钦定四库全书

    周髀算经卷下之二

    汉　赵君卿　注

    周　甄　鸾　重述

    唐　李淳风　注释

    牵牛去北极百一十五度千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九

    牵牛冬至日所在之宿于外衡者与相去去之度数

    术曰置外衡去北极枢二十三万八千里除璇玑万一千五百里

    北极常近牵牛为枢过极一万一千五百里此求去极故以除之

    其不除者二十二万六千五百里以为实

    以三百乘里为步以周天分一千四百六十一乘步为分内衡之度以周天分为法法有分故以周天乘实齐同之得九百九十二亿七千四百九十五万

    内衡一度数千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三以为法

    如上乘内步通分内子得八亿五千六百八十万

    实如法得一度

    以八亿五千六百八十万为一度法

    不满法者求里步

    上求度故以此

    约之合三百得一以为实

    上以三百乘里为步而求里故以三百约余分为里之实

    以千四百六十一分为法得一里

    里步皆以周天之分为母求度当齐同法实等故乘以散之

    不满法者三之如法得百

    上以三百约之为重之实此当以三百乘之【案各本脱百字今补】为步之实而言三之者【案各本脱三字今补】不欲转法便以一位为百实故从一位命为百也

    不满法者又上十之如法得一步

    又复上十之者【案各本脱十字今补】便以一位为一实故从一位命为一【案此句各本讹作故从一实为一今据上注改正】

    不满法者以法命之

    位尽于一步故以其法命余为残分

    次放此

    次娄与角及东井皆如此也

    臣鸾曰去牵牛星去极洗先列衡去极枢二十三万八千里减极去枢心一万一千五百里余二十二万六千五百里以三百乘里得六千七百九十五万步又以周天分一千四百六十一乘之得九百九十二亿七万四千九十五万步为实更副置内衡一度数一千九百五十四里二百四十七步一千四百六十一分步之九百三十三亦以三百乘一千九百五十四里为步内二百四十七步得五十八万六千四百四十七步又以周天分母一千四百六十一乘步内子九百三十三得八亿五千六百八十万为法以除实得一百一十五度不尽七亿四千二百九十五万去下法不周更以三百约余分七亿四千二百九十五万得二百四十七万六千五百为实更以周天分一千四百六十一除之得一千六百九十五里不尽一五五以三百乘之得三万一千五百复以前法除之得二十一步不尽八百一十九即牵牛去北极一百一十五度【案一十五度各本讹作一十五度全改正】一千六百九十五里二十一步一千四百六十一分步之八百一十九

    娄与角去北极九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六

    娄春分日所在之宿也角秋分日所在之宿也为中衡也

    术曰置中衡去北极枢十七万八千五百里以为实不言加除者娄与角准北极在枢两旁正与枢齐以娄角无差故便以去枢之数为实如上乘里为步步为分

    以内衡一度数为法实如法得一度不满法者求里步不满法者以法命之

    臣鸾曰求娄与角去极法列中衡去极枢一十七万八千五百里以三百乘之得五千三百五十五万步又以周天分一千四百六十一分乘之得七百八十二亿三千六百五十五万为实以内衡一度数一千九百五十四里二百四十七步一千四百六十一分步之九百三十三亦以三百乘里内步二百四十七得五十八万六千四百四十七步又以分母一千四百六十一分乘之内子得八亿五千六百八十万为法以除实得九十一度不尽二亿六千七百七十五万以三百约之得八十九万二千五百下法不用以周天分一千四百六十一除之得六百一十里不尽一千二百九十以三百乘之得三十八万七千如前法除得二百六十四步不尽一千二百九十六即是娄与角去极九十一度六百一十里二百六十四步一千四百六十一分步之一千二百九十六

    东井去北极六十六度千四百八十一里百五十五步千四百六十一分步之千二百四十五

    东井夏至日所在之宿为内衡

    术曰置内衡去北极枢十一万九千里加璇玑万一千五百里

    北极游常近东井为枢不及极一万一千五百里此求去极故加之

    得十三万五百里以为实

    如上乘里为步步为分得五百七十一亿九千八百一十五万分

    以内衡一度数为法实如法得一度不满法者求里步不满法者【案各本脱法字今补】以法命之

    臣鸾曰求东井去极法列内衡去极枢一十一万九千里加璇玑一万一千五百里得一十三万五百里以三百乘里为步复以分母一千四百六十一乘之得五百七十一亿九千八百一十五万为实通分内衡一度数为步步为分得八亿五千六百八十万为法以除实得六十六度不尽六亿四千九百三十五万以三百约之得二百一十六万四千五百下法不用更以周天一千四百六十一为法除之得一千四百八十一里不尽七百五十九以三百乘之得二十二万七千七百复以周天分除之得一百五十五步不尽一千二百四十五即为东井去北极六十六度千四百八十一里一百五十五步一千四百六十一分步之一千二百四十五

    凡八节二十四气气损益九寸九分六分分之一冬至晷长一丈三尺五寸夏至晷长一尺六寸问次节损益寸数长短各几何

    冬至晷长丈三尺五寸

    小寒丈二尺五寸【小分五】

    大寒丈一尺五寸一分【小分四】

    立春丈五寸二分【小分三】

    雨水九尺五寸三分【小分二】

    啓蛰八尺五寸四分【小分一】

    春分七尺五寸五分

    清明六尺五寸八分【小分五】

    谷雨五尺五寸六分【小分四】

    立夏四尺五寸八分【小分三】

    小满三尺五寸八分【小分二】

    芒种二尺五寸九分【小分一】

    夏至尺六寸

    小暑二尺五寸九分【小分一】

    大暑三尺五寸八分【小分二】

    立秋四尺五寸七分【小分三】

    处暑五尺五寸六分【小分四】

    白露六尺五寸五分【小分五】

    秋分七尺五寸五分

    寒露八尺五寸四分【小分一】

    霜降九尺五寸三分【小分二】

    立冬丈五寸二分【小分三】

    小雪丈一尺五寸一分【小分四】

    大雪丈二尺五寸【小分五】

    凡为八节二十四气

    二至者寒暑之极二分者阴阳之和四立者生长收藏之始是为八节节三气三而八之故为二十四

    气损益九寸九分六分分之一

    损者减也破一分为六分然後减之益者加也以小分满六得一从分

    冬至夏至为损益之始

    冬至晷长极当反短故为损之始夏至晷短极当反长故为益之始此爽之新术

    术曰置冬至晷以夏至晷减之余为实以十二为法十二者半岁一十二气也为法者一节益之法

    实如法得一寸不满法者十之以法除之得一分求分故十之也

    不满法者以法命之

    法与余分皆半之也旧晷之术于理未当谓春秋分者阴阳晷等各七尺五寸五分故中衡去周七万五千五百里按春分之影七尺五寸七百二十三分秋分之影七尺四寸二百六十二分差一寸四百六十一分以此推之是为不等冬至至小寒多半日之影夏至至小暑少半日之影芒种至夏至多二日之影大雪至冬至多三日之影又半岁一百八十二日八分日之五而此用四分

    十分寸之四百七十六非也节候不正十五日有三十二分日之七【案三十二各本讹作二十二今改正】以一日之率一十五日为节至令差错不通尤甚易曰旧全井无禽时舍也言法三十日实当改而舍之于是爽更为新术以一气率之使言约法易上下相通周而复始除其纰缪

    臣鸾曰求二十四气损益之法先置冬至影长丈三尺五寸以夏至影一尺六寸减之余一丈一尺九寸上十之为实以半岁一十二为法除之得九寸不尽一十一复上十之如法而一得九分不尽二与法一十二皆半之得六分之一即是小寒益法先置冬至影长一丈三尺五寸以气损益九寸九分六分分之一其破一分以为六分减其余即是小寒影长一丈二尺五寸小分五余悉依此法求益法置夏至影一尺六寸以九寸九分六分分之一增之小分满六从大分一即是小暑二尺五寸九分小分一次气放此臣淳风等谨按此术本文【案各本脱文字今补】及赵君卿注求二十四气影例损益九寸九分六分分之一以为定率检勘术注有所未通又按宋书历志所载何承天元嘉历影冬至一丈三尺小寒一丈二尺四寸八分大寒一丈一尺三寸四分立春九尺九寸一分雨水八尺二寸八分啓蛰六尺七寸二分春分五尺三寸九分清明四尺二寸五分谷雨三尺二寸五分立夏二尺五寸小满一尺九寸七分芒种一尺六寸九分【案六寸各本讹作九寸今据宋书改正】夏至一尺五寸小暑一尺六寸九分大暑一尺九寸七分立秋二尺五寸处暑三尺二寸五分【案二寸各本讹作三寸今据宋书改正】白露四尺二寸五分秋分五尺三寸九分寒露六尺七寸二分霜降八尺二寸八分立冬九尺九寸一分小雪一丈一尺三寸四分大雪一丈二尺四寸八分司马彪续汉志所载四分历影亦与此相近至如祖冲之历宋大明历影与何承天虽有小差皆是量天实数雠校三历足验君卿所立率虚诞且周髀经本文衡下于天中六万里而二十四气率乃是平迁【案是各本讹作足今改正】所以知者按望影之法日近影短日远影长又以高下言之日高影短日卑影长夏至之日最近北又最高其影尺有五寸自此以後日行渐远向南天体又渐向下以及冬至冬至之日最近南居于外衡日最近下故日影一丈三尺此当每气差降有别【案气各本讹作岁今改正】不可均为一槩设其升降之理今此文【案文各本讹作又今改正】自冬至毕于芒种自夏至毕于大雪均差每气损九寸有奇是为天体正平无高卑之异而日但南北均行又无升降之殊即无内衡高于外衡六万里自相矛盾又按尚书考灵曜所陈格上格下里数及郑注升降远近虽有成规亦未臻理实欲求至当皆依天体高下远近修规以定差数自霜降毕于立春升降差多南北差少自雨水毕于寒露南北差多升降差少依此推步乃得其实既事涉浑仪与盖天相反

    月後天十三度十九分度之七

    月後天者月东行也此见日月与天俱西南游一日一夜天一周而月在昨宿之东故曰後天又曰章岁除章月加日周一日作率以一日所行为一度周天之日为天度

    术曰置章月二百三十五以章岁十九除之加日行一度得十三度十九分度之七【案十九分各本讹作十分九今改正】此月一日行之数即後天之度及分

    臣鸾曰月後天一十三度一十九分度之七法列章月二百三十五以章岁一十九除之得一十二度加日行一度得一十三度余一十九分度之七即月後天之度分

    小岁月不及故舍三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二

    小岁者一十二月为一岁一岁之月一十二月则有余一十三月复不足而言大小岁通閠月焉不及故舍亦犹後天也假令十一月朔旦冬至日月俱起牵牛之初而月一十二与日会此数月发牵牛所行之度也

    术曰置小岁三百五十四日九百四十分日之三百四十八

    小岁者除经岁一十九分月之七以七乘周天分一千四百六十一得一万二百二十七以减经岁之积分余三十三万三千一百八则小岁之积分也以九百四十分除之即得小岁之积日及分

    以月後天十三度十九分度之七乘之为实

    通分内子为二百五十四乘之者【案乘之各本讹作之乘今改正】乘小岁积分也

    又以度分母乘日分母为法实如法得积後天四千七百三十七度万七千八百六十分度之六千六百一十二【案二各本讹作三今改正】

    以月後天分乘小岁积分得八千四百六十万九千四百三十二则积後天分也以度分母十九乘日分母九百四十得一万七千八百六十除之即得

    以周天三百六十五度万七千八百六十分度之四千四百六十五除之

    此犹四分之一也约之即得当于齐同故细言之通分内子为六百五十二万三千三百六十五除积後天分得一十二周天即去之

    其不足除者

    不足除者不及故舍之六百三十二万九千五十二是也

    三百五十四度万七千八百六十分度之六千六百一十二

    以一万七千八百六十除不及故舍之分得此度矣

    此月不及故舍之分度数他皆放此

    次至经月皆如此

    臣鸾曰求小岁月不及故舍法列经舍岁三百六十五日九百四十分日之二百三十五通分内子得三十四万三千三百三十五是为经岁之积分以十十九分月之七以七乘周天分一千四百六十一得一万二百二十七以岁经岁积分不尽三十三万三千一百八小岁积分也以九百四十除之得三百五十四日不尽三百四十八还通分内子复得本积分三十三万三千一百八更置月後天一十三度一十九分度之七通分内子得二百五十四以乘本积分得积後天分八千四百六十万九千四百三十二为实更列月後天分母一十九以乘日分母九百四十得一万七千八百六十为法除之得积後天四千七百三十七度不尽六千六百一十二即是得四千七百三十七度一万七千八百六十分度之六千六百一十二还通分内子得本分八千四百六十万九千四百三十二为实更列周天三百六十五度一万七千八百六十分度之四千四百六十五即通分内子得六百五十二万三千三百六十五以除实得一十二下法不用余分即不及故舍之分六百三十二万九千五十二更以日月分母相乘得万七千八百六十为法除不及故舍之分六百三十二万九千五十二【案除字下各本讹分字今删正】得三百五十四度不尽六千六百一十二即不及故舍三百五十四度一万七千八百六十分度之六千六百一十二

    大岁月不及故舍十八度万七千八百六十分度之万一千六百二十八

    大岁者十三月为一岁也

    术曰置大岁三百八十三日九百四十分日之八百四十七

    大岁者加经岁一十九分月之一十二以一十二乘周天分一千四百六十一得一万七千五百三十二以加经岁积分得三十六万八百六十七则大岁之积分也以九百四十除之【案九方本讹作七今改正】即得

    以月後天十三度十九分度之七乘之为实又以度分母乘日分母为法实如法得积後天五千一百三十二度万七千八百六十分度之二千六百九十八

    此月後天分乘大岁积分得九千一百六十六万二百一十八则积後天分也

    以周天除之

    除积後天分得一十四周天即去之

    其不足除者

    不足除者三十三万三千一百八是也

    此月不及故舍之分度数

    臣鸾曰求大岁月不及故舍法列经岁三百六十五日九百四十分日之二百三十五通分内子得经积分三十四万三千三百三十五更以一十九分月之一十二乘周天分一千四百六十一得一万七千五百三十二以经岁积分加大岁积分得三十六万八百六十七为实以九百四十除之得大岁三百八十三日九百四十分日之八百四十七还通分内子本分三十六万八百六十七更列月後天一十三度一十九分度之七通分内子得二百五十四以乘本分得积後天分九千一百六十六万二百一十八为实以一万七千八百六十为法除之得积後天度五千一百三十二不尽二千六百九十八即命分还通内子得本积後天分九千一百六十六万二百一十八为实以周天分六百五十二万三千三百六十五为法除实得十四周天之数余以日月分母万七千八百六十除之得大岁不及故舍一十八度不尽一万一千六百二十八即以命分也

    经岁月不及故舍百三十四度万七千八百六十分度之万一百五【案五各本讹作里今改正】

    经常也即一十二月一十九分月之七也

    术曰置经岁三百六十五日九百四十分日之二百三十五

    经岁者通一十二月一十九分月之七为二百三十五乘周天千四百六十一得三十四万三千三百三十五则经岁之积分又以周天分母四乘二百三十五得九百四十为法除之即得

    以月後天十三度十九分度之七乘之为实又以度分母乘日分母为法实如法得积後天四千八百八十二度万七千八百六十分度之万四千五百七十

    以月後天分乘经岁积分得八千七百二十万七千九十则积後天之分

    以周天除之

    除积後天分得一十三周天即去之

    其不足除者

    不足除者二百四十万三千三百四十五是也

    此月不及故舍之分度数

    臣鸾曰求经岁月不及故舍法列一十二月一十九分月之七通分内子得二百三十五以乘周天分一千四百六十一得三十四万三千三百三十五即经岁分也以日分母四乘二百三十五得九百四十为法以除得经岁三百六十五日不尽二百三十五即命分还通分内子即复本岁分三十四万三千三百三十五更列通月後天度分二百五十内以乘经岁分得积後天分八千七百二十万七千九十为实更列万七千八百六十除实得积後天度四千八百八十二不尽万四千五百七十即命分还通分内子复本积後天分为实以周天分六百五十二万三千三百六十五除实得一十三周天即去之余分二百四十万【案二百各本讹作三百今改正】三千三百四十五以一万七千八百六十除之得不及故舍一百三十四度不尽一万一百五即以命分也

    小月不及故舍二十二度万七千八百六十分度之七千七百三十五

    小月者二十九日为一月一月之日【案各本脱日字今补】二十九日则有余三十日复不足而言大小者通其余分

    术曰置小月二十九日

    小月者减经月之积分四百九十九余二万七千二百六十则小月之积也以九百四十除之即得

    以月後天十三度十九分度之七乘之为实又以度分母乘日分母为法实如法得积後天三百八十七度万七千八百六十分度之万二千二百二十

    以月後天乘小月积分得六百九十二万四千四十则积後天之分也

    以周天分除之

    除积後天分得一周天即去之

    其不足除者

    不足除者四十万六百七十五

    此月不及故舍之分度数

    臣鸾曰求小月不及故舍法置二十九日以九百四十乘之得二万七千二百六十则小月之分也更列月後天一十三度一十九分度之七通分内子得二百五十四以乘小月分得六百九十二万四千四十为实以一万七千八百六十为法除实得三百八十七度不尽一万二千二百二十以命分还通分子得本实更列周天分六百五十二万三千三百六十五除本实得一周天不尽四十万六百七十五即不及故舍之分又以万七千八百六十【案七千各本讹作九千今改正】除不及故舍之分得二十二度不尽七千七百三十五即以命分

    大月不及故舍三十五度万七千八百六十分度之万四千三百三十五

    大月者三十日为一月也

    术曰置大月三十日

    大月加经积分四百四十一得二万八千二百则大月之积分也以九百四十除之即得

    以月後天十三度十九分度之七乘之为实又以度分母乘日分母为法实如法得积後天四百一度万七千八百六十分度之九百四十

    以月後天分乘大月积分七百一十六万二千八百则积後天之分也

    以周天除之

    除积後天分得一周天即去之

    其不足除者

    不足除者六十三万九千四百三十五是也

    此月不及故舍之分度数

    臣鸾曰求大月不及故舍法置三十日以九百四十乘之得二万八千二百以後天分二百五十四乘之得七百一十六万二千八百为实以一万七千八百六十为法以除实得四百一度不尽九百四十即以命分还通分内子复本实更以周天六百五十二万三千三百六十五为法除本实得一周余不足除积六十三万九千四百三十五分以一万七千八百六十为法以除实得大月不及故三千一百之度不尽万四千三百一十五即命分也

    经月不及故舍二十九度万七千八百六十分度之九十四百八十一

    经常也常月者一月月与日合数

    术曰置经月二十九日九百四十分日之四百九十九经月者以一十九乘周天分一千四百六十一得二万七千七百五十九则经月之积以九百四十除之即得

    以月後天十三度十九分度之七乘之为实又以度分母乘日分母为法实如法得积後天三百九十四度万七千八百六十分度之万三千九百四十六

    以月後天分乘经月积分得七百五万七百八十六则积後天之分

    以周天除之

    除积後天分得一周天即去之

    其不足除者

    不足除者五十二万七千四百二十一是也

    此月不及故舍之分度数

    臣鸾曰求经月不及故舍法以一十九乘周天分一千四百六十一得二万七千七百五十九即经月积分以九百四十除积分得经月二十九曰九百四十分日之四百九十九还通分内子得本经月积分以後天分乘本积分得七百五万七百八千六即後天之积分更以一万七千八百六十除之得积後天三百九十四度不尽一万三千九百四十六即以命分还通分内子得本後天积分为实以周天六百五十二万三千三百六十五除之得一周余分五十二万七千四百二十一即不及故舍之分以一万七千八百六十除之得经月不及故舍二十九度不尽九千四百八十一即以命分

    周髀算经卷下之二