钦定四库全书

　　九章算术卷四　　　　　晋　刘　徽　注

　　唐　李淳风　注释

　　少广以御积幂方圆

　　淳风等按一亩之田广一步长二百四十步今欲截取其从少以益其广故曰少广

　　术曰置全步反分母子以最下分母徧乘诸分子及全步

　　淳风等按以分母乘全少者通其分也以母乘子者齐其子也

　　各以其母除其子置之子左命通分者又以分母徧乘诸分子反已通者皆通而同之并之为法

　　淳风等按诸子悉通故可并之为法亦宜用合分术列数尤多若用乘则算数至繁故别置此术从省约

　　置所求步数以全步积分乘之为实实如法而一得从步【案此句实如法之上原水以刘几总注列入求注又误截为三中间法有分者至子如母而一凡三十五字讹作正攵语意遂横隔不句通今改正】

　　此以田广为法以亩积步为实【案此十二字原本截作置所求步数以全步积分乘之为实下注又今考其文意乃刘注总解田广求从之术定以田广为广以亩积步为实非专释二语也】法有分者当同其母齐其子以同乘法实而使齐子法今以分母乘全步及子子如母而一【案此三十五字原本讹作正文今改正考注有分者言田广既有分母子须令母同子齐也以同乘法实言母相乘为同既以子来法通其子母又必以之乘实则实齐子法也今以分母乘全步及子之如母而一即正文所云以孜下分母偏乘诸分子及全步也以其母除其子也】竝以并全法则法实俱长意亦等也故如法而一得从步数【案此二十三字原本截作上文法有分者已下之注今考竝以并全法即此文所云并之为法也则法宝俱长意亦等也承土法既以分母通之而长亩积步为实者亦以通之而长实与法方相等此二句始专释置所求步数以余步积分乘之为实二语前後文意相贯自中间讹作正立截首尾而三遂不可通】

　　今有田广一步半求田一亩间从几何答曰一百六十步

　　术曰下有半是二分之一以一为二半为一并之得三为法置田二百四十步亦以一为二乘之为实实如法得从步

　　今有田广一步半三分步之一求田一亩问从几何答曰一百三十步一十一分步之一十

　　术曰下有三分以一为六半为三三分之一为二并之得一十一为法置田二百四十步亦以一为六乘之为实实如法得从步

　　今有田广一步半三分步之一四分步之一求田一亩问从几何答曰一百一十五步五分步之一

　　术曰下有四分以为一十二半为六三分之一为四四分之一为二并之得二十五以为法置田二百四十步亦以一为一十二乘之为实实如法而一得从步今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一求田一亩问从几何答曰一百五步一百三十七分步之一十五

　　术曰下有五分以一为六十半为三十三分之一为二十四分之一为一十五五分之一为一十二并之得一百三十七以为法置田二百四十步亦以一为六十乘之为实实如法得从步

　　今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一求田一亩问从几何答曰九十七步四十九分步之四十七

　　术曰下有六分以一为一百二十半为六十三分之一为四十四分之一为三十五分之一为二十四六分之一为二十并之得二百九十四以为法置田二百四十步亦一为一百二十乘之为实实如法得从步

　　今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一求田一亩问从几何答曰九十二步一百二十一分步之六十八

　　术曰下有七分以一为四百二十半为二百一十三分之一为一百四十四分之一为一百五五分之一为八十四六分之一为七十七分之一为六十并之得一千八十九以为法置田二百四十步亦以一为四百二十乘之为实实如法得从步

　　今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一求田一亩问从几何答曰八十八步七百六十一分步之二百三十二

　　术曰下有八分以一为八百四十半为四百二十三分之一为二百八十四分之一为二百一十五分之一为一百六十八六分之一为一百四十七分之一为一百二十八分之一为一百五并之得二千二百八十三以为法置四二百四十步亦以一为八百四十乘之为实实如法得从步

　　今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一求田一亩问从几何答曰八十四步七千一百二十九分步之五千九百六十四

　　术曰下有九分以一为二千五百二十半为一千二百六十三分之一为八百四十四分之一为六百三十五分之一为五百四六分之一为四百二十七分之一为三百六十八分之一为三百一十五九分之一为二百八十并之得七千一百二十九以为法置四二百四十步亦以一为二千五百二十乘之为实实如法得从步今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一求田一亩问从几何答曰八十一步七千三百八十一分步之六千九百三十九

　　术曰下有一十分以一为二千五百二十半为一千二百六十三分之一为八百四十四分之一为六百三十五分之一为五百四六分之一为四百二十七分之一为三百六十八分之一为三百一十五九分之一为二百八十十分之一为二百五十二并之得七千三百八十一以为法置田二百四十步亦以一为二千五百二十乘之为实实如法得从步

　　今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一十一分步之一求田一亩问从几何答曰七十九步八万三千七百一十一分步之三万九千六百三十一

　　术曰下有一十一分以一为二万七千七百二十半为一万三千八百六十三分之一为九千二百四十四分之一为六千九百三十五分之一为五千五百四十四六分之一为四千六百二十七分之一为三千九百六十八分之一为三千四百六十五九分之一为三千八十一十分之一为二千七百七十二十一分之一为二千五百二十并之得八万三千七百一十一以为法置田二百四十步亦以一为二万七千七百二十乘之为实实如法得从步

　　今有田广一步半三分步之一四分步之一五分步之一六分步之一七分步之一八分步之一九分步之一十分步之一十一分步之一十二分步之一求田一亩问从几何答曰七十七步八万六千二十一分步之二万九千一百八十三

　　术曰下有一十二分以一万八万三千一百六十半为四万一千五百八十三分之一为二万七千七百二十四分之一为二万七百九十五分之一为一万六千六百三十二六分之一为一万三千八百六十七分之一为一万一千八百八十八分之一为一万三百九十五九分之一为九千二百四十一十分之一为八千三百一十六十一分之一为七千五百六十十二分之一为六千九百三十并之得二十五万八千六十三以为法置田二百四十步亦以一为八万三千一百六十乘之为实实如法得从步

　　淳风等按凡为术之意约省为善宜云下有一十二分以一为二万七千七百二十半为一万三千八百六十三分之一为九千二百四十四分之一为六千九百三十五分之一为五千五百四十四六分之一为四千六百二十七分之一为三千九百六十八分之一为三千四百六十五九分之一为三千八十十分之一为二千七百七十二十一分之一为二千五百二十十二分之一为二千三百一十并之得八万六千二十一以为法置田二百四十步亦以一为二万七千七百二十乘之以为实实如法得从步其术亦得如不繁也

　　今有积五万五千二百二十五步问为方几何答曰二百三十五步

　　今有积二万五千二百八十二步问为方几何答曰一百五十九步

　　今有积七万一千八百二十四步问为方几何答曰二百六十八步

　　今有积五十六万四千七百五十二步四分步之一问为方几何答曰七百五十一步半

　　今有积三十九亿七千二百一十五万六百二十五步问为方几何答曰六万三千二十五步

　　开方

　　求方幂之一面也

　　术曰置积为实借一算步之超一位

　　言百之面十也言万之面百也

　　议所得以一乘所借一算为法而以除

　　先得黄甲之而上下相命是自乘而除也【案注而有黄甲黄乙朱青幂之文则知旧有图而缺今补鬬方图附于後】

　　除已倍法为定法

　　倍之者豫张两面求幂定袤以待复除故曰定法

　　其复除折法而下

　　欲除朱幂者本当副置所得成方倍之为定法以折议乘而以除如是当复步之而止乃得相命故使就上折下

　　复置借算步之如初以复议一乘之

　　欲除朱幂之角黄乙之幂其意如初之所得也

　　所得副以加定法以除以所得副从定法

　　以黄乙之面加定法是则张两青幂之袤

　　复除折下如前若开之不尽者为不可开当以面命之术或有以借算加定法而命分者虽粗相近不可用也凡开积为方方之自乘当还复有积分令不加借算而命分则常微少其加借算而命分则又微多其数不可得而定故惟以面命之为不朱耳譬犹以三除十以其余为三分之一而复其数可以举不以面命之加定法如前求其微数微数无名者以为分子其一退以十为母其退以百为母退之弥下其分弥细则朱幂虽有所乘之数不足言之也

　　若实有分者通分内子为定实乃开之讫开其母报除淳风等按分母可开者竝通之积先合二母既开之後一母尚存故开分母求一母为法以报除也

　　若母不可开者又以母乘定实乃开之讫令如母而一

　　淳风等按分母不可开者本一母也又以母乘之乃合二母既开之後亦一母存焉故令如母而一得全面也

　　又按此术开方者求方幂之一面也借一算者假借一算空有列位之名而无除积之实方隅得面是故借算列之于下也步之超一位者方十自乘其积有百方百自乘其积有万故超位至百而言十至万而言百也议所得以一乘所借一算为法而以除者先得黄甲之面以方为积者两相乘故开方除之还令呐面上下相命是自乘而除之也除已倍法为定法者实积未尽当复更除故豫张两面朱幂定袤以待复除故曰定法也其复除折法而下者欲除朱幂本当副置所得成方倍之为定法以折议乘之而以除如是当复步之而止乃得相命故使就上折之而下也复置借算步之如初以复议一乘之所得副以加定法以除之欲除朱幂之角黄乙之幂以所得副从定法者再以黄乙之幂加定法是则张两青幂之袤故如前开之即合所问

 

 

 

　　今有积一千五百一十八步四分步之二问为圆周几何答曰一百三十五步

　　于徽术当周一百三十八步一十分步之一

　　淳风等按此依密率为周一百三十八步五十分步之九

　　今有积三百步问为圆周几何答曰六十步

　　于徽术当周六十一步五十分步之十九

　　淳风等按依密率为周六十一步一百分步之四十一

　　术曰置积步数以十二乘之以开方除之即得周此术以周三径一为率与旧圆田术相反覆也于徽术以三百一十四乘积如二十五而一所得开方除之即周也开方除之即径是为据见幂以求周犹失之于微少其以二百乘积一百五十七而一开方除之即径犹失之于微多

　　淳风等按此注于徽术求周之法其中不用开方除之即径六字今木有者衍賸也依密率八十八乘之七而一按周三径一之率假令周三径二半周半径相乘得幂三周六自乘得三十六俱以等数除得幂一周之数十二也其积本周自乘合以二乘之十二而一得积三也术为一乘不长故以十二而一得此积今还原置此积三以方二乘之者复其本周自乘之数凡物自乘开方除之复其本数故开方除之耶周

　　今有积一百八十六万八百六十七尺

　　此尺谓立方尺也凡物有高深深而言积者曰立方

　　问为立方几何答曰一百二十三尺

　　今有积一千九百五十三尺八分尺之一问为立方几何答曰一十二尺半

　　今有积六万三千四百一尺五百一十二分尺之四百四十七问为立方几何答曰三十九尺八分尺之七今有积一百九十三万七千五百四十一尺三十七分尺之一十七问为立方几何答曰一百二十四尺太半尺

　　开立方

　　立方适等求其一面也

　　术曰置积为实借一算步之超二位

　　言千之面十言百万之面百

　　议所得以乘所借一算为法而以除

　　乘者亦求为方幂以上议命而除之则立方等也

　　除已三之为定法

　　为当复除故豫张三面已定方幂为定法也

　　复除折而下

　　复除者三面方幂已皆自乘之数须得折议定其厚薄耳开平幂者方百之面十开立幂者方千之面十据定法也有成方之幂故复除当以千为百折下一等也

　　以三乘所得数置中行

　　设三亷之定长

　　复借一算置下行

　　欲以为隅方立方等未有定数且置一算定其位

　　步之中超一下超二位

　　上方法长自乘而折中亷法但有长故除一等下隅法无面长故又降一等也

　　复置议以一乘中

　　为三亷借幂也

　　乘下

　　令隅自乘为方幂也

　　皆副以加定法以定法除

　　三面三亷一隅皆已有幂以上议命之而除去三袤之厚也

　　除已倍下并中从定法

　　凡以中三以下加定法者三亷各当以两面之幂连于两方之面一隅连于三亷之端【案原本脱两方之面一隅连于凡八字今据李淳风注释所举此文补入】以待复除也言不尽意解此要当以棊乃得明耳

　　复除折下如前开之不尽者亦为不可开

　　术亦有以定法命分者不如故幂开方以微数为分也

　　若积有分者通分内子为定实定实乃开之托开其母以报除

　　淳风等按分母可开者竝通之积先合三母既开之後一母尚存故开分母求一母为法以报除也

　　若母不可开者又以母乘定实乃开之讫令如母而一

　　淳风等按分母不可开者本一母也又以母再乘之今合三母既开之後一母犹存故令如母而一得全面也

　　又按开立方者立方适等求其一面之数也借一算步之超二位者立方求积方再自乘就积开之故超二位言千之面十言百万之面百也议所得以再乘所借一算为法而以除者求为方幂以议命之而除则立方等也除已三之为定法者为积米尽当复更除故豫张三面已定方幂为定法也复除折而下者三面方幂皆已有自乘之数须得折议定其厚薄据开平方百之面十其开立方则千之面十而定法已有成方之幂故复除之当以千为百折下一等也以三乘所得数置中行者设三亷之定长也复借一算置下行者欲以为隅方立方等未有数且置一算定其位也步之中超一下超二者上方法长自乘而一折中亷法但有长故降一等下隅法无面长故又降一等也复置议以一乘中者为三亷借幂也再乘下者当令隅自乘为方幂也皆副以加定法以定法除者三面三亷一隅皆已有幂以上议命之而除去三袤之厚也除已倍下并中从定法者三亷各当以两面之幂连于两方之面一隅连于三亷之端以待复除也其开之不尽者折下如前开方即合所问有分者通分纳子开之讫开其母以报除可开者竝适之积先令三母既开之後一母尚存故开分母者求一母为法以报除若母不可开者又以母乘定实乃开之讫令如母而一分母不可开者本一母又以母乘今合三母既开之後亦一母尚存故令如母而一得全面也

　　今有积四千五百尺

　　亦谓立方之尺也

　　问为立圆径几何答曰二十尺

　　淳风等按依密率立圆径二十八尺计积四千一百九十尺二十一分尺之一十

　　今有积一万六千四百四十八亿六千六百四十三万七千五百尺问为立圆径几何答曰一万四千三百尺淳风等按依密率为径一万四千六百四十三尺四分尺之三

　　术曰置积尺数以十六乘之九而一所得开立方除之即圆径

　　立圆即丸也为术者盖依周三径一之率令圆幂居方幂四分之三圆囷居立方亦四分之三更令圆囷为方率十二为丸率九凡居圆囷又四分之三也置四分自乘得十六三分自乘得九故丸居立方十六分之九也故以十六乘积九而一得立方之积丸径与立方等故开立方而除得径也然此意非也何以验之取立方棊八枚皆令立方一寸积之为立方二寸规之为圆囷径二寸高二寸又复横因之【案此句有舛误後李淳风注释亦以立方棊为喻有从规横规之语此当云又复横规之】则其形有似牟合方盖矣八棊皆然似阳马圆然也按合盖者方率也丸居其中即圆率也推此言之谓夫圆囷为方率岂不阙哉以周三径一为圆率则圆幂伤少令圆囷为方率则九积伤多互相通补是以九与十六之率偶与实相近而丸犹伤多耳观立方之内合盖之外虽哀杀有渐而多少不揜判合总结方圆相纒浓纎诡互不可等正欲陋形措意惧失正理敢不关疑以俟能言者

　　黄金方寸重十六两金丸径寸重九两率生于此未曾验也周官考工记?氏为量改煎金锡则不耗不耗然後权之权之然後凖之凖之然後量之言链金使极精而後分之则可以为率也命丸径自乘三而一开方除之即丸中之立方也微令丸中立方立尺五尺为句句自乘幂二十五尺倍之得五十尺以为股幂谓平面方五尺之弦也以此弦幂为股亦以五尺为句并句股幂得七十五尺是为大弦幂开方除之则大弦可知也大弦即中立方之长邪邪即丸径故中立方自乘之幂于丸径自乘之幂三分之一也今大弦还乘其幂即丸外立方之积也大弦幂开之不尽令囷幂七十五【案七十五即大弦幂是为外立方一面自乘之幂非囷幂也囷幂当是具幂之误】自乘之为面命得外立方积四十二万一千八百七十五尺之面又令中立方五尺自乘又以方乘之得积一百二十五尺一百二十五尺自乘为面句得积一万五千六百二十五尺之面【案句字误彼上云命得外立方积之面此乃命得中立方积之面也句当作命】皆以六百二十五约之外立方积六百七十五尺之面中立方积二十五尺之面也

　　张衡算又谓立方为质立圆为浑衡言质之与中外之浑六百七十五尺之面开方除之不足一谓外质积二十六也内浑二十五之面谓积五尺也今徽令质言中浑浑又言质则二质相与之率犹衡二浑相与之率也衡盖亦先二质之率推以言浑之率也衡又言质六十四之面浑二十五之面质复言浑谓居质八分之五也又云方八之面圆【案此下有脱文据前言丸居圆图四分之三此当作方八之面圆六之面故断之云图浑相推知其复以圆图为方率浑为圆率脱六之而三字】圆浑相推知其复以圆囷为方率浑为圆率也失之远矣衡说之自然欲协其阴阳奇偶之说而不顾疎密矣虽有文辞斯乱道破义病也置外质积二十六以九乘之十六而一得积十四尺八分之五即质中之浑也以分母乘全内子得一百一十七又置内质积五以分母乘之得四十是谓质居浑一百一十七分之四十【案此言浑圆内所客之立方是谓质当作是内质】而浑率犹为伤多也假令方二尺方四面并得八尺也谓之方周其中令圆径与方等亦二尺也丸半径以乘圆周之半即圆幂也半方以乘方周之半即方幂也然则方周知方幂之率也圆周知圆幂之率也按如衡术方周率八之面圆周率五之面也令方周六十四又之面则圆周四十尺之面也又令径二尺自乘得径四尺之面【案上言张衡术立方内容五圆者止圆积居立方积八分之五以此通之立间外非周之幂亦居立方外六面之幂八分之五故设立方幂六七四尺则立圆幂四十尺也此言又令径二尺白乘得径四尺之而二语无从得其解据下云是为圆周率十二之面而径率一之面也谓周自乘得十二耆径自乘得一置十二开方除之得圆周三四六四三五弱由此言之衡所定平方与平圆周径之率古周四其面一内容圆之周三四六四三五弱其径亦一刘徽所定方圆周径之率则方周四圆周三一四一六其径一故下言衡增周人多过其实然则当云又令径一尺分周四尺自乘得十六尺之面不得言径二尺自乘得径四尺之而或传写舛误校是书者又有窜改遂致不可通】是为圆周率十二之面而径率一之面也衡亦以周三径一之率为非是故更着此法然僧周太多过其实矣

　　淳风等按祖一之谓刘徽张衡二人皆以圆囷为方率丸为圆率乃设新法祖暅之开立圆术曰以二乘积【案此句有脱误据淳风中明祖暅之所定立圆术以径司乘十一乘之二十一而一得圆积反是以求径当云以二十一乘积十一而一盖立圆积约居同径之立方积二十一分之十一也君以二乘积则立圆居立方之半疏谬甚矣复云今欲求其本清故二十一乘之十一而一正承此申明其说】开立方除之即立□径其意何也取立方棊一枚令立枢子左後之下隅从规去其右上之亷又合而横规之去其前上之亷【案此下有脱文据上去立相于左後之下隅则其隅正与右前之上隅相对成内外而外之亷皆连于右前之上隔一为右上之亷一为前上之亷一为右前之亷三亷皆当规去方是外棊三内慕一不得仅言规去二亷也疑脱及右前之亷五字】于是立方之慕分而为四规内棊一谓之内棊规外棊三谓之外棊规【案上言规内棊一规外棊三以内棊列棊称之此规字不得连上句当是衍文】更合四棊复横断之以句股言之令余高为句内棊断上方为股本方之数其弦句股之法以句幂减弦幂则余为股幂若令余高自乘减本方之幂余即内减其断上方之幂也本方之幂即外四棊之断上幂然则余高自乘即外三棊之断上幂矣不问卑势加然也【案此句舛误不可通反上文借立方棊以论立圆而所言一及句脱竝与乎幂不足见圆术当行脱误】然固有所归同而途殊者耳而乃控远以演类借况以析微按阳马方高数参等者列而立之横截去上则高自乘与断上幂数亦等马夫叠棊成立积缘幂势既同则积不容异由此观之规之外三棊旁蹙为一即一阳马也三分立方则阳马居一内棊居二可知矣合八小方成一大方合八内棊成一合盖内棊居小方三分之二则合盖居立方亦三分之二较然验矣置三分之二以圆幂率三率之如方幂率四而一约而定之以为九率故曰九居立方三分之一也【案此句舛误据上言置三分之二以三乘之如四而一乃九居立方二分之一非三分之一况已上明祖氏圆术其率乃丸居立方二十一分之十一下云圆径自乘十一乘之如二十一而一是也君二分之一可祖氏术不隅矣又祖氏方幂率下四圆幂率十一亦不得用方幂四圆幂三之疎率以解祖氏说自祖暅之开立方圆术曰至此似因传写既讹後又妄亦一改遂不可通今考立方与圆圈犹之平方与平圆也其率亦立方积十四圆囷积十一而丸居圆囷三分之二与十四分之十一通之分母乘分母得四十二分子乘分子得二十一是为丸居立方四十二分之二十二即二十二分之十一也祖氏求圆囷立圆平图三法本系贯为一】等数既密心亦昭晰张衡仿旧贻哂于後刘徽循故未暇校新夫岂难哉柳未之思也依率立此圆积本以圆径自乘十一乘之二十一而一约此积今欲求其本积故二十一乘之十一而一凡物自乘开立方除之复其本数故立方除之即丸径也

 

　　九章算术卷四