钦定四库全书

　　九章算术卷五　　　　　晋　刘　徽　注

　　唐　李淳风　注释

　　商功以御功程积实

　　今有穿地积一万尺问为坚壤各几何答曰为坚七千五百尺为壤一万二千五百尺

　　术地穿地四为壤五

　　壤谓息土

　　为坚三

　　坚谓筑土

　　为墟四

　　墟谓穿坑此皆其常率

　　以穿地求壤五之求坚三之皆四而一

　　今有术也

　　以壤求穿四之求坚三之皆五而一以坚求穿四之求壤五之皆三而一

　　淳风等按此术竝今有之义也重张穿地积一万尺为所有数坚率三壤率五各为所求率墟率四为所有率而今有之即得

　　城垣堤沟壍渠皆同术

　　今有穿地袤一丈六尺深一丈上广六尺为垣积五百七十六尺问穿地下广几何答曰三尺五分尺之三术曰置垣积尺四之为实

　　穿地四为坚三垣坚也以坚求穿地当四之三而一也

　　以深袤相乘

　　为深袤之立实也

　　又三之为法

　　以深袤乘之立实除垣积即阬广又三之者与坚率并除之

　　所得倍之

　　为阬有两广先并而半之即为广狭之中平今先得其中平故又倍之知两广全也

　　减上广余即下广

　　按此术穿地四为坚三垣即坚也今以坚求穿地当四乘之三而一深袤相乘者为深袤立幂以深袤立幂除积即阬广又三之为法与坚率并除所得倍之者为阬有两广先并而半之为中平之广今此得中平之广故倍之还为两广并故减上广余即下广也

　　今有城下广四丈上广二丈高五丈袤一百二十六丈五尺问积几何答曰一百八十九万七千五百尺今有垣下广三尺上广二尺高一丈二尺袤二十二丈五尺八寸问积几何答曰六千七百七十四尺

　　今有堤下广二丈上广八尺高四尺袤一十二丈七尺问积几何答七千一百一十二尺

　　冬程人功四百四十四尺问用徒几何答曰一十六人一百一十一分人之二

　　术曰并上下广而半之

　　损广补狭

　　以高若深乘之又以袤乘之即积尺

　　按此术并上下广而平之者以盈补虚得中平之广以高若深乘之【案此下原本衍坚率三壤率五各为所求墟墟率四为所有率而今有之凡二十二字系上注重见於此今删正】得一头之五幂又以袤乘之者得立实之积故为积尺

　　以积尺为实积功尺数为法实如法而一即用徒人数【案此节之上原木有术曰二字上两节并注原本误入上城垣堤沟堑渠皆同术之丅今订正合为一条】今有沟上广一丈五尺下广一丈深五尺袤七丈问积几何答曰四千三百七千五尺

　　春程人功七百六十六尺并出土功五分之四定功六百一十二尺五分尺之四问用徒几何答曰七人三千六十四分人之四百二十七

　　术曰置本人功去其五分之一余为法

　　去其五分之一者谓以四乘五除也

　　以沟积尺为实实如法而一得用徒人数

　　按此术置本人功去其五分之一者谓以四求之五而一除去出土之功取其定功乃道分内子以为法以分母乘沟积尺为实者法里有分实里通之故实如法而一即用徒人数此以一人之积尺除其衆尺故用徒人数不尽者等数约之而命分也

　　今有壍上广一丈六尺三寸下广一丈深六尺三寸袤一十三丈二尺一寸问积几何答曰一万九百四十三尺八寸

　　八寸者谓穿地方尺深八寸此积余有方尺中二分四厘五毫弃之文欲从易非其常定也

　　夏程人功八百七十一尺并出土功五分之一沙砾水石之工作太半定功二百三十二尺一十五分尺之四问用徒几何答曰四十七人三千四百八十四分人之四百九

　　术曰置本人功去其出土功五分之一又去沙砾水石之功太半余为法以壍积尺为实实如法而一即用徒人数

　　按此术置本人功去其出土功五分之一者谓以四乘五除又去沙砾水石作太半者一乘三除存其少半取其定功乃通分内子以为法以分母乘壍积尺为实者为法里有分实里通之故实如法而一即用徒人数不尽者等数约之而命分也

　　今有穿渠上广一丈八尺下广三尺六寸深一丈八尺袤五万一千八百二十四尺问积几何答曰一十七万四千五百八十五尺六寸

　　秋程人功三百尺问用徒几何答曰三万三千五百八十二人功内少一十四尺四寸

　　一千人先到问各当受袤几何答曰一百五十四丈三尺二寸八十一分寸之八

　　术曰以一人功尺数乘先到人数为实

　　以一千人一日功为实立实为功【案此四字不可通当是衍文考下注有立幂为法四字幂讹作实後人更移而加之于此盖因讹致衍耳】

　　并渠上下广而半之以深乘之为法

　　以渠广深之立实为功【案此四字舛误据广深相乘得立幂故以除于人一日功得袤当作以渠广深之立幂为法】实如法得袤尺

　　今有方堢壔

　　堢者堢城也壔音丁老反又音纛谓以土拥木也

　　方一丈六尺高一丈五尺问积几何答曰三千八百四十尺

　　术曰方自乘以高乘之即积尺

　　今有圆堢壔周四丈八尺高一丈一尺问积几何答曰二千一百一十二尺

　　于徽术当积二千一十七尺一百五十七分尺之一百三十一

　　淳风等按依密率积二千一十六尺

　　术曰周自相乘以高乘之十二而一

　　此章诸术亦以周三径一为率皆非也于徽术当以周自乘以高乘之又以二十五乘之三百一十四而一此之圆幂亦如圆田之幂也求幂亦如圆田而以高乘幂也

　　淳风等按依密率以七乘之八十八而一

　　今有方亭下方五丈丄方四丈高五丈问积几何答曰一十万一千六百六十六尺太半尺

　　术曰上下方相乘又各自乘并之以高乘之三而一此章有壍堵阳马皆合而成立方盖说算者乃立棊三品以效高深之积假令方亭上方一尺下方三尺高一尺其用棊也中央立方一四面壍堵四四角阳马四上下方相乘为三尺以高乘之约积三尺是为得中夹立方一四面壍堵各一上方自乘亦得中央立方一【案此十一字错误不可通据上方自乘所得者平幂耳非立方也又下云上方自乘以高乘之得积一尺又为中央立方一合前中央方方一四面壍堵各一及中央立方一四面壍堵各二四角阳马各三共二十七棊则此二句乃衍文应删去】下方自乘为九以高乘之得积九尺是为中央立方一四面壍堵各二四角阳马各三也上方自乘以高乘之得积一尺又为中央立方一凡三品棊皆一而为三故三而一得积尺用棊之数立方三壍堵阳马各十二凡二十七棊十三更差次之【案此句有脱误据壍堵阳马各十二分配立方三则一立方适得四壍堵四阳马当云十二与三更差次之】而成方亭者三验矣为术又可命方差自乘以高乘之三而一卽四阳马也上下方相乘以高乘之卽中央立方及四面壍堵也并之以为方亭积数也

　　今有圆亭下周三丈上周二丈高一丈问积几何答曰五百二十七尺九分尺之七

　　于微术当积五百四百七百七十一分尺之一百一十六也

　　淳风等按依密率为积五百三尺三十三分尺之二十六

　　术曰上下周相乘又各乘并之以高乘之三十六一而一

　　此术周三径一之义合以三除上下周各为上下径以相乘又各自乘并以高乘之三而一为方亭之积假命三约上下周俱不尽还通之即各为上下径令上下径分母相乘【案此句舛误据上云还通之卽各为上下径则是既以分母通上下径纳分子矣此乘即各爲上下径言之当云令上下径相乘其语便足分母二字乃衍文应删】又各自乘并以高乘之为三方亭之积分此合分母分相乘得九为法除之【案此句有脱误据上下径分母同为三则上下径相乘之数应以两分母相乘得九报除而丄下径各自乘之数应各以分母自乘得九报除是相乘为法及自乘为法者同用九也当云此合分母相乘得九分母各自乘亦得九为法除之不得遗去自乘一边言之盖後人传写脱落耳】又三而一得方亭之积　【此下有脱文据後委粟依垣条注云从方锥中求圆锥之积亦犹方幂求圆幂以彼例此似应有从方亭求圆亭之积八字】亦犹方幂中求圆幂乃令圆率三乘之方率四而一得圆亭之积前求方亭之积乃以三而一今求圆亭之积亦合三乘之二母既同故相准折准以方幂四乘分母九得三十六而连除之于徽术当上下周相乘又各自乘并以高乘之又二十五乘之九百四十二而一此方亭四角圆杀比于方亭二百分之一百五十七为术之意先作方亭三而一则此据上下径为之者当又以一百五十七乘之六百而也也今据周为之若干圆堢壔又以二十五乘之三百一十四而一则先得三圆亭矣故以三百一十四为九百四十二而一并除之

　　淳风等按依密率以七乘之二百六十四而一

　　今有方锥下方二丈七尺高二丈九尺问积几何答曰七千四十七尺

　　术曰下方自乘以高乘之三而一

　　按此术假令方锥下方二尺高一尺即四阳马如术为之用十二阳马成三方锥故三而一得阳马也

　　今有圆锥下周三丈五尺高五丈一尺问积几何答曰一千七百三十五尺一十二分尺之五

　　于徽术当积一千六百五十八尺三十一十四分尺之十三

　　淳风等按依密率为积一千六百五十六尺八十八分尺之四十七

　　术曰下周自乘以高乘之三十六而一

　　按此术圆锥下周以为方锥下方方锥下方令自乘以高乘之合三而一得大锥方之积大锥方之积合十二圆矣今求一圆复合十二除之故令三乘十二得三十六而连除于徽术当下周自乘以高乘之又以二十五乘之九百四十二而一圆锥此于方锥亦二百分之一百五十七令径自乘者亦当以一百五十七乘之六百而一其说如圆亭也

　　淳风等按依密率以七乘之二百六十四而一

　　今有壍堵下广二丈袤一十八丈六尺高二丈五尺问积几何答曰四万六千五百尺

　　术曰广袤相乘以高乘之二而一

　　斜斛立方得两壍堵虽复椭方亦为壍堵故二而一此则合所规幂推其物体盖为壍上叠也其形如城而无上广与所规棊形异而同实未开所以名之为壍堵之说也

　　今有阳马广五尺袤七尺高八尺问积几何答曰九十三尺少半尺

　　术曰广袤相乘以高乘之三而一

　　按此术阳马之形方锥一隅也今谓四柱屋隅为阳马假令广袤各一尺高一尺相乘得立方积一尺斜解立方得两壍堵斜斛壍堵其一为阳马一为鼈臑阳马居二鼈臑居一不易之率也合两鼈臑成一阳马合三阳马而成一立方故三而一验之以棊其形露矣悉割阳马凡为六鼈臑观其割分则体势互通盖易了也其棊或修短或广狭立方不等者分割分以为六鼈臑其形不悉相似然见数同积实均也鼈臑殊形阳马异体则不纯合不纯合则难为之矣何则按斜解方棊以为壍堵者必当以半为分斜解壍堵以为阳马者亦必当以半为分一从一横耳设以阳马为分内鼈臑为分外棊虽或随修短广狭犹有此分常率知殊形异体亦同也者以此而已其使鼈臑广袤高各二尺【案原本讹作广袤各高二尺今改正】用壍堵鼈臑之棊各二皆用赤棊又使阳马之广袤高各二尺用立方之棊一壍堵阳马之棊各二皆用黑棊棊之赤黑接为壍堵广袤高各二尺于是中效其广又中分其高令赤黑壍堵各自适当一方高二尺方二尺每二分鼈臑则一阳马也其余两端各积本体合成一方焉是为别种而方者率居二通其体而方者率居一虽方随棊改而固有常然之势也按余数具而可知者有一二分之别则一二之为率定矣其于理也岂虚矣若为数而穷之置余广袤高之数各半之则四分之三又可知也半之弥少其余弥细至细曰微微则无形由是言之安取余哉数而求穷之者谓以情推不用筹算鼈臑之物不同器用阳马之形或随修短席狭然不有鼈臑无以审阳马之数不有阳马无以知锥亭之数功寔之主也

　　今有鼈臑下广五尺无袤上袤四尺无广高七尺问积几何答曰二十三尺少半尺

　　术曰广袤相乘以高乘之六而一

　　按此术臑者背节也或曰半阳马其形有似鼈肘故以名云中破阳马得两鼈臑鼈臑之见数卽阳马之半数数同而寔据半故云六而一即得

　　今有羡除下广六尺土广一丈深三尺末广八及无深袤七尺问积几何答曰八十四尺

　　术曰并三广以深乘之又以袤乘之六而一

　　按此术羡除寔隧道也其所穿地上半下斜似两鼈臑夹一壍堵即羡除之形假令用此棊上广三尺深一尺下广一尺末广一尺无深袤一尺下广即壍堵上广者两鼈臑与一壍堵相连之广也以深袤乘得积五尺鼈臑居二壍堵居三其于本棊皆一为六故六而一合四阳马以为方锥斜画方锥之底亦令为中方就中方削而上合全为中方锥之半于是阳马之棊悉中解矣中锥离而为四鼈臑焉故外锥之半亦为四鼈臑虽背正异形与常所谓鼈臑参不相似寔则同也所云夹壍堵者中锥之鼈臑也凡壍堵上袤短者连阳马也下袤短者与鼈臑连也下两袤相等知亦与鼈臑连也并三广以高袤乘六而一皆其积也今此羡除之广即壍堵之袤也按此本是三广不等即与鼈臑连者别而言之中央壍堵广六尺高三尺袤七尺末广之两旁各一小鼈臑皆与壍堵等令小鼈臑居里大鼈臑居表则大鼈臑出撱皆方锥下广三尺袤六尺高七尺分取其半则为袤三尺以高广乘之三而一即半锥之积也斜解半锥得此两大鼈臑求其积亦当六而一合于常率矣按阳马之棊两斜棊底方当其方也不问旁角而割之相半可知也推此上连无成不方故方锥与阳马同宝角而割之者相半之势此大小鼈臑可知更相表里但体有背正也

　　今有刍甍下广三丈袤四丈上袤二丈无广高一丈问积几何答曰五十尺

　　术曰倍下袤上袤从之以广乘之又以高乘之六而一推明义理者旧说云凡积刍甍有上下广曰童甍谓其屋盖之苫也是故甍之下广袤与童之上广袤等正解方亭两边合之即刍甍之形也假令下广二尺袤三尺上袤一尺无广高一尺其用棊也中央壍堵二两端阳马各二倍下袤上袤从之为七尺以高广乘之得幂十四尺阳马之幂各居一壍堵之幂各居三以高乘之得积十四尺其于本棊也皆一而为六故六而一即得亦可令上下袤差乘广以高乘之三而一即四阳马也下广乘上袤而半之高乘之即二壍堵并之以为甍积也

　　刍童曲池盘池冥谷皆同术

　　术曰倍上袤下袤从之亦倍下袤一袤从之各以其广乘之并以高若深乘之皆六而一

　　按此术假令刍童上广一尺袤二尺下广三尺袤四尺高一尺其用棊也中央立方二四面壍堵六四角阳马四倍下袤为八上袤从之为十以高广乘之得积三十尺是为得中央立方各三两边壍堵各四两旁壍堵各六四角阳马亦各六复倍上袤下袤从之为八以高广乘之得积八尺是为得中央立方亦各三两端壍堵各二并两旁三品棊皆一而为六故六而一即得为术又可令上下广袤差相乘以高乘之三而一亦四阳马上下广袤互相乘并而半之以高乘之即四而六壍堵与二立方并之为刍童积又可令上下广袤互相乘而半之上下广袤又各自乘并以高乘之三而一即得也

　　其曲池者并上中外周而半之以为上袤亦并下中外周而半之以为下袤

　　此池环而不通帀形如盘蛇而曲之亦云周者谓如委谷依垣之周耳引而伸之周为袤求袤之意环田也

　　今有刍童下广二丈袤三丈上广三丈袤四丈高三丈积几何答曰一万六千五百尺

　　今有曲池上中周二丈外周四丈广一丈下中周一丈四尺外周二丈四尺广五尺深一丈问积几何答曰一千八百八十三尺三寸少半寸

　　今有盘池上广六丈袤八丈下广四丈袤六丈深二丈问积几何答曰七万六百六十六尺太半尺

　　负土往来七十步其二十步上下棚除棚除二当平道五踟蹰之间十加一载输之间三十步定一返一百四十步土笼积一尺六寸秋程人功行五十九里半问人到积尺及用徒各几何答曰人到二百四尺用徒三百四十六人一百五十三分人之六十二

　　术曰以一笼积尺乘程行步数为实往来上下棚除二当平道五

　　棚阁除斜道有上下之难故使二当五也

　　置定往来步数十加一及载输之间三十步以为法除之所得即一人所到尺以所到约积尺即用徒尺数按此术棚阁除斜道有上下之难故使二当五置定往来步数十加一及载输之间三十步是为往来求一返凡用一百四十步于今有术为所有行率笼积一尺六寸为所求到土率程行五十九里半为所有数而今有之即所到尺数所到约积尺即用徒人数者此一人之积除其衆积尺故得用徒人数为术又可令往乘一返所用之步约程行为返数乘笼积为一人所到以此术与今有术相反覆则乘除之或先後意各有所在而同归耳

　　今有冥谷上广二丈袤七丈下广八尺袤四丈深六丈五尺问积几何答曰五万二千尺

　　载土往来二百步载输之间一里程行五十八步六人共车车载三十四尺七寸间人到积尺及用徒各几何答曰人到二百一尺五十分尺之十三用徒二百五十八人一万六十三分人之三千七百四十六

　　术曰以一车积尺乘程行步数为实置今往来步数加载输之间一里以车六人乘之为法除之所得即一人所到尺以所到约积尺即用徒人数

　　按此术今有之义以载输及往来并得五百步为所有行率车载三十四尺七寸为所求到土率程行五十八里通之为步为所有数而今有之所得即一车所到欲得人到者当以六人除之即得术有分故亦更令法而并除者亦用以半尺数以为一人到土率【案此二十五字讹舛不可通据下文云术恐有分故令乘法而并除又云亦可令六人约半积尺数为一人到土率此即下残缺字句之误入于前者应删去以免重复】六人乘五百步为行率也又亦可五百步为行率令六人约半积尺数【此句舛误当云约车载尺数】为一人到上率以载土术入之入之者亦可求返数也要其会通而矣【案此二十一字讹舛不可通据下云术恐有分故令乘法而并除总承上六人除一车所到及交约车载尺数二术也中间衍前二十五字及此此十一字盖由传写失真後人复妄意窜改耳】术恐有分故令乘法而并除以所到为积尺即用徒人数者以一人所积尺除其衆积故得用徒人数也

　　今有几粟平地下周一十二丈高二丈问积及为粟几何答曰积八千尺

　　于徽术当积七千六百四十三尺一百五十七分尺之四十九

　　淳风等按依密率为积七千六百三十六尺十一分尺之四

　　为粟二千九百六十二斛二十七分斛之二十六于徽术当粟二千八百三十斛一千四百一十三分斛之一千二百一十

　　淳风等按依密率为粟二千八百二十八斛九十九分斛之二十八

　　今有委米依垣内角下周八尺高五尺问积及为米几何答曰积三十五尺九分尺之五

　　于徽术当积三十三尺四百七十一分尺之四百五十七

　　淳风等按依密率当积三十三尺三十三分尺之三十一

　　为米二十一斛七百二十九分斛之六百九十一于徽术当米二十斛三万八千一百五十一分斛之三万六千九百八十

　　淳风等按依密率为米二十斛二千六百七十三分斛之二千五百四十

　　今有委菽依垣下周三大高七尺问积及为菽各几何答曰积三百五十尺

　　依徽术当积三百三十四尺四百七十一分尺之一百八十六

　　淳风等按依密率为积三百三十四尺十一分尺之一

　　为菽一百四十四斛二百四十三分斛之八

　　依徽术当菽一百三十七斛一万二于七百一十七分斛之七千七百七十一

　　淳风等按依密率为菽一百三十七斛八百九十一分斛之四百三十三

　　术曰下周自乘以高乘之三十六而一

　　此犹图锥也于徽术亦当下周自乘以高乘之又以二十五乘之九百四十二而一也

　　其依垣者

　　居图锥之半也

　　十八而一

　　于徽术当令此下周自乘以高乘之又以二十五乘之四百七十一而一依垣之周半于全周其自乘之幂居全周自乘之幂四分之一故半全周之法以为法也

　　其依垣内角者

　　角隅也居圆锥四分之一也

　　九而一

　　于徽术当令此下周自乘而倍之以高乘之又以二十五乘之四百七十一而一依隅之周半于依垣其自乘之幂居依垣自乘之幂四分之一当半依垣之法以为法法不可半故倍其实又此术亦用周三径一之率假令以三除周得径若不尽通分内子即为径之积令自乘以高乘之为三方锥之积分母自相乘得九为法又当三而一约方锥之积从方锥中求圆锥之积亦犹方幂求圆幂乃当二乘之四而一方锥得圆幂之积　【此句衍方锥二字又圆幂当作圆锥】前乘方积乃以三而一今求圆锥之积复合三乘之二母既同故相凖折惟以四乘分母九得三十六而运除圆锥之积其圆锥之积与平地聚粟同故三十六而一

　　淳风等按依密率以七乘之其平地者二百六十四而一依垣者一百三十二而一依隅者六千六而一也

　　程粟一斛积二尺七寸

　　二尺七寸者谓方一尺深二尺七寸凡积二千七百寸

　　其米一斛积一尺六寸五分寸之一

　　谓一千六百二十寸

　　其菽荅麻麦一斛皆二尺四寸十分寸之三

　　谓积二千四百三十寸此为以精粗为率而不等其?也粟率五米率二故米一斛于粟一斛五分之三菽答麻麦亦如本率云故谓此三一器为?而皆不合于今斛当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘正深一尺于徽术为积一十四百四十一寸排成余分又有十分寸之三王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘径一尺三寸六分八厘二毫以徽术计之于余斛为容九斗七升四合有奇周官考工记桌氏为量深二尺内方一尺而圆外其实一鬴于徽术此圆周积一千五百七十六寸左氏传曰齐旧四量且区釡锺四升曰豆各自其四以登于釡大十则锺锺六斛四斗釡六斗四升方一尺深一尺其积一千寸若此方积容四斗二升则通外圆积成旁客十斗四合一龠五分之三也以数相乘之则斛之制方一尺而圆其外庣旁一厘七毫幂一百五十六寸四分寸之一深一尺积一千五百六十二寸半容十斗王莽铜斛与汉书律历志所论斛同

　　今有仓广三丈袤四丈五尺容粟一万斛问高几何答曰二丈

　　术曰置粟一万斛积尺为宝广袤相乘为法宝如法而一得高

　　以广袤之幂除积故得高按此术本以广袤相乘以高乘之得此积今还元置此广袤相乘为法除之故得高也

　　今有圆囷

　　圆囷廪也亦云圆囷也

　　高一丈三尺三寸少半寸容米一十斛问周几何荅曰五丈四尺

　　于徽术当周五丈五尺二寸二十分寸之九

　　淳风等按依密率为用五丈五尺一百分尺之二十七

　　术曰置米积尺

　　此积犹圆堢壔之积

　　以十二乘之令高而一所得开方除之即周

　　于徽术当置米积尺以三百一十四米之为实二十五乘囷为为法所得开方除之即周也一亦披见幂以求周失之千微少也晋武库中有汉时王莽所作铜斛其篆书字题斛旁云律嘉量斛方一尺而圆其升庣旁九厘五毫幂一百六十二寸而一尺积一千六百二十寸容十斗及斛底云律嘉量斗方尺而圆其外庣旁九厘五毫幂一百六十二寸【案原本纪作幂一尺六寸二分于数不合当是後人因下文积一百六十二寸与此适圆妄改此以别于下不知幂一百六十二寸者平方寸也其深仅一才故积仍为一百六十二寸积乃立方才与幂自别沉斗与斛之方图庣旁既同则幂亦同斛深十倍于斗故积十倍之今据上下文订正】深一寸【案原本讹作深一尺今改正】积一百六十二寸容一斗合龠皆有文字升居斛旁合龠在斛耳上後有赞文与今律历志同亦魏晋所常用今粗疏王莽铜斛文字尺寸分数然不尽得升合寸之文字按此术本周自相乘以高乘之十二而一得此积今还元置此积以十二乘之令高而一即复本周自乘之数凡一自乘开方除之复其本周自乘之数故开方除之即得也

　　淳风等按依密率以八十八乘之为实七乘囷高为法实如法而一开方除之即周也

 

　　九章算术卷五