又加半与原长相加乃与阔相乘又以阔加一再乘得长方体积爲长方堆之三倍是长比阔多原长阔之较又多半较仍多半高比阔多一今以长方堆积三因之得长方体积故用带两纵不同较数开立方法算之得阔爲底边之阔加长阔之较得数爲长也
设如三角半堆底边八上边五求积几何
法以底边八用三角尖堆有边求积法求得三角尖堆全积一百二十又以上边五减一得四爲上虚三角尖堆之每边亦用三角尖堆有边求积法求得上虚三角尖堆积二十与先所得三角尖堆全积一百二十相减余一百即三角半堆之积也如图甲乙丙丁戊己三角半堆若于其上加一小三角尖堆则成一大三角尖堆形其上所加之小三角尖堆之每边比三角半堆之上边少一故先求得大三角尖堆全积又求得上虚小三角尖堆积相减即得三角半堆之积也
又法以底边八加一得九与底边八相乘得七十二爲第一数又以上边五与底边八相并得十三以上边五加一得六乘之得七十八爲第二数两数相并得一百五十又以上边五与下边八相减余三加一得四爲层数与两数相加之一百五十相乘得六百六归之得一百爲三角半堆之积也此法与等边三角尖堆求积之法同葢等边三角尖堆其上尖一即上边其每边之数即底边亦即层数其法以每边加一与每边相乘又以每边加二再乘得长方体积爲三角尖堆积之六倍分之则得长比高阔多一之一长方体形又得长比阔多一之二长方面形【即上多二层】若依此法以底边加一与底边相乘即长比阔多一之长方体之一面数也以上边一与下边相加又以上边一加一得二乘之则得长比阔多一之二长方面之两行数也此两数相并以层数乘之则亦得长比高阔多一之一长方体形又得长比阔多一之二长方面形共成一长方体形爲三角尖堆之六倍矣
设如三角半堆积一百上边五求底边几何
法以上边五减一余四爲上虚小三角尖堆之底用三角尖堆有边求积法求得上虚三角尖堆积二十与半堆积一百相加得一百二十爲等边三角尖堆全积用三角尖堆有积求边法求得每边八即三角半堆之底边也如有底边求上边者则以底边求得三角尖堆全积与半堆积相减余爲上虚三角尖堆积求得上虚小三角尖堆之毎边加一即上边也
设如四角半堆底边十二上边五求积几何
法以底边十二用四角尖堆有边求积法求得四角尖堆全积六百五十又以上边五减一得四爲上虚四角尖堆之每边亦用四角尖堆有边求积法求得上虚四角尖堆积三十与先所得四角尖堆全积六百五十相减余六百二十即四角半堆之积也如图甲乙丙丁戊己庚四角半堆若于其上加一小四角尖堆则成一大四角尖堆形其上所加之小四角尖堆之每边比四角半堆之上边少一故求得大四角尖堆全积又求得上虚小四角尖堆积相减即得四角半堆之积也
又法以上边五自乘得二十五爲第一数以底边十二自乘得一百四十四爲第二数以上边五与底边十二相乘得六十爲第三数又以上边五与底边十二相减余七折半得三个半爲第四数四数相并得二百三十二个半又以上下边相减所余之七加一得八爲层数与四数相并之二百三十二个半相乘得一千八百六十三归之得六百二十即四角半堆之积也此法与等边四角尖堆求积之法同葢等边四角尖堆其上尖一即上边其每边之数即底边亦即层数其法以每边加半与每边相乘又以每边加一再乘得长方体积爲四角尖堆积之三倍分之则得每边自乘再乘之一正方体形每边自乘之一正方面形又得长比阔多一之半层长方面形若以底边自乘即正方体之一面数也以上边一与底边相乘则得每边自乘正方面之一行数也以上边一自乘又以上边一与底边相减折半此两数相并即得长比阔多一之半层长方面之一行数也四数相并再以层数乘之则亦得一正方体形一正方面形又得长比阔多一之半层长方面形共成一长方体形爲四角尖堆之六倍矣又此法与上下不等正方体之法异者在多上下边相减折半之一数因堆垜之傍面有余分故也
设如四角半堆积六百二十上边五求底边几何法以上边五减一余四爲上虚小四角尖堆之底用四角尖堆有边求积法求得上虚四角尖堆积三十与半堆积六百二十相加得六百五十爲等边四角尖堆全积用四角尖堆有积求边法求得每边十二即四角半堆之底边也如有底边求上边者则以底边求得四角尖堆全积与半堆积相减余爲上虚四角尖堆积求得上虚小四角尖堆之每边加一即上边也
设如长方半堆底长十二阔十上长八阔六求积几何
法以底长十二阔十用长方堆求积法求得长方堆全积四百九十五又以上长八阔六各减一得长七阔五爲上虚长方堆之长阔亦用长方堆求积法求得上虚长方堆积八十五与先所得长方堆全积相减余四百一十即长方半堆之积也如图甲乙丙丁戊己庚长方半堆若于其上加一小长方堆则成上一行收顶之长方堆形其上所加之小长方堆之每边比长方半堆之上边少一故先求得长方堆全积又求得上虚小长方堆积相减即得长方半堆之积也
又法以上长八与上阔六相乘得四十八爲第一数以底长十二与底阔十相乘得一百二十爲第二数以上长八与底阔十相乘得八十以上阔六与底长十二相乘得七十二两数相并折半得七十六爲第三数又以上下长相减余四折半得二爲第四数以此四数相加得二百四十六又以上长与底长相减所余之四加一得五爲层数与四数相加之二百四十六相乘得一千二百三十三归之得四百一十即长方半堆之积也此法与四角半堆求积之法同葢四角半堆长阔皆相等此则有长阔之不同故四角半堆以上边自乘爲第一数者此则以上长阔相乘爲第一数四角半堆以下边自乘爲第二数者此则以下长阔相乘爲第二数四角半堆以上下相乘爲第三数者此则以上长与下阔相乘上阔与下长相乘相并折半爲第三数四角半堆以上下相减折半爲第四数者此则以上下长相减折半爲第四数【如以上下阔相减折半亦同】其理皆相通也
又法以上长八倍之得十六加下长十二得二十八以上阔六乘之得一百六十八又以下长十二倍之得二十四加上长八得三十二以下阔十乘之得三百二十又以下长十二与上长八相减余四三数相加得四百九十二又以上下长相减所余之四加一得五爲层数与三数相加之四百九十二相乘得二千四百六十六归之得四百一十即长方半堆之积也此法与第二法同葢此法用数比前法大一倍故前法用三归此法用六归也又此法与上下不等长方体之法异者在多上下长相减之一数因堆垜之傍面有余分故也
又法以底阔十与长十二相乘得一百二十又以长十二阔十各减一得长十一阔九相乘得九十九又以长十一阔九各减一得长十阔八相乘得八十又以长十阔八各减一得长九阔七相乘得六十三再以长九阔七各减一得长八阔六【即上长阔】相乘得四十八以此五数相加共得四百一十即长方半堆之积也此法将每层长阔相乘得每层之积故总加之即五层之共积也法虽层累相加实爲显而易见凡堆垜诸法皆可以此法御之若层数太多者用本法爲简易也
设如长方半堆积四百一十上长八阔六求底长阔各防何
法以上长八阔六各减一得长七阔五爲上虚小长方堆之长阔用长方堆有边求积法求得上虚小长方堆积八十五与半堆积四百一十相加得四百九十五爲长方堆全积用长方堆有积求边法求得阔十长十二即长方半堆之底边数也如有底边长阔求上边长阔者则以底边求得长方堆全积与半堆积相减余爲上虚小长方堆积求得上虚小长方堆之长阔两边各加一即长方半堆上边长阔之数也
御制数理精蕴下编卷三十
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